大膽猜測(cè)，巧妙構(gòu)建

張麗軍

【摘 要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考中占有很大的比重。而自從浙江高考將導(dǎo)數(shù)放入選修模塊之后，函數(shù)的命題方向轉(zhuǎn)向了含參的二次函數(shù)及絕對(duì)值的綜合題型，這類(lèi)題變量多，分類(lèi)討論繁，成了好多學(xué)生無(wú)法攻克的難關(guān)。

【關(guān)鍵詞】含參；二次函數(shù)；絕對(duì)值不等式

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考中占有很大的比重。而自從浙江高考將導(dǎo)數(shù)放入選修模塊之后，函數(shù)的命題方向轉(zhuǎn)向了含參的二次函數(shù)及絕對(duì)值的綜合題型，這類(lèi)題變量多，分類(lèi)討論繁，成了好多學(xué)生無(wú)法攻克的難關(guān)，而有些時(shí)候絕對(duì)值不等式能夠很巧妙的解決這類(lèi)問(wèn)題。下面筆者將這類(lèi)題型加以整理，供大家參考。

絕對(duì)值不等式：

（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)左邊“=”成立， 時(shí)右邊“=”成立）

例1.（2015年浙江理科卷）已知函數(shù) 記 是 在區(qū)間 上的最大值.

（1）證明：當(dāng) 時(shí)， ；

（2）當(dāng)a，b滿(mǎn)足M（a，b）

≤2時(shí)，求 的最大值.

解析：本題第（1）問(wèn)是證明含絕對(duì)值的最值問(wèn)題，所以可以用絕對(duì)值不等式證明

（1）證明如下： 的對(duì)稱(chēng)軸 滿(mǎn)足

在 上單調(diào)

兩式相加得：

例2.（金麗衢十二校2015學(xué)年高三第二次聯(lián)考）設(shè) ，若對(duì)于 都成立，則

解析：本題可先將 換元成二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為含絕對(duì)值的二次函數(shù)的最值問(wèn)題。難點(diǎn)在于有兩個(gè)變量，討論繁瑣。那么對(duì)于填空題，我們可不可以大膽猜測(cè)一下，是不是存在一個(gè)特殊情況，使得不等式成立呢？

解：令 ，則 可化為

原問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為 都成立

粗解： 是開(kāi)口向上的二次函數(shù)， 不妨令 ，可得

此法雖然可以得出 的值，但是沒(méi)有說(shuō)服力，那么如何給出正解呢？仔細(xì)思考上面給出答案的方法，可以發(fā)現(xiàn)只需將三個(gè)位置代入，利用絕對(duì)值不等式即可.

正解：由題意，有 ，

由 可得 ，由 可得

例3.已知函數(shù) ，設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 .

若 ，求 的值；

若 對(duì)任意的 恒成立，試求 的最大值.

解析：本題的第（2）小題即求 在 上最大值中的最小值，

可以考慮區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，然后運(yùn)用絕對(duì)值不等式求出最值

解（2）：由題意： ，

，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取到“=”，

即

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)上述3個(gè)例子的求解，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，求函數(shù) 在定區(qū)間 的最大值 ，則 有一個(gè)最小值，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到最值。方法如下：

因?yàn)?，所以

所以

思考：若二次函數(shù)含三個(gè)參數(shù)時(shí)，還能否用到上述方法呢？

例4.設(shè) ，對(duì)任意滿(mǎn)足 的實(shí)數(shù) ，都有 ，則 的最大可能值為 .

粗解：設(shè) ，可令 ，得 ，

，所以 的最大可能值為3

正解：由題意： ，

所以 即 的最大可能值為3

通過(guò)上述例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于含參及絕對(duì)值的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般可以先考慮區(qū)間的端點(diǎn)及區(qū)間中點(diǎn)，然后借助絕對(duì)值不等式，合理配湊，得到所求的最優(yōu)解。