平均數(shù)的教學(xué)不能離開統(tǒng)計(jì)意義

任景業(yè)

【編者按】小學(xué)階段，為了適應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律，很多數(shù)學(xué)知識(shí)在呈現(xiàn)上會(huì)有“不嚴(yán)謹(jǐn)”或是“不規(guī)范”的現(xiàn)象，這需要教師在教學(xué)中有左右逢源的視域和上通下達(dá)的關(guān)照。然而，就有部分教師在處理這些概念時(shí)，采取“快意恩仇”的處理方式。短期看來(lái)，能夠保證學(xué)生解題的成功率，長(zhǎng)遠(yuǎn)看來(lái)卻不利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。這其實(shí)是教師專業(yè)知識(shí)缺失的一種典型表現(xiàn)，打鐵還需自身硬，教師自身專業(yè)知識(shí)的完備，才能使自己在開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)游刃有余，本期將結(jié)合具體課例圍繞“完善小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)”展開討論。

這是一位教師發(fā)在新浪博客中的一篇博文（博主：秋葉書齋齋主）。

一個(gè)周六的下午，我正在趕一篇論文，兒子拿著一道題很迷惑地問(wèn)我：“媽媽，這道題是怎么回事呀？”我一看——“如果你語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的平均成績(jī)是92分，語(yǔ)文91分，數(shù)學(xué)90分，英語(yǔ)多少分？”就沒好氣地說(shuō)：“上課沒聽講，對(duì)吧？這么簡(jiǎn)單的應(yīng)用題都不會(huì)做?！眱鹤游胤洲q：“我聽了！平均不就是同樣多的意思嗎？可是為什么我語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)一定要考同樣多的分?jǐn)?shù)？”我簡(jiǎn)直忍俊不禁了，笑著說(shuō)：“不是說(shuō)要你考同樣多的分?jǐn)?shù)，而是你考了不同的分?jǐn)?shù)，算出三門功課的平均成績(jī)?！薄盀槭裁匆愠鑫胰T功課的平均數(shù)？”兒子進(jìn)一步追問(wèn)。我一聽這小子要打破砂鍋問(wèn)到底了，趕緊隨便找了個(gè)理由把他哄開了，否則一個(gè)下午也和他說(shuō)不清。可是沒過(guò)一會(huì)兒，他又來(lái)了：“媽媽，這個(gè)又是怎么回事嘛？”再一看，還是類似的題：“今年小明9歲，爸爸39歲，媽媽36歲，小明一家今年的平均年齡多大？”我有點(diǎn)不耐煩了：“你今天怎么回事？老算不出這么簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題！”兒子一聽，大聲嚷嚷起來(lái)了：“我會(huì)算！可是為什么要算一家人的平均年齡呢？爸爸、媽媽、兒子的年齡怎么可能一樣大呢？”我抬頭看見兒子因“憤怒”而漲紅了的小臉，忽然語(yǔ)塞。是呀，明明三門功課成績(jī)不一樣，為什么要假設(shè)它們一樣呢？計(jì)算一家三口兩代人的年齡平均值就更是純粹的數(shù)學(xué)數(shù)字游戲，算出來(lái)有什么意義呢？可這在小孩看來(lái)，無(wú)法理解、毫無(wú)意義的數(shù)字游戲，偏偏在成人的世界中最為盛行——人均收入、人均居住面積、人均綠化面積等等。而這些平均數(shù)又意味著什么呢？

從這一段描述我們至少可以看出兩個(gè)問(wèn)題：第一，孩子知道平均數(shù)怎么算，但不知道為什么要這么算。第二，教師編撰的習(xí)題僅停留于平均數(shù)的算法意義，而沒有體現(xiàn)出平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。由此，學(xué)生也就不能理解學(xué)習(xí)平均數(shù)的真正意義。

現(xiàn)象體現(xiàn)本質(zhì)，教師對(duì)于“平均數(shù)”認(rèn)識(shí)的缺失應(yīng)是主因?；剡^(guò)頭來(lái)看，平均數(shù)首先是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它的意義是為了說(shuō)明一組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征。

一、怎樣理解平均數(shù)的意義

理解平均數(shù)可以從以下三個(gè)方面去理解：

1. 怎么算平均數(shù)，也就是計(jì)算平均數(shù)的程序，即用被平均的數(shù)加起來(lái)除以數(shù)值的個(gè)數(shù)或通過(guò)均分幾個(gè)量求得平均數(shù)。說(shuō)簡(jiǎn)單一些就是“先加再除”，這是算法程序方面的理解。2. 在什么情境中用平均數(shù)。不僅僅知道怎么算，還要知道在什么情境下怎么正確地運(yùn)用它解決生活中的問(wèn)題，能求在不同情境下的平均數(shù)。這是第二方面的理解。3. 平均數(shù)是代表和理解一組數(shù)據(jù)的一個(gè)代表值，是描述和比較數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量。

以前在教學(xué)“平均數(shù)”的概念時(shí)，教師往往把教學(xué)重點(diǎn)放在平均數(shù)的字面含義和求法上，而對(duì)平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義和作用很少提及。也就是關(guān)注的是第一條，而弱化的是最重要的一條——平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

這里要注意，平均數(shù)是“描述和比較數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量”。這涉及兩個(gè)方面的“描述”和“比較”。在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，平均數(shù)有時(shí)作為一組數(shù)據(jù)的代表，獨(dú)立描述這組數(shù)據(jù)的集中程度，如下文的“看一看每次可以記住幾個(gè)數(shù)字”與“競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表”等。有時(shí)又與其他組的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。就如——

下面是“新苗杯”兒童歌手大獎(jiǎng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表。

（1）你是怎樣理解平均得分的？與同伴交流你的想法。

（2）請(qǐng)你把這張成績(jī)統(tǒng)計(jì)表填寫完整。

（3）請(qǐng)你排出三位選手的名次，并與同伴交流你的方法。

在這個(gè)題目中，不同的評(píng)委對(duì)同一個(gè)選手的評(píng)分是不一樣的。選擇誰(shuí)的評(píng)分作為選手的成績(jī)？在這樣需要兩組數(shù)據(jù)總體水平的比較中，平均數(shù)就應(yīng)當(dāng)上場(chǎng)了。這樣的情境比前面博文中孩子做的題目更接近平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

二、教學(xué)建議

1. 在教學(xué)中要突出平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

在北師大版教材中，四下“平均數(shù)”一課設(shè)計(jì)了一個(gè)記憶數(shù)字的游戲：“每三秒呈現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，看一看每次可以記住幾個(gè)數(shù)字。”在這個(gè)游戲中，要讓學(xué)生理解“看一看每次可以記住幾個(gè)數(shù)字”的意思，它不是一次能記住幾個(gè)數(shù)字，是做過(guò)多次后，得到一組數(shù)據(jù)，然后選擇一個(gè)能代表這組數(shù)據(jù)的代表值。其實(shí)，這可以看成是測(cè)試一個(gè)人記憶能力的小測(cè)驗(yàn)。結(jié)合淘氣5次記住數(shù)字的統(tǒng)計(jì)表，取其中任何一個(gè)數(shù)據(jù)都不能代表淘氣的記憶能力（當(dāng)然，用最大值也未嘗不可，關(guān)鍵看如何制定標(biāo)準(zhǔn)），這需要一個(gè)代表值，由此讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

數(shù)學(xué)中，不建議給出平均數(shù)的計(jì)算公式。這樣更有利于學(xué)生理解平均數(shù)的意義。

蔡金法博士的研究發(fā)現(xiàn)，亞洲和美國(guó)在教學(xué)平均數(shù)的內(nèi)容時(shí)，有明顯的不同。亞洲系列更多的是對(duì)算術(shù)平均數(shù)這一算法的概念性和操作性理解，而不僅僅是把它看成一組數(shù)據(jù)的代表；美國(guó)的教材更多的是從一種統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而不是算法的角度來(lái)理解這個(gè)概念。美國(guó)教師強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)把平均數(shù)作為數(shù)據(jù)的代表來(lái)理解，而不是給學(xué)生演示算術(shù)平均數(shù)的算法。在美國(guó)的“教師用書”上很明確地指出五年級(jí)的學(xué)生沒有必要學(xué)會(huì)平均數(shù)的計(jì)算方法，只是會(huì)估計(jì)就行了，如估計(jì)一個(gè)月的平均氣溫。在學(xué)生形成平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的直覺后，才要求他們解決該教材中的例子。因?yàn)楦鲊?guó)國(guó)情不同，我們不能說(shuō)美國(guó)五年級(jí)的學(xué)生沒有必要學(xué)會(huì)平均數(shù)的計(jì)算方法，只是會(huì)估計(jì)就行了，這個(gè)要求是不是太低，但他們并不過(guò)早地提供學(xué)生算法，而是讓學(xué)生更多地從一種統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而不是算法的角度來(lái)理解平均數(shù)的概念，對(duì)我們是很有啟發(fā)的。

2. 在實(shí)際應(yīng)用中理解統(tǒng)計(jì)意義。

我們看下面的一個(gè)例子。

哪個(gè)班的成績(jī)好些？

數(shù)學(xué)是國(guó)際通用的科學(xué)語(yǔ)言，“作為語(yǔ)言課，首要任務(wù)是會(huì)使用它來(lái)表達(dá)思想”。（張奠宙等《數(shù)學(xué)教育學(xué)》），平均數(shù)也是如此。本題中給出了兩個(gè)班的原始成績(jī)記錄，一個(gè)班的數(shù)據(jù)有23個(gè)，一個(gè)班的數(shù)據(jù)有20個(gè)，要比較這兩個(gè)班的成績(jī)需要找到一個(gè)能代表各班成績(jī)的代表值。由本題可以讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，而非是一個(gè)算術(shù)習(xí)題。

當(dāng)然，這樣的問(wèn)題是很多的。可以比一下不同班級(jí)學(xué)生的身高、體重等生理指標(biāo)，也可以選取體育賽事中的某項(xiàng)目成績(jī)?？傊?，要讓學(xué)生在實(shí)際的應(yīng)用中體會(huì)統(tǒng)計(jì)量的意義。

教學(xué)中要為學(xué)生盡可能多地提供足夠的實(shí)際背景的問(wèn)題，讓學(xué)生思考，舉例、解釋、討論，分享他們的看法。如，哪個(gè)國(guó)家的人更長(zhǎng)壽些？有資料說(shuō)，圣馬力諾男性平均壽命為83歲，是不是這個(gè)國(guó)家的人到83歲就死亡呢？是不是在死亡的人中沒有低于83歲的人呢？哪家快遞公司到貨更快些？有個(gè)公司說(shuō)：他們發(fā)貨平均3天到。如果你發(fā)的貨第四天沒到，你會(huì)找快遞小哥“理論”嗎？

3. 讓學(xué)生親自參與統(tǒng)計(jì)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)量的意義。

先看一個(gè)資料：

人類工程學(xué)是一門建立在工程學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、解剖學(xué)、人類學(xué)、信息論等一系列科學(xué)基礎(chǔ)上的新興邊緣學(xué)科。人體尺寸是人類工程學(xué)最基本的數(shù)據(jù)，是產(chǎn)品設(shè)計(jì)中不可缺少的資料。左圖是從《人體動(dòng)作尺寸圖集》[（日）小原二郎編，張福昌譯]中選取的一幅。請(qǐng)說(shuō)出根據(jù)此圖設(shè)計(jì)合適的座椅時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)數(shù)據(jù)。

現(xiàn)在的工業(yè)設(shè)計(jì)、企業(yè)規(guī)劃、國(guó)家決策常常會(huì)用到大數(shù)據(jù)。一提大數(shù)據(jù)似乎離小學(xué)生很遠(yuǎn)，離我們的教學(xué)很遠(yuǎn)。其實(shí)，大數(shù)據(jù)也是統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用。由此，我們可以讓學(xué)生自己測(cè)一下班里的同學(xué)的手長(zhǎng)、腿長(zhǎng)，身高、腳長(zhǎng)，進(jìn)行不同的活動(dòng)時(shí)需要的空間，據(jù)此給出一些設(shè)計(jì)的建議。如，桌子應(yīng)當(dāng)多高合適？黑板多高才能適合四年級(jí)的學(xué)生書寫？板報(bào)的字寫多大才能看得清……這些問(wèn)題的解決，需要用到眾多的數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)的采集就是很好的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)。這些活動(dòng)，又離不開平均數(shù)。因?yàn)樵O(shè)計(jì)的桌子、黑板、樓梯，不能只照顧特殊人群，需要選擇這些數(shù)據(jù)的代表值以代表這些數(shù)據(jù)的特征。

（作者單位：山東省茌平縣杜郎口中學(xué)）