亞音速氣流中曲壁板的分岔研究

劉少文， 李鵬， 楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都610031)

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亞音速氣流中曲壁板的分岔研究

劉少文， 李鵬， 楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都610031)

研究了具有初始曲率的二維曲壁板在亞音速氣流中的分岔問(wèn)題?？紤]大變形和粘彈性的影響，通過(guò)模態(tài)展開(kāi)法獲得了曲壁板上的靜、動(dòng)態(tài)氣動(dòng)壓力；采用Galerkin方法將振動(dòng)控制方程離散為常微分方程組；采用牛頓迭代法求解方程組得到了靜變形位置；在參數(shù)空間內(nèi)分析了曲壁板的分岔特性；采用Runge-Kutta方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到了曲壁板的時(shí)程響應(yīng)相圖。結(jié)果表明：曲壁板的初始變形會(huì)產(chǎn)生靜態(tài)氣動(dòng)力，并會(huì)使得曲壁板產(chǎn)生新的靜平衡點(diǎn)位置；當(dāng)氣流動(dòng)壓超過(guò)臨界動(dòng)壓后，系統(tǒng)將會(huì)產(chǎn)生尖點(diǎn)分岔現(xiàn)象，使其平衡點(diǎn)的數(shù)目和穩(wěn)定性發(fā)生變化；系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)與氣流動(dòng)壓及初值有關(guān)。

曲壁板；亞音速氣流；靜態(tài)變形；尖點(diǎn)分岔；時(shí)程響應(yīng)

引言

隨著中國(guó)高速鐵路的發(fā)展和相關(guān)研究逐漸開(kāi)展，許多之前在設(shè)計(jì)普速列車(chē)時(shí)合理忽略的氣動(dòng)力問(wèn)題在高速列車(chē)中逐漸凸顯出來(lái)。例如，車(chē)身蒙皮和車(chē)窗等結(jié)構(gòu)在列車(chē)高速運(yùn)行時(shí)的流致振動(dòng)問(wèn)題，其可歸結(jié)為壁板結(jié)構(gòu)在低亞音速氣流中的氣動(dòng)彈性問(wèn)題。

現(xiàn)有的壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題主要集中在航空航天領(lǐng)域，并且是以超音速氣流中的平壁板為主。Dowell E H[1]等對(duì)超音速氣流中的壁板顫振問(wèn)題作了綜述研究，歸納總結(jié)了在理論和實(shí)驗(yàn)中得到的一些成果，并展望了未來(lái)的研究方向；文獻(xiàn)[2]使用Galerkin方法研究了雙側(cè)受超音速氣流的二維受熱平壁板的氣動(dòng)彈性問(wèn)題，開(kāi)創(chuàng)性地探討了雙側(cè)均受氣動(dòng)力作用的平板的氣動(dòng)彈性特性；Kornecki A[3]基于氣流為不可壓縮的理想流體推導(dǎo)得到氣動(dòng)力的近似表達(dá)式，研究了小變形下的二維平壁板的氣動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題；文獻(xiàn)[4]考慮了亞音速氣流的可壓縮性，采用級(jí)數(shù)展開(kāi)法得到了氣動(dòng)力的表達(dá)式，研究了大變形二維平壁板的失穩(wěn)、分岔和非線(xiàn)性響應(yīng)等動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，其為亞音速氣動(dòng)力的求解提供了一種值得參考的方法。對(duì)于含有初始曲率變形的曲壁板問(wèn)題，現(xiàn)有的文獻(xiàn)都僅針對(duì)超音速壁板。Dowell E H[5-6]研究了超音速氣流作用下的二維曲壁板及三維曲壁板的非線(xiàn)性顫振問(wèn)題；楊智春[7-8]等研究了帶有初始幾何曲率的二維曲壁板在超音速氣流中非線(xiàn)性顫振特性，文中氣動(dòng)力均為含有曲率修正項(xiàng)的活塞理論，且指出由于初始曲率的存在，曲壁板將會(huì)出現(xiàn)與平壁板不同的氣動(dòng)彈性特性。對(duì)于亞音速氣流中曲壁板的氣動(dòng)彈性問(wèn)題研究，目前鮮有正式的研究公開(kāi)發(fā)表。對(duì)于高速列車(chē)中的車(chē)身蒙皮和車(chē)窗等壁板結(jié)構(gòu)而言，為滿(mǎn)足流線(xiàn)型設(shè)計(jì)要求，其均不可避免地會(huì)帶有一定的初始曲率。因此，研究低速氣流中的曲壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題具有一定的理論和實(shí)際意義。

本文考慮為不可壓縮的理想流體，采用模態(tài)展開(kāi)法得到了靜、動(dòng)態(tài)氣動(dòng)力的表達(dá)式。應(yīng)用Von Karman大變形理論建立了帶有初始曲率的二維曲壁板的結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程。運(yùn)用Galerkin法離散系統(tǒng)，應(yīng)用牛頓迭代法求解非線(xiàn)性方程組，使用數(shù)值分析方法分析曲壁板的靜態(tài)變形、穩(wěn)定性、分岔及時(shí)程響應(yīng)等動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的建立

對(duì)于實(shí)際的簡(jiǎn)支曲壁板結(jié)構(gòu)，若其寬度遠(yuǎn)大于長(zhǎng)度和厚度，則可簡(jiǎn)化為如圖1 所示二維曲壁板結(jié)構(gòu)，其兩端簡(jiǎn)支在y=0平面內(nèi)。板的密度為ρ，長(zhǎng)度為l，厚度為h，壁板中部初始位移為He，且h<

考慮Von Karman大變形非線(xiàn)性影響，基于Hamilton原理可得壁板運(yùn)動(dòng)控制方程為[5]：

(1)

其中:

W為壁板位移，△p為壁板上的氣動(dòng)壓力(向下為正)。

圖1 亞音速氣流中的二維曲壁板示意圖

本文考慮初始變形曲率為常數(shù)的圓弧，其幾何表達(dá)式為[5]:

(2)

2 氣動(dòng)力的表達(dá)式

氣動(dòng)壓力△p由兩部分組成：由壁板運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的時(shí)變動(dòng)態(tài)壓力△pd和由壁板初始變形產(chǎn)生的靜態(tài)壓力△ps，即，△p=△pd+△ps。當(dāng)變形較大時(shí)，由Bernoulli方程可得△p為

(3)

(4)

及邊界條件：

(5)

φ=0 (y→+∞)

(6)

將壁板的動(dòng)位移W和初始位移W0寫(xiě)作：

(7)

其中：

將式(7)代入到式(5)可得：

(8)

根據(jù)式(8)，并采用分離變量法設(shè)：

(9)將式(9)代入式(4)，并聯(lián)立式(3)、(5)、(6)、(8)可得：

(10)

其中：

3 方程的離散

引入下列無(wú)量綱參數(shù)：

式(2)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱初始曲率為：

Γx=8he

(11)

將無(wú)量綱參數(shù)對(duì)應(yīng)代入方程(1)、(10)，利用正交性可得離散的常微分方程：

(12)

其中：

4 靜平衡位置和靜態(tài)氣動(dòng)力的計(jì)算

研究曲壁板在氣動(dòng)力作用下的靜平衡位置。在式(12)中取n=2，可得關(guān)于靜平衡位置的方程為：

(13)

其中：

使用牛頓迭代法可以求得此方程的解，進(jìn)而可以得到曲壁板在氣動(dòng)力作用下的靜平衡位置。以國(guó)內(nèi)高速列車(chē)普遍使用的鋁合金面板為算例，其主要參數(shù)E=69 GPa，ρ=2705 kg/m3，υ=0.3 ，l=800 mm，h=2.5 mm，取氣流密度ρ∞=1.2 9 kg/m3， 曲壁板中間初始位移為He=1.2 5 mm。

圖2 靜變形下的靜態(tài)氣動(dòng)力分布圖

圖3 和圖4分別表示了曲壁板在不同動(dòng)壓和軸力作用下的靜態(tài)變形。從圖中可以看出，曲壁板將會(huì)向氣流一側(cè)產(chǎn)生位移；位移沿中點(diǎn)呈對(duì)稱(chēng)分布，并隨著動(dòng)壓及軸向壓力增大而增大。

圖3 不同動(dòng)壓下的曲壁板靜變形圖

圖4 不同軸力下的曲壁板靜變形圖

圖5給出了壁板中部靜位移wm在不同軸力作用下隨動(dòng)壓的變化關(guān)系。由圖可知，板的變形隨著動(dòng)壓的增大而增大，并呈現(xiàn)非線(xiàn)性關(guān)系，且隨著動(dòng)壓增大，壁板變形量的增大呈現(xiàn)放緩趨勢(shì)。

圖5 不同軸力作用下靜位移隨動(dòng)壓變化趨勢(shì)圖

5 分岔及穩(wěn)定性分析

n=2,i=1,2

(14)

其中：

圖6給出了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)數(shù)目、位置和穩(wěn)定性情況隨來(lái)流動(dòng)壓的變化情況?？梢钥闯?，系統(tǒng)存在一個(gè)臨界動(dòng)壓值λc(λc≈60.7)，當(dāng)λ<λc時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；當(dāng)λ>λc時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了尖點(diǎn)分岔現(xiàn)象。尖點(diǎn)分岔是一種突變現(xiàn)象，其是由于系統(tǒng)為非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)而產(chǎn)生的。與平板一般發(fā)生的叉式分岔不同[4,9]，尖點(diǎn)分岔在分岔處將會(huì)產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，如圖所示，該跳躍現(xiàn)象歸結(jié)于靜態(tài)氣動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的非對(duì)稱(chēng)性。

圖6 曲壁板的尖點(diǎn)分岔圖

圖7表示曲壁板在不同初始小曲率和軸力作用下的分岔動(dòng)壓參數(shù)λc的變化圖。從圖中可以看出，λc隨無(wú)量綱軸力的增大而增大，隨初始變形的曲率減小而減小。

圖7 不同初始變形下軸力與臨界動(dòng)壓關(guān)系

采用變步長(zhǎng)Runge-Kutta方法對(duì)方程(14)在不同的初始條件下進(jìn)行數(shù)值求解可得系統(tǒng)響應(yīng)，如圖8所示。從圖8(a)可知，當(dāng)λ<λc時(shí)，系統(tǒng)作振幅衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)，直至收斂到穩(wěn)定平衡點(diǎn)(q1+)；當(dāng)λ>λc時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)依據(jù)初始條件收斂到某一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(q1+或q1-)，如圖8(b)～8(c)所示。這是由于兩支穩(wěn)定分支上的奇點(diǎn)存在各自的吸引域。對(duì)于各自穩(wěn)定點(diǎn)的吸引域范圍的分布問(wèn)題研究，正是下一步需要做的工作。

圖8 不同動(dòng)壓和初值下的相圖

6 結(jié)論

(1) 曲壁板的靜態(tài)變形隨動(dòng)壓及軸向壓力的增大而增大，反之則會(huì)越小；壁板的變形將會(huì)隨著變形量的增大呈現(xiàn)放緩趨勢(shì)。

(2) 系統(tǒng)將產(chǎn)生尖點(diǎn)分岔，系統(tǒng)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性將會(huì)發(fā)生變化；臨界動(dòng)壓與曲壁板的初始曲率以及軸力有關(guān)。系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)與初值、動(dòng)壓相關(guān)。

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Bifurcation Analysis of Curved Plate in Subsonic Flow

LIUShaowen,LIPeng,YANGYiren

(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The bifurcations of two-dimensional curved plate with initial curvature in subsonic flow is studied. Considering the influence of large deflection equation and viscoelasticity. The static and dynamic aerodynamic pressure of curved plate is derived on modal superposition method. The governing partial differential equation is transformed to a series of ordinary differential equations by using Galerkin method. Solving the equations by Newton iteration method, the position of static deformation is obtained. Bifurcation of the curved plate is studied in a parameter-space, and the Runge-Kutta method is used to calculate the time history response of curved plate phase diagram. The results show that: the initial deformation of the curved plate lead to static aerodynamic force and a new static position, the system will undergoes an imperfect-like bifurcation resulting in the change of the number and the stability of equilibrium points and the steady response to the system is closely related to the dynamic pressure and initial value.

curved plate; subsonic flow; static deformation; cusp bifurcation; time history response

2016-03-21

國(guó)家自然科學(xué)基金(11302183);四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2015JY0083)

劉少文(1989-),男,湖南永州人,碩士生,主要從事流固耦合動(dòng)力學(xué)方面的研究,(E-mail)lp_vib@swjtu.edu.cn

1673-1549(2016)05-0057-06

10.11863/j.suse.2 016.05.1 3

TB115

A