教學數(shù)學的發(fā)展及其應用

蘇擁英

【摘 要】 數(shù)學教學改革的方向和重心從教育教學的一般性原理調(diào)整至現(xiàn)今很多學者關(guān)注數(shù)學內(nèi)容改革上，尤其涉及教育數(shù)學的發(fā)展，并取得一些的成就，本文就其成就談了教育數(shù)學的突出特點和貢獻：在數(shù)學學科知識上發(fā)展網(wǎng)狀的邏輯知識結(jié)構(gòu)，強化學生的認知；方法更普遍、解題更簡潔、知識起點低；相關(guān)成果也可用于解決了機器證明領(lǐng)域的國際難題。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學教育；教育數(shù)學；PCK理論

【中圖分類號】 G64.23 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）25-0-02

數(shù)學教育在基礎教育中有著重要的地位和價值，近半個世紀以來世界各國特別是發(fā)達國家為提高中小學生的數(shù)學素質(zhì)做了大量的研究和實踐。美國等西方國家先后提出并實踐了“新數(shù)運動”、“回到基礎”、“問題解決”、“建構(gòu)主義”等多種思想，這些思想都在不斷調(diào)整著數(shù)學教學改革的方向和重心。但這些主要是集中在對數(shù)學是基礎性或應用性的把握，或者是在數(shù)學教學方法上，所取得的效果也不是非常明顯，究其原因，可能是其改革和研究內(nèi)容偏重于教學一般性原理而忽略了數(shù)學內(nèi)容本身。

這些數(shù)學教育的研究主要關(guān)注教學模式與方法，但很少關(guān)心數(shù)學內(nèi)容的處理與創(chuàng)新。近三十年來出現(xiàn)了一些變化，國際上對數(shù)學教育研究的總趨勢是從一般理念認識轉(zhuǎn)向關(guān)注學科內(nèi)容；從哲學和心理學層面的原理性研究發(fā)展到深入結(jié)合具體數(shù)學內(nèi)容的教與學的方法論研究。

自上世紀80年代以來，數(shù)學教育界開始研究學科內(nèi)容教學知識在教師工作中的重要作用。1986年，舒爾曼提出PCK（Pedagogical Content Knowledge）理論，提出重視學科內(nèi)容在教學中的重要性。近30年來，此方向仍在深入發(fā)展。例如，MargaretKendal和KayeStaeey曾于1996年做過一項三角函數(shù)定義教學的比較研究，結(jié)果顯示，從概念發(fā)展的角度看，用比值法教學很難讓學生的研究對象（角）超越第一象限，而單位圓法則不存在這樣的問題，無疑對深入學習三角函數(shù)更有幫助。這表明，關(guān)注數(shù)學內(nèi)容變化對學生影響的研究在數(shù)學教育中日益受到重視。雖然PCK理論意識到關(guān)注學科內(nèi)容對教學活動的重要性，但它沒有重視數(shù)學內(nèi)容在教育活動中的整合與創(chuàng)新的可能性和重要性。例如，上述研究僅僅限于比較三角函數(shù)的兩種定義方法，但沒有去探索更適合教學的三角函數(shù)的其他定義方法。張景中于1974年發(fā)現(xiàn)利用面積方法推導三角函數(shù)概念與某些公式，能很好地把幾何、三角和代數(shù)聯(lián)系起來，有助于學生理解概念，提高解題能力，并增強思考的樂趣。他所發(fā)現(xiàn)的面積解題法為中學數(shù)學競賽所采用，成為有效的解題工具之一。1989年張景中把這些做法和其他教學經(jīng)驗結(jié)合，首次提出了“教育數(shù)學”的概念和思想方法，其思想是為了教育把數(shù)學變得更容易，其任務為“改造數(shù)學知識結(jié)構(gòu)使之更適宜于教學和學習”。這些思想獲得不少一線老師的認同，并于2004年成立了中國高等教育學會教育數(shù)學專業(yè)委員會，由此創(chuàng)設了一個新興的研究領(lǐng)域。

張景中于2006年發(fā)表“重建三角，全局皆活”一文，提出“三角函數(shù)新定義體系”。后又出版《一線串通的初等數(shù)學》（科學出版社，2009），詳細闡明具體的教學改進方案。教育數(shù)學不僅在初等數(shù)學領(lǐng)域有進展，在高等數(shù)學領(lǐng)域也取得了不少進展，如微積分方面，第一代牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的微積分在“說不清楚”的情形下發(fā)展了130多年，第二代柯西和魏爾斯特拉斯建立的嚴謹?shù)臉O限理論基礎上的微積分，在“聽不明白”的情況下，又發(fā)展了170多年。近年來，中國學者林群、張景中等從平凡的事實出發(fā)，不用極限和實數(shù)，直截了當?shù)亟⒘说谌⒎e分，使得在學習微積分的過程中既能“說得清楚”、又能“聽得明白”。

最近，美國Otterbein大學童增祥教授，在長期的數(shù)學教學實踐和數(shù)學教育研究中，認識到數(shù)學內(nèi)容本身優(yōu)化的重要性，對中國學者張奠宙提倡的重視雙基，及張景中提出的教育數(shù)學理論觀點表示認同。他不僅發(fā)表了一系列有關(guān)教育數(shù)學的論文，而且在Otterbein大學成立了美國第一個教育數(shù)學研究生班，從事教育數(shù)學的研究與實踐，并發(fā)表論文闡述教育數(shù)學的觀點[1-3]，認為美國的數(shù)學教育也需要引入教育數(shù)學。

下面就結(jié)合教育數(shù)學的具體內(nèi)容和方法，談一下其突出特點和貢獻：

一、發(fā)展網(wǎng)狀的邏輯知識結(jié)構(gòu)，強化學生的認知

數(shù)學學科教材的知識結(jié)構(gòu)是教材編寫者賦予的知識路線，一般的編寫者都是按照學科的知識發(fā)展歷程對知識點進行編排，但是否這樣的知識結(jié)構(gòu)更符合學生的認知呢？未必。從學習心理學角度來看，學生在學習過程中，是將新知識與原有的舊知識進行匹配，進行著“同化”和“順應”的過程，在學習過程中，更講究知識點之間的聯(lián)系，即新知識與舊知識產(chǎn)生出越多的聯(lián)系，新知識就越容易被接受和鞏固。

所以在知識結(jié)構(gòu)的安排過程中，更多的需考慮知識點的聯(lián)系和融合，將不同的知識點整合到一起，衍生出各種不同角度的“關(guān)系”，如初等數(shù)學中幾何、代數(shù)和三角的知識，是在不同的歷史時期，不同的地域分別形成的，它們有各自的體系、術(shù)語和符號，這些知識曾經(jīng)構(gòu)成初等數(shù)學里的三門數(shù)學課程。后來，在課程表上三者合而為一，統(tǒng)一叫做數(shù)學。但仍是在不同的學期分別進行教學?；旧细髯员３种约旱捏w系。三門科目都被分解成若干模塊并組合起來成為不同學期的課程。但這樣簡單的合并，并沒有起到促進數(shù)學教學的效果。[4]

教育數(shù)學在此方面工作就是把這三門科目的知識點有機地融合在一起，實現(xiàn)知識的串通，形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，具體方案是將三角的知識提前引入，串通了初等數(shù)學大部分的知識點，尤其是幾何部分的定義、定理等知識點，使得知識點之間的邏輯結(jié)構(gòu)更加簡短、優(yōu)化，更利于理解和解題，從而強化學生的認知。

二、方法更普遍、解題更簡潔、知識起點低

在教育數(shù)學的研究過程中，產(chǎn)生了一系列解題工具和方法，同時基于此理念開發(fā)出教育軟件。

張景中等在研究過程中，發(fā)現(xiàn)了“面積法”解決題目的規(guī)律，用面積來定義正弦等辦法，進而發(fā)展了“共邊定理”和“共角定理”等工具（下面兩例即為使用“共角定理”和“面積法”來證明題目），使得解題過程更為簡潔，知識起點更低。

在研究教育數(shù)學的歷程中，張景中團隊還開發(fā)了一套適合于中小學師生使用Z+Z教學軟件--supersketchpad，該軟件擅長于作圖、計算，更突出的是它強于推理和自動證明幾何題，這些功能都優(yōu)于幾何畫板。

三、相關(guān)成果解決了機器證明領(lǐng)域的國際難題

張景中在指導學生解決幾何問題時，總結(jié)出用面積關(guān)系解題的規(guī)律，在這些規(guī)律的基礎上，1992年提出了消點法，并和周咸青、高小山合作，創(chuàng)建了可構(gòu)造等式型幾何定理可讀證明自動生成的理論和方法，并在計算機上實現(xiàn)，同時在多個國家的相關(guān)系統(tǒng)中得以應用，解決了機器證明領(lǐng)域可讀證明的國際難題。這個教育數(shù)學研究成果解決的難題，使得機器證明領(lǐng)域在繼“吳方法”后又一次掀起了高潮。

“教育數(shù)學”理念的正式提出至今也才短短的20多年，就已改善和解決了數(shù)學教學領(lǐng)域、軟件領(lǐng)域乃至數(shù)學機械化領(lǐng)域的很多問題，其成果的實踐和運用在諸多方面都取得了良好的效果，展現(xiàn)出其極廣的應用性和頑強的生命力。

在數(shù)學學科領(lǐng)域，還有很多問題待解決，還有很多難點待攻克。同樣在數(shù)學教育領(lǐng)域，還有很多課程和知識的難點沒有簡化或優(yōu)化，很多原生態(tài)的數(shù)學知識沒有被改良，“教育數(shù)學”還有很多的工作要做。

參考文獻：

[1]童增祥，Promoting Research in Educational Mathematics[R]， AMS Eastern Sectional Meeting， 2014

[2]童增祥，Why Do Chinese Students Excel on International Mathematical Olympiads？ --- Mathematics Education in China[R]， at the AMS-MAA Annual Joint Meetings， 2009

[3]童增祥，在美國傳播教育數(shù)學的理念[R]，在中國教育數(shù)學年會上的書面報告，2014

[4-]張景中著，走進教育數(shù)學—幾何新方法和新體系[M]，科學出版社，2009