探索與發(fā)現(xiàn)

王香

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程?！蔽覀兊臄?shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該努力實(shí)施課標(biāo)的理念，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)，主動(dòng)對(duì)信息進(jìn)行加工與整理，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)化和提煉，再通過數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)字母等形式進(jìn)行概括和歸納，形成規(guī)律性的認(rèn)識(shí)并加以應(yīng)用。從廣義上講，這些規(guī)律性認(rèn)識(shí)包括數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式，法則以及數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律等。下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談幾點(diǎn)拙見。

一、讓學(xué)生在操作實(shí)踐中建構(gòu)

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，是一個(gè)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程，也就是一個(gè)把具體事物的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行抽象概括，形成概念、法則、公式、性質(zhì)并進(jìn)行運(yùn)用的過程，而要實(shí)現(xiàn)這個(gè)過程，就需要實(shí)踐。

例如，在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，先給學(xué)生準(zhǔn)備一套直徑分別為2、3、4厘米的圓形紙片，讓學(xué)生思考一下怎樣才能知道這些圓片的周長(zhǎng)。學(xué)生的思維得到發(fā)散，有的用線繞圓片一周再測(cè)量線的長(zhǎng)度；有的將圓片在直尺上滾動(dòng)一周；有的在圓周上先點(diǎn)上一個(gè)點(diǎn)，在白紙上轉(zhuǎn)動(dòng)一周后再點(diǎn)上一個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)連線再測(cè)量長(zhǎng)度……并依次記下數(shù)據(jù)填入表格中。方法雖然不同，但異曲同工。此后要求學(xué)生把這些數(shù)據(jù)填入表格中并認(rèn)真觀察表格中直徑和測(cè)量圓周長(zhǎng)得到的數(shù)據(jù)，便不難發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑的倍比關(guān)系。此時(shí)，教師趁熱打鐵，說明圓的周長(zhǎng)與直徑的比值為π，如果圓的周長(zhǎng)用C表示，那么C=πd的圓周長(zhǎng)公式就在學(xué)生的操作實(shí)踐中建構(gòu)成功。

再如，“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)，更能體現(xiàn)學(xué)生在操作實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教學(xué)中可采取小組合作形式，每個(gè)小組均有量角器、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形紙片各一張。讓學(xué)生先猜測(cè)一下三角形內(nèi)角和的度數(shù)，然后進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)。有的采用測(cè)量的方法，有的則用折的方法，還有的先撕后拼，學(xué)生從不同的角度，用不同的方法得到同樣的結(jié)論，即三角形的內(nèi)角和不受形狀的影響，也不受大小的影響，任意三角形的內(nèi)角和都是180℃。如果教學(xué)中再用課件將以上幾種方法進(jìn)行演示，將學(xué)生的探索過程呈現(xiàn)在屏幕上，則更形象生動(dòng)，給人以畫龍點(diǎn)睛之感，會(huì)激起學(xué)生較長(zhǎng)時(shí)間的思維興奮。

二、讓學(xué)生在比較中建構(gòu)

比較是一種重要的思維方法，對(duì)于一些容易混淆的知識(shí)來說，通過比較可以發(fā)現(xiàn)他們之間的區(qū)別和聯(lián)系，便于學(xué)生掌握各個(gè)相似概念的本質(zhì)特征，提高自己分析問題和解決問題的能力。

例如，二年級(jí)上冊(cè)對(duì)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的數(shù)”的數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題是密切聯(lián)系的，由于二者本質(zhì)上是同一類問題，只不過是兩個(gè)數(shù)的相差關(guān)系發(fā)生了變化。教材對(duì)其進(jìn)行整合的目的在于引導(dǎo)學(xué)生通過分析、對(duì)比，明確數(shù)量關(guān)系的變化，溝通其內(nèi)在聯(lián)系。為了幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，教材創(chuàng)設(shè)了切合學(xué)生實(shí)際的問題情境，并以文字形式呈現(xiàn)了實(shí)際問題，甚至于還提供了一個(gè)解題的策略——畫圖。教學(xué)中要結(jié)合情境圖，幫助學(xué)生弄清題目中的兩個(gè)數(shù)量是誰和誰比，誰多誰少，知道了什么，讓我們求什么。

（1）一班得了12面小紅旗，二班比一班多得3面，也就是說二班和一班比，二班得的小紅旗多，如果畫圖表示，則是：

從圖示中可以清楚看出二班得的小紅旗其實(shí)可以分為兩部分，一部分是和一班同樣多的12面，另一部分是比一般多的3面，只要把這兩部分合起來就是二班得的小紅旗的面數(shù)。抽象出數(shù)學(xué)問題就是，要求二班得了多少面小紅旗，實(shí)際上就是求比12多3的數(shù)是多少。

（2）一班得了12面小紅旗，三班的小紅旗比一班少4面，也就是說，三班和一班比，三班得的小紅旗少，如果畫圖表示，則是：

顯然，三班得的小紅旗比一班少4面。從圖示中可以清楚一班得的小紅旗其實(shí)可以分為兩部分，一部分是和三班同樣多的，另一部分是比三班多的4面，也就是三班比一班少的4面。因此，只要從12面里去掉4面，剩下的就和三班的小紅旗同樣多，那么，要求三班小紅旗的面數(shù)，就是求比12少4的數(shù)是多少。

兩道題的解決思路仿佛清楚了，計(jì)算方法好像也掌握了，但還達(dá)不到融會(huì)貫通，得心應(yīng)手的程度，這就還需要進(jìn)行分析對(duì)比。可把兩道題目的思考解答過程同時(shí)呈現(xiàn)在課件上，引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)比，找出它們的異同。首先，二班和三班都是和一班比，二班是比一班多，三班是比一班少，由于一班的小紅旗有12面，顯然，求比已知數(shù)量多幾就用加法，求比已知數(shù)量少幾就用減法。其次，（1）題的12+3=15中，“12”是指“二班與一班同樣多的12面”，而（2）題的12-4=8中，“12”則是“一班小紅旗的面數(shù)”，“8”是三班與一班同樣多的面數(shù)，也就是三班小紅旗的面數(shù)。為了提高學(xué)生的認(rèn)知，練習(xí)課上我又把這兩種實(shí)際問題與“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾”的實(shí)際問題結(jié)合起來進(jìn)行回顧對(duì)比，使相差關(guān)系問題成為一個(gè)整體，使之橫向溝通融為一體。這樣，學(xué)生遇到這類問題，便能清楚“誰比誰多”、“誰比誰少”，該用加法還是該用減法解答，從而“縱橫結(jié)網(wǎng)”，觸類旁通。

教材中適合于分析對(duì)比的內(nèi)容很多，如“倍比關(guān)系”實(shí)際問題，分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘除法問題、正反比例等都是很好的素材。

三、讓學(xué)生在觀察分析中建構(gòu)

教育心理學(xué)認(rèn)為：觀察是指學(xué)生獲得感性知識(shí)的一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是一種有目的、有計(jì)劃的知覺。只有讓學(xué)生獨(dú)立地、有目的有系統(tǒng)地去探索與了解客觀對(duì)象的變化與進(jìn)程的知覺才是觀察。因此，觀察是一個(gè)知覺思維和語言相結(jié)合的智力活動(dòng)過程。正如盤尼西林的發(fā)明者費(fèi)萊明所說：“我的唯一功勞是我沒有忽視觀察?！蔽覀兊臄?shù)學(xué)教學(xué)也是如此。

例如，在“2、5的倍數(shù)的特征”教學(xué)中就可以引導(dǎo)學(xué)生在觀察中分析，在分析中建構(gòu)。一般來說，教學(xué)“2、5的倍數(shù)的特征”的教學(xué)過程有不同呈現(xiàn)形式，但都離不開觀察思考。教學(xué)中可以在“百數(shù)表”上分別圈出它們的倍數(shù)，再分別觀察思考所圈出的這些數(shù)有什么特征；也可以先讓學(xué)生說出2的若干個(gè)倍數(shù)，教師隨之板書在黑板上（按照個(gè)位數(shù)字分別板書），5的倍數(shù)亦同。再讓學(xué)生通過觀察得出結(jié)論。還可以通過創(chuàng)設(shè)站隊(duì)報(bào)數(shù)的情境，引出雙號(hào)、單號(hào)數(shù)，再觀察這些雙數(shù)的特征。不難看出，這些教學(xué)環(huán)節(jié)都離不開觀察。前者通過圈數(shù)，很容易看到5的倍數(shù)都集中在“5”和“10”所在的那一列，2的倍數(shù)則集中在“2”、“4”、“6”、“8”、“10”所在的那一列，而10的個(gè)位上的數(shù)字是0。后者由于2和5的倍數(shù)是學(xué)生口答出的，且教師又按照一定規(guī)律進(jìn)行板書，很容易發(fā)現(xiàn)它們的倍數(shù)的特征。而雙數(shù)、雙號(hào)的個(gè)位數(shù)字分別是0、2、4、6、8。至于結(jié)論，對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來說歸納概括起來應(yīng)該不是問題。

再如，教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”也離不開觀察分析。在此之前，學(xué)生已經(jīng)理解了小數(shù)除法的算理，建構(gòu)并熟練掌握了計(jì)算方法。這里學(xué)習(xí)“循環(huán)小數(shù)”則是關(guān)于“商”的進(jìn)一步研究，主要理解除法計(jì)算中產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)的原因，掌握“循環(huán)小數(shù)”、“有限小數(shù)”、“無限小數(shù)”的概念，形成靈活處理“商”的意識(shí)和能力。

例7可以讓學(xué)生用豎式計(jì)算，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)該題“除不盡”時(shí)，教師可以讓學(xué)生邊觀察豎式，邊思考問題。

（1）如果繼續(xù)除下去，會(huì)出現(xiàn)怎樣的結(jié)果？

（2）余數(shù)有什么特點(diǎn)？

（3）商的小數(shù)部分的數(shù)字有什么特點(diǎn)？

學(xué)生通過觀察思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果繼續(xù)除下去，商的小數(shù)部分總是重復(fù)出現(xiàn)3，余數(shù)25也重復(fù)出現(xiàn)，因此會(huì)永遠(yuǎn)除不完。那么為什么商的小數(shù)部分總是重復(fù)出現(xiàn)3，余數(shù)25也重復(fù)出現(xiàn)，二者有什么關(guān)系？仔細(xì)觀察一下豎式，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，商就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，商是隨余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)才重復(fù)出現(xiàn)的。

這樣通過圍繞所提問題進(jìn)行計(jì)算、觀察、分析等活動(dòng)，學(xué)生對(duì)依次不能重復(fù)出現(xiàn)等關(guān)鍵詞語，有了較深刻的理解，對(duì)于商循環(huán)出現(xiàn)的原因也有了較清楚地認(rèn)識(shí)，循環(huán)小數(shù)的概念呼之欲出。一旦概括出了循環(huán)小數(shù)的概念，那么怎樣表示循環(huán)小數(shù)又會(huì)引發(fā)學(xué)生新的探索。

四、讓學(xué)生在知識(shí)形成過程中建構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有些法則、公式的歸納概括是有一個(gè)過程的，也就是說不可能一步到位。之所以會(huì)出現(xiàn)這種情況，正如《課標(biāo)》中所說“充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考；充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。”教材的整體設(shè)計(jì)要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。一些數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在邏輯順序，教材編寫應(yīng)有利于學(xué)生感悟這種順序，這種關(guān)聯(lián)。就拿整數(shù)加法筆算法則來說，它的構(gòu)建就經(jīng)歷了幾個(gè)階段。

整數(shù)加法法則的建構(gòu)經(jīng)歷了兩個(gè)階段。第一階段是學(xué)習(xí)百以內(nèi)的加法。對(duì)于這部分知識(shí)，教材安排了2個(gè)層次。先學(xué)習(xí)不進(jìn)位加法，構(gòu)建了整數(shù)加法的前兩條法則，即“相同數(shù)位對(duì)齊”和“從個(gè)位加起”。再學(xué)習(xí)進(jìn)位加法，建構(gòu)了“個(gè)位上相加滿十，向十位進(jìn)一?！边@個(gè)階段是繼續(xù)學(xué)習(xí)整數(shù)加法乃至于整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的基礎(chǔ)。所謂“相同數(shù)位對(duì)齊”，就是指相同數(shù)位上的數(shù)相加，也就是相同單位的數(shù)相加?！皬膫€(gè)位加起”則是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，是個(gè)規(guī)定。而“個(gè)位上相加滿十，向十位進(jìn)。”則是伴隨著計(jì)算產(chǎn)生的，其中既有算理，又有算法，它是進(jìn)位加法的第一步。第一個(gè)層次安排了2個(gè)例題教學(xué)。例1的35+2要借助學(xué)生用小棒進(jìn)行操作，使學(xué)生知道在寫豎式時(shí)“2”要和“5”對(duì)齊的道理，也就是個(gè)位數(shù)要和個(gè)位數(shù)對(duì)齊。例2的35+32中，第二個(gè)加數(shù)有了十位數(shù)，會(huì)引發(fā)學(xué)生有了新的思考。第二個(gè)加數(shù)十位上的3在哪里寫？從哪里加起？用小棒進(jìn)行操作可以解決“3”的書寫位置。而先加什么，后加什么則會(huì)出現(xiàn)兩種可能，這就需要教師的及時(shí)點(diǎn)撥了。要強(qiáng)調(diào)豎式計(jì)算時(shí)一定要從個(gè)位加起，至于為什么，以后大家會(huì)明白的。為了鞏固新知，在練習(xí)中不能滿足于學(xué)生用豎式算，而應(yīng)在計(jì)算的同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)這兩條法則。第二個(gè)層次是進(jìn)位加，重點(diǎn)解決豎式計(jì)算中個(gè)位上相加滿十怎么辦，以及豎式上如何寫的問題，這是教學(xué)的難點(diǎn)所在。為了讓學(xué)生理解，還是應(yīng)該重視小棒操作。一旦擺出了小棒，學(xué)生就會(huì)意識(shí)到單根的加起來是12根，要把10根捆成一捆，這一捆要放在整捆的位置，那2根還在單根的位置，所以寫豎式時(shí)，得數(shù)的個(gè)位上寫2，而新捆成的一捆怎么在豎式上表示會(huì)使學(xué)生感到糾結(jié)，這就需要進(jìn)行點(diǎn)撥，要把這個(gè)“1”寫在第二個(gè)加數(shù)的右下方，并盡量寫小一點(diǎn)。然后讓學(xué)生說一說十位上怎么算，提醒學(xué)生十位上相加時(shí)千萬別忘了加上進(jìn)位數(shù)1。至于豎式計(jì)算時(shí)，為什么要從個(gè)位加起，恐怕大家也就心知肚明了。初學(xué)進(jìn)位加法，很多學(xué)生還不適應(yīng)，很可能會(huì)出現(xiàn)忘記進(jìn)位，忘記加進(jìn)位數(shù)等問題，所以要進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶ｍ?xiàng)訓(xùn)練。如出道題目讓學(xué)生說說先算什么，再算什么，尤其是十位上是怎么算的。此后可以讓學(xué)生結(jié)合以上幾道題的計(jì)算過程，嘗試著歸納出“個(gè)位相加滿十，向十位進(jìn)1”，繼而完整地?cái)⑹鲆幌?00以內(nèi)筆算加法的計(jì)算法則。

第二階段的學(xué)習(xí)是在三年級(jí)上冊(cè)，這個(gè)階段的筆算加法是100以內(nèi)筆算加法的延伸，數(shù)的范圍由百以內(nèi)擴(kuò)展到萬以內(nèi)。教材安排了3個(gè)例題，例1是不進(jìn)位加法，新的知識(shí)點(diǎn)是百位數(shù)的對(duì)位和百位數(shù)相加。例2新的知識(shí)點(diǎn)是十位上相加滿十和百位上相加滿十。例3出現(xiàn)了連續(xù)進(jìn)位的情況。教學(xué)中要抓好銜接點(diǎn)的教學(xué)，要充分利用知識(shí)遷移規(guī)律。相信對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來說，例1完全可以自己解決，例2可能會(huì)出現(xiàn)問題，即十位上相加滿十了，在豎式上怎么寫？百位上相加滿十了，豎式上又怎么寫？解決的方法還應(yīng)該借助于操作表象。不過用小棒進(jìn)行操作準(zhǔn)備起來有些困難，我們可以選擇教學(xué)課件或計(jì)數(shù)器，依然可以讓學(xué)生感到動(dòng)感，感悟到整捆的相加是12捆，可以把10捆捆成一大捆，放在大捆的位置。而用計(jì)數(shù)器似乎就省事了，十位上相加撥珠滿了10，自然要用百位上的1顆珠子代替。用了計(jì)數(shù)器，百位上相加滿十怎么辦的問題也就迎刃而解了。至于忘了加進(jìn)位數(shù)的問題，首先讓學(xué)生明白為什么加，更重要的是良好計(jì)算習(xí)慣的培養(yǎng)。

綜上所述，例2是個(gè)位滿十向十位進(jìn)1這條進(jìn)位法則的擴(kuò)展，一定要讓學(xué)生結(jié)合練習(xí)真正理解和熟練運(yùn)用。至于教材中提出的“計(jì)算萬以內(nèi)的加法要注意什么”，目的在于讓學(xué)生歸納筆算加法法則，即“相同數(shù)位對(duì)齊”，“從個(gè)位加起”。而進(jìn)位法則，一定要遵循知識(shí)遷移規(guī)律，讓學(xué)生結(jié)合“個(gè)位相加滿十，向十位進(jìn)1”，“十位相加滿十，向百位進(jìn)1”，“百位相加滿十，向前位進(jìn)1”，通過合作學(xué)習(xí)的方式嘗試著用一句話闡明進(jìn)位法則，也就是把個(gè)位、十位、百位概括成“哪一位”，向十位、向百位、向千位，概括成“前一位”。成功構(gòu)建了整數(shù)加法法則，然后再研究例3的連續(xù)進(jìn)位加法，學(xué)生便會(huì)有的放矢，個(gè)位滿十要向十位進(jìn)1，十位也滿十要自然還要向百位進(jìn)1，連續(xù)兩次進(jìn)位，每一次都要向前一位進(jìn)1，十位、百位上相加時(shí)都不能忘記加上進(jìn)位數(shù)，這樣連續(xù)進(jìn)位的難點(diǎn)便不攻自破了?？v觀整數(shù)筆算加法法則的構(gòu)建過程，可以充分看出教學(xué)的由淺入深、環(huán)環(huán)相扣，充分展現(xiàn)了整數(shù)加法本身是密切聯(lián)系的一個(gè)有機(jī)整體。抓住了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，就抓住了“綱”，就能一通百通。而學(xué)生主動(dòng)參與到法則生成的過程中，既培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力，還為整數(shù)減法計(jì)算法則，甚至于小數(shù)加減法法則的構(gòu)建打下了良好的基礎(chǔ)。

實(shí)踐證明，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，并在這個(gè)過程中使學(xué)生做到會(huì)觀察、會(huì)實(shí)踐、會(huì)對(duì)比、會(huì)分析、會(huì)研究、會(huì)概括歸納，能夠在數(shù)學(xué)的大舞臺(tái)上展示激情、展示智慧、展示個(gè)性、展示自我，學(xué)生的創(chuàng)造性火花就會(huì)不斷閃現(xiàn)，真正體驗(yàn)到成功的愉悅，而我們的數(shù)學(xué)課堂也愈加豐富、鮮活與深刻。

（作者單位：山東大學(xué)第一附屬小學(xué)，山東 濟(jì)南 250000）