用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題

林淑晶　陳佩鳳

【摘 要】 如何讓學(xué)生記住數(shù)學(xué)概念，準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念來解題一直是數(shù)學(xué)中的重要問題，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用。闡述了如何用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決解決對(duì)圓周角的理解和運(yùn)用的問題。同時(shí)，利用5W2H分析法對(duì)這一教學(xué)案例進(jìn)行分析，提出一些關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的看法。

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；幾何教學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；5W2H分析法

【中圖分類號(hào)】 G632.4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 2095-3089（2016）25-0-03

一、問題的提出

圓周角是初中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，圓周角定理及其推論對(duì)于角的計(jì)算，證明角相等，弧、弦相等，以及證明圓中三角形相似等數(shù)學(xué)問題提供了十分便捷的方法和思路"同樣，圓內(nèi)角和圓外角的問題可以利用三角形的外角定理轉(zhuǎn)化為圓周角問題來解決！靈活運(yùn)用圓周角的性質(zhì)可以使許多問題變得簡單、直觀。但是在實(shí)際教學(xué)的過程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往看似已經(jīng)理解了圓周角的概念，也能把這一概念復(fù)述出來。但是在實(shí)際運(yùn)用的過程中會(huì)出現(xiàn)：（1）不能準(zhǔn)確的找出圓周角所對(duì)的弦；（2）找到了圓周角所對(duì)的弦，但是卻找不到同弦所對(duì)的圓周角。

究其原因，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念的獲得方式有兩種，一種是以概念的形成方式獲得，另一種是以概念的同化方式獲得。在圓周角的教學(xué)中由于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)比較簡單而具體，數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，因此大部分概念是以概念的形成方式進(jìn)行教學(xué)的，也即直接告訴學(xué)生“圓周角就是頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交”。這樣會(huì)造成一個(gè)問題，就是學(xué)生被動(dòng)地接受了一個(gè)概念，這個(gè)概念在他的腦中只是一個(gè)抽象的概念，沒能和他本身的知識(shí)體系和圓的圖像聯(lián)系在一起，所以當(dāng)只有簡單的一個(gè)圓周角的時(shí)候，他能夠順利找出圓周角，但是當(dāng)有幾個(gè)圓周角在一起的時(shí)候，他就比較迷惑了。

為了解決這個(gè)問題我們希望可以讓學(xué)生通過自己的觀察，動(dòng)手，把這一個(gè)概念更好地內(nèi)化，能夠準(zhǔn)確地運(yùn)用。

二、利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決圓周角問題的策略

1.什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)等同屬于科學(xué)實(shí)驗(yàn)的范疇，本身具有科學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)。但由于學(xué)科性質(zhì)的不同，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同于一般的科學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指按照數(shù)學(xué)思想發(fā)展的脈絡(luò)，創(chuàng)造問題情景，充分利用實(shí)踐手段、設(shè)計(jì)系列問題、增加輔助環(huán)節(jié)，在教學(xué)思維活動(dòng)的參與下引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、積極、批判的思考，然后給出驗(yàn)證和理論證明，從而使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建構(gòu)，逐步把握認(rèn)識(shí)事物、發(fā)展真理的方式方法，培養(yǎng)創(chuàng)造能力和科學(xué)研究意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種數(shù)學(xué)探索活動(dòng)。

在教學(xué)過程中采取以下的模式：

教師：精選實(shí)驗(yàn)課題——設(shè)置問題情境——幫助、引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)——幫助學(xué)生形成結(jié)論

學(xué)生：實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備——觀察、動(dòng)手操作——與同學(xué)和老師交談、探討——形成結(jié)論并論證

在整個(gè)過程中，教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在把學(xué)生帶入問題情境后，有效地組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、探索。而學(xué)生在自覺進(jìn)入問題情境后，通過觀察、動(dòng)手操作和實(shí)驗(yàn)等實(shí)踐活動(dòng)，去尋找事物間的聯(lián)系，學(xué)生是整個(gè)學(xué)習(xí)過程的主體。

2.利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決圓周角問題

根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想，我們把圓周角概念的獲得變成幾個(gè)學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)。

活動(dòng)一、找出圓的圓心，引出圓周角

教師在上課時(shí)給每位學(xué)生發(fā)一個(gè)圓形的卡片，問：怎么才能知道這個(gè)圓的直徑？盡可能地找出不同的方法。

學(xué)生能通過對(duì)折找到圓心，教師繼續(xù)引導(dǎo)是否還有其他的方法，有學(xué)生能想到利用垂徑定理找出圓心，首先，隨意找出圓中一條弦，然后用圓規(guī)畫出這條弦的中垂線，重復(fù)操作兩次即可找到兩條中垂線的交點(diǎn)，此時(shí)，交點(diǎn)即為圓心。然后，老師利用三角板也能找圓心（演示，從而引入新課——圓周角）。

活動(dòng)二、動(dòng)手畫一畫，畫劣弧AB所對(duì)的圓周角∠ACB，并與同伴交流

從學(xué)生畫出的圓周角看，大部分學(xué)生都掌握了圓周角的概念，而第2個(gè)學(xué)生作品更揭示了一定的數(shù)學(xué)思想方法。

活動(dòng)三、探索圓周角與圓心角的關(guān)系

1、量一量，上題中∠ACB和∠AOB的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？

我發(fā)現(xiàn)：∠ACB=_______；∠AOB=_______；

2、所對(duì)的圓周角∠ACB與圓心角∠AOB有哪幾種位置關(guān)系？

利用幾何畫板演示圓周角與圓心角大小關(guān)系，學(xué)生觀察圓心都落在圓周角的什么位置？

師：在這個(gè)動(dòng)態(tài)演示過程中，你們發(fā)現(xiàn)圓心在圓周角的什么地方？它們可以分為多少類？

3、所對(duì)的圓周角∠ACB與圓心角∠AOB有哪幾種位置關(guān)系？

利用幾何畫板演示圓周角與圓心角大小關(guān)系，學(xué)生觀察圓心都落在圓周角的什么位置？

在這個(gè)動(dòng)態(tài)演示過程中，你們發(fā)現(xiàn)圓心在圓周角的什么地方？它們可以分為多少類？

我們歸納如下：

4、你可以證明上述你測量的結(jié)論嗎？試試看

已知：⊙O中，∠AOB為圓心角，∠ACB為圓周角

求證：∠ACB=1/2∠AOB

第二類、第三類能轉(zhuǎn)化為第一類嗎？

通過以上三個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生以概念的同化方式獲得圓周角的概念，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同類事物中若干不同例子進(jìn)行感知、分析、比較、抽象，以歸納出圓周角概念的本質(zhì)屬性，從而獲得圓周角的概念。同時(shí)，通過活動(dòng)二和三讓學(xué)生能更好地理解圓周角的概念，同時(shí)能讓學(xué)生更好地理解同弦所對(duì)的圓周角的概念，更容易找出同弦所對(duì)的圓周角。

三、實(shí)施的效果與改進(jìn)

經(jīng)過這節(jié)的教學(xué)后，我們利用5W2H分析法對(duì)本節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1.5W2H分析法

“5Why”是指“5個(gè)為什么”分析，也被稱作為什么——為什么分析，是一種探索問題原因的方法。圍繞一個(gè)問題連續(xù)發(fā)問5次，直到找到問題的真正的根源。5Why方法雖然簡單，卻包含了最先進(jìn)的質(zhì)量理念，它用簡單的方法傳遞全面的質(zhì)量改進(jìn)理念，是系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的問題解決方法。

5W2H得名于其設(shè)問的七個(gè)方面的英語縮寫，即是誰（Who）、什么時(shí)候（When）、什么地點(diǎn)（Where）、什么原因（Why）、什么事情（What）、如何做（How）、花費(fèi)多少（Howmuch）。

2.利用5W2H分析法對(duì)上述課例進(jìn)行分析

Why：學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)不能準(zhǔn)確的找出圓周角所對(duì)的弦以及找到了圓周角所對(duì)的弦，但是卻找不到同弦所對(duì)的圓周角的問題。這與學(xué)生被動(dòng)接受概念，而不能把概念內(nèi)化有關(guān)。

What：利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)三個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過自己觀察、動(dòng)手，對(duì)圓周角概念進(jìn)行內(nèi)化。

Where：教室。

When：上課時(shí)間。

Who：教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在把學(xué)生帶入問題情境后，有效地組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、探索。而學(xué)生在自覺進(jìn)入問題情境后，通過觀察、動(dòng)手操作和實(shí)驗(yàn)等實(shí)踐活動(dòng)，去尋找事物間的聯(lián)系，學(xué)生是整個(gè)學(xué)習(xí)過程的主體。

How：通過活動(dòng)二，能讓學(xué)生通過自己動(dòng)手去了解同弧所對(duì)的圓周角的概念，在找圓周角的過程中對(duì)概念完成內(nèi)化。通過活動(dòng)三能對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，并且在這一過程中體會(huì)概念形成的過程，有利于學(xué)生理解和運(yùn)用概念。在活動(dòng)二中基本上都是以正面的結(jié)果出現(xiàn)的，但是在實(shí)施的過程中還是有學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)識(shí)的錯(cuò)誤，導(dǎo)致沒有能正確地畫出圖形。

Howmuch：用一節(jié)課的時(shí)間對(duì)定理進(jìn)行探究。這樣探究的時(shí)間可能還是用得比較多，但是學(xué)生能夠體會(huì)到概念形成的完整過程，雖然堂上的練習(xí)時(shí)間減少了。但是對(duì)于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的體會(huì)還是有好處的。

根據(jù)5W2H分析法本課例主要存在的問題是：（1）學(xué)生在畫同弧所對(duì)圓周角的時(shí)候出現(xiàn)問題；（2）探究過程中所花費(fèi)的時(shí)間過多。

3.根據(jù)5W2H分析法對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行改善

我們根據(jù)上述分析對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了一點(diǎn)改善，我們?cè)谡n程實(shí)施的過程把形式改變?yōu)閷W(xué)生的小組合作。對(duì)于問題（1）在改變組織形式后從學(xué)生畫出的圓周角看，大部分學(xué)生都掌握了圓周角的概念，少部分學(xué)生還存在理解性的錯(cuò)誤，但經(jīng)過同伴的指正也能很好地掌握，第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)全員過關(guān)。對(duì)于問題（2）在活動(dòng)二的時(shí)候每個(gè)人的畫圖量可以減少，整個(gè)小組把各自的結(jié)果和在一起進(jìn)行觀察。在活動(dòng)三的證明過程中，同一個(gè)小組只要一部分同學(xué)把情況二變成情況一，其他人把情況三變成情況一，然后合起來一起討論，這樣整節(jié)課的時(shí)間就節(jié)省下來。

四、反思與收獲

1、運(yùn)用“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”對(duì)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力及學(xué)科的學(xué)業(yè)成績都有較顯著的效果，產(chǎn)生如此效果的根本原因是把教學(xué)從傳統(tǒng)的條條框框及千篇一律的程式中解放出來。教師的教與學(xué)生的學(xué)都充分得到了發(fā)揮，思維活躍、開闊，個(gè)性表現(xiàn)全面而充分，這樣的教學(xué)是卓有成效的。這也從另一個(gè)方面說明，要使用這一模式，必須解放思想，勇于創(chuàng)新。

2、學(xué)生通過“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的探究活動(dòng)，不僅掌握了數(shù)學(xué)的概念，形成更為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且親歷了知識(shí)的生長，獲得了親身體驗(yàn)和感悟，這樣有利于學(xué)生形成問題探究意識(shí)和善于質(zhì)疑、大膽實(shí)踐，積極進(jìn)取的精神。同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生堅(jiān)忍不拔、奮發(fā)有為的人格品質(zhì)和不斷追求新知的科學(xué)態(tài)度。

3、教師在選擇探究問題或創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)條件時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：（1）實(shí)驗(yàn)所涉及的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)必須是學(xué)生已經(jīng)具有的，或者是他們的最近發(fā)展區(qū)，是學(xué)生跳一跳可以解決的問題。（2）問題或創(chuàng)設(shè)的實(shí)驗(yàn)條件是可以得出結(jié)果的，而且是多種結(jié)論的，以利于學(xué)生思維的搜索與發(fā)散。（3）所確定的問題應(yīng)與學(xué)生的日常生活密切聯(lián)系，具有現(xiàn)實(shí)的社會(huì)意義與價(jià)值，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神、態(tài)度與價(jià)值觀。

4、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力。而探求學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)與學(xué)業(yè)成績是一致的，不相矛盾。從本研究來看，證明了這種看法。

5、本實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模式在學(xué)科教學(xué)的不同內(nèi)容上有一定的差異性。在具體操作時(shí)一是需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整或再設(shè)計(jì)，二是對(duì)有些內(nèi)容，我們不排除采用其他的教學(xué)方法和手段，學(xué)生的學(xué)習(xí)方法也要作相應(yīng)的調(diào)整。“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)能力的一種方法，同時(shí)，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教學(xué)模式?jīng)Q不意味著全面否定和拋棄常規(guī)教學(xué)。只是從比較來看，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力比常規(guī)教學(xué)方法更直觀、更直接，常規(guī)教學(xué)需要更新，不是徹底拋棄。

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