論高考中常見的線性規(guī)劃問題

山東省廣饒職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 劉澤峰

一、基本類型

線性目標(biāo)函數(shù)最值問題——直線的截距型（或截距的相反數(shù)）。

A.12 B.10 C.8 D.2

[答案] B

[解析] 畫出可域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z＝4x＋2y可轉(zhuǎn)化為

作出直線y＝－2x并平移，顯然當(dāng)其過點A時縱截距最大.

規(guī)律方法：

利用線性規(guī)劃求最值。

1.準(zhǔn)確畫出可行域是解答此類問題的前提條件。

2.把目標(biāo)函數(shù)值與過可行域內(nèi)點的一組平行直線建立對應(yīng)關(guān)系。

3.理解好線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵。

最優(yōu)解一般在可行域的邊界上，并且通常在可行域的頂點處取得，所以作圖時要力求準(zhǔn)確。

非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題：

1.直線的斜率型

A.最大值是2，最小值是1

B.最大值是1，最小值是0

C.最大值是2，最小值是0

D.有最大值無最小值

[答案] C

表示可行域內(nèi)點與原點連線的斜率.顯然在A(1,2)處取得最大值2.在x軸上的線段BC上時取得最小值0，∴選C.

點評：深刻地理解目標(biāo)函數(shù)的含義，正確地將其轉(zhuǎn)化為直線的斜率是解決本題的關(guān)鍵。

2.平面內(nèi)兩點間的距離型（或距離的平方型）

[解析]：目標(biāo)函數(shù)x2＋y2，其含義是點(0,0)與可行域內(nèi)的點的距離的平方。畫出可行域如下圖所示，

可見可行域中的點A(1,2)到原點距離最小為d＝5，∴x2＋y2≥5.即x2＋y2的最小值為

3.點到直線的距離型

z＝x2＋y2－10y＋25的最小值.

[解析]作出可行域如圖所示，并求出頂點的坐標(biāo)A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).

易知可行域內(nèi)各點均在直線x＋2y－4＝0的上方，

規(guī)律方法

解決這類問題的關(guān)鍵是利用圖形的直觀性，這就需要：第一，要準(zhǔn)確作出可行域；第二，要抓住目標(biāo)函數(shù)Z=f(x,y)中z的幾何意義。

二、線性規(guī)劃中的含參類型

1.約束條件中含有參數(shù)問題

解析：求解有關(guān)線性規(guī)劃的最大值和最小值問題，準(zhǔn)確畫圖找到可行域是關(guān)鍵.

∴Zmax=3,Zmin=3a.

由題意得a-故答案B。

規(guī)律方法：

要使目標(biāo)函數(shù)在含參的可行域中取得最值,可以利用函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想,比較約束條件中的直線斜率大小,找到最優(yōu)解,然后再代入目標(biāo)函數(shù)求出參數(shù)的值

2.線性目標(biāo)函數(shù)中含參數(shù)類型

[答案] B

[解析] y＝ax－z.在C點取最優(yōu)解，則一定是z的最小值點，.結(jié)合選項可知選B.

規(guī)律方法：

1.準(zhǔn)確畫出可行域是解答此類問題的前提條件。

2.把目標(biāo)函數(shù)值與過可行域內(nèi)點的一組平行直線建立對應(yīng)關(guān)系。

3.理解好目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵。

準(zhǔn)確定位好之后把目標(biāo)函數(shù)中直線的斜率約束條件中的直線斜率比較大小從而求出參數(shù)的范圍。