地形橫向密度擾動(dòng)對(duì)于區(qū)域大地水準(zhǔn)面建模的影響

吳懌昊 羅志才,2

1 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢市珞喻路129號(hào)， 430079 2 地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市珞喻路129號(hào)，430079

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地形橫向密度擾動(dòng)對(duì)于區(qū)域大地水準(zhǔn)面建模的影響

吳懌昊1羅志才1,2

1 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢市珞喻路129號(hào)， 430079 2 地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市珞喻路129號(hào)，430079

分別利用Helmert和KTH法模擬試算了不同地形起伏區(qū)域內(nèi)橫向密度擾動(dòng)對(duì)于大地水準(zhǔn)面的影響。結(jié)果表明，在地形起伏較小的平原或丘陵地帶，橫向密度擾動(dòng)的影響一般不會(huì)超過cm級(jí)，在精度允許的范圍內(nèi)可以忽略其影響；在地形起伏較大的山區(qū)，橫向密度擾動(dòng)的影響可達(dá)cm甚至dm級(jí)，對(duì)于cm級(jí)大地水準(zhǔn)面精化而言，需要考慮其影響。此外，基于Helmert與KTH法解算的結(jié)果在地形起伏劇烈的山區(qū)差異較大，由于Helmert法計(jì)算地形效應(yīng)時(shí)忽略了外區(qū)地形質(zhì)量的影響，其解算結(jié)果可能存在偏差?？傮w而言，在地形起伏劇烈的山區(qū)建模時(shí)，需利用多種計(jì)算方法基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行試算，通過計(jì)算的變密度大地水準(zhǔn)面與實(shí)測(cè)的GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，得到適合該區(qū)域的大地水準(zhǔn)面建模方法。

地形橫向密度擾動(dòng)；大地水準(zhǔn)面；赫爾默特凝聚法；KTH法

確定高精度、高分辨率的大地水準(zhǔn)面是物理大地測(cè)量的主要任務(wù)之一。利用Stokes理論解算大地水準(zhǔn)面的前提是大地水準(zhǔn)面外部不存在剩余質(zhì)量，即需對(duì)地形質(zhì)量進(jìn)行相應(yīng)的處理，并對(duì)實(shí)測(cè)重力進(jìn)行歸算[1]。對(duì)地形質(zhì)量處理時(shí)往往將地殼密度作為常數(shù)而不考慮其變化，這一假設(shè)不僅在理論上存在不嚴(yán)密性，在實(shí)際大地水準(zhǔn)面的解算中也可能會(huì)引入較大的誤差。特別是在地形復(fù)雜、起伏大的山區(qū)，地殼密度可能偏離平均值10%～20%，橫向密度擾動(dòng)可能會(huì)引起較大的誤差[2]。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響作了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[2]從理論上證明，即使是一個(gè)很小的密度擾動(dòng)在山區(qū)也可能會(huì)引起dm級(jí)的誤差；文獻(xiàn)[3]利用赫爾默特凝聚法計(jì)算加拿大山區(qū)橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響，表明在該區(qū)域橫向密度擾動(dòng)的影響達(dá)7.0 cm；文獻(xiàn)[4]的研究表明，橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響在最深湖(貝加爾湖)和最高山脈(喜馬拉雅山)分別達(dá)到了1.5 cm和1.78 m；文獻(xiàn)[5]計(jì)算了伊朗山區(qū)地殼密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響，表明其影響可達(dá)dm級(jí)或以上。國外學(xué)者的研究結(jié)果表明，在地形起伏較大的區(qū)域及多山地區(qū)，橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響較大，需要謹(jǐn)慎考慮其影響。由于不同的計(jì)算方法對(duì)于地形質(zhì)量的處理方式不同，基于不同方法計(jì)算的橫向密度擾動(dòng)對(duì)于大地水準(zhǔn)面的影響也會(huì)存在差異。本文利用赫爾默特凝聚法和KTH法，以國內(nèi)不同區(qū)域的大地水準(zhǔn)面建模為實(shí)例，對(duì)比分析地形橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響，并分析不同建模方法的優(yōu)劣，以期為后續(xù)的山區(qū)大地水準(zhǔn)面精化提供參考。

1 橫向密度擾動(dòng)影響的計(jì)算方法

1.1 赫爾默特凝聚法

赫爾默特凝聚法(Helmert)并不是移除地形質(zhì)量的影響，而是把地形質(zhì)量的影響壓縮到大地水準(zhǔn)面以下，并利用與高程呈簡(jiǎn)單線性關(guān)系的重力梯度將地面重力異常向下延拓到大地水準(zhǔn)面上。赫爾默特重力異常ΔgHelmert可表示為[6]：

(1)

式中，Δgfa表示空間重力異常。計(jì)算點(diǎn)p的局部地形改正tc可表示為[1]：

(2)

(3)

式中，hp表示點(diǎn)p的地形高，R表示地球的平均半徑。

恢復(fù)移去地形質(zhì)量的間接影響，可得到最終的大地水準(zhǔn)面。間接影響Nind可表示為[6]：

(4)

式中，γ表示平均正常重力，hp和h表示計(jì)算點(diǎn)和流動(dòng)點(diǎn)的地形高。

聯(lián)合式(2)及式(3)，橫向密度擾動(dòng)Δρ對(duì)Helmert重力異常ΔgHelmert的總影響可表示為：

(5)

橫向密度擾動(dòng)對(duì)間接影響的影響ΔNind可表示為：

(6)

結(jié)合式(5)及式(6)，橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的總影響ΔNtotal可表示為：

(7)

式中，S(ψ)表示Stokes函數(shù)。

1.2 KTH法

KTH法利用隨機(jī)性改化形式的Stokes公式計(jì)算大地水準(zhǔn)面。與傳統(tǒng)方法相比，KTH法無需進(jìn)行重力歸算，而直接采用地面重力異常計(jì)算得到近似的大地水準(zhǔn)面高，在此基礎(chǔ)上加上大地水準(zhǔn)面高的附加改正項(xiàng)得到最終的大地水準(zhǔn)面[7-10]。區(qū)別于傳統(tǒng)方法計(jì)算地形質(zhì)量影響時(shí)需要分別計(jì)算直接影響和間接影響，該方法直接計(jì)算地形質(zhì)量對(duì)大地水準(zhǔn)面的總影響，即組合地形影響，可表示為[7,11]：

(8)

(9)

式(9)中等式右邊第二項(xiàng)的影響較小，通?？蓪⑵浜雎圆挥?jì)，此時(shí)可表示為：

(10)

我國采用正常高系統(tǒng)，計(jì)算的大地水準(zhǔn)面往往要轉(zhuǎn)換為似大地水準(zhǔn)面，橫向密度擾動(dòng)同樣也會(huì)影響上述轉(zhuǎn)換結(jié)果。大地水準(zhǔn)面和似大地水準(zhǔn)面差距可表示為：

(11)

(12)

簡(jiǎn)單布格重力異常ΔgB受到橫向密度擾動(dòng)的影響，造成大地水準(zhǔn)面和似大地水準(zhǔn)面的差距也會(huì)受到地殼密度擾動(dòng)的影響。經(jīng)過簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可得，橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面和似大地水準(zhǔn)面差距的影響Δζρ可表示為：

(13)

對(duì)比式(10)和式(13)可知，利用KTH法計(jì)算橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響與計(jì)算橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面和似大地水準(zhǔn)面差距的影響公式一致，因此在后續(xù)的試算中可以利用KTH法計(jì)算橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響，即計(jì)算出了橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面和似大地水準(zhǔn)面差距的影響。

2 數(shù)值分析

國外學(xué)者往往通過地質(zhì)勘察部門所發(fā)布的地質(zhì)圖、地理信息數(shù)據(jù)及相關(guān)信息獲取特定區(qū)域的真實(shí)地殼密度資料[3]。由于在進(jìn)行相關(guān)研究中缺乏相應(yīng)的地殼密度資料，本文通過模擬研究計(jì)算不同區(qū)域、不同密度擾動(dòng)對(duì)該區(qū)域大地水準(zhǔn)面精化的影響，以此說明在這些地區(qū)是否要考慮橫向密度擾動(dòng)的影響。本文主要采用普拉特-海福特均衡補(bǔ)償系統(tǒng)計(jì)算的地殼均衡密度擾動(dòng)[12]和模擬的特定橫向密度擾動(dòng)。普拉特-海福特均衡模型假設(shè)大地水準(zhǔn)面下方某一深度處存在一個(gè)補(bǔ)償面，該補(bǔ)償面下方的密度是均勻的，上方的質(zhì)量在該補(bǔ)償面上產(chǎn)生的壓強(qiáng)處處相等。通過均衡補(bǔ)償理論就可以得到每個(gè)柱體的密度ρ，在不影響精度的情況下通過適當(dāng)?shù)钠矫娼痞芽杀硎緸閇12]：

(14)

式中，D表示大地水準(zhǔn)面到補(bǔ)償面的距離，即補(bǔ)償深度；H為地面到大地水準(zhǔn)面的距離，即海拔高程；ρ0=2.67g/cm3為平均地殼密度。

通過式(14)可得到近似的地殼密度擾動(dòng)Δρ：

(15)

為了對(duì)比分析不同密度擾動(dòng)對(duì)局部大地水準(zhǔn)面精化的影響，本文在試算區(qū)域內(nèi)定義了3種常密度擾動(dòng)Δρ1、Δρ2及Δρ3，分別偏離平均地殼密度的5%、10%及15%，表示如下：

(16)

式中，ρ1、ρ2及ρ3表示3種相應(yīng)的地殼密度。

由于密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響與密度擾動(dòng)大小和計(jì)算區(qū)域的地形起伏相關(guān)，為了進(jìn)一步說明地形起伏的影響，本文選取兩個(gè)地勢(shì)高低、地形起伏各異的試算區(qū)域：1)我國東南某丘陵區(qū)域ΩA，其緯度范圍為26°～28°，經(jīng)度范圍為116°～118°，見圖1(a)；2)我國四川省西部某山區(qū)區(qū)域ΩB，其緯度范圍為31°～33°，經(jīng)度范圍為101°～103°，見圖1(b)。DEM模型采用SRTM模型，其分辨率為3″×3″，即90 m×90 m，其相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)信息見表 1。由圖1、圖2可知，區(qū)域ΩA地形總體上起伏較小，屬于較為平坦的區(qū)域。結(jié)合表 1和表 2，其高程平均值約為430 m，平均均衡密度擾動(dòng)為0.028 g/cm3，約為平均地殼密度的1%。區(qū)域ΩB屬于海拔高程較高的山區(qū)，地形總體上起伏較大，該區(qū)域高程平均值約為3 885 m，均衡密度擾動(dòng)的平均值0.236 g/cm3，偏離平均地殼密度約為8.8%，地殼密度擾動(dòng)較大。

圖1 不同區(qū)域的數(shù)字地形模型Fig.1 The DEM over various computational regions

max/mmin/mmean/mstd/mrms/mΩA215524430.45270.32508.29ΩB613219523885.58467.633913.62

采用均衡密度擾動(dòng)及特定的3種密度擾動(dòng)，計(jì)算橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響。利用不同方法計(jì)算區(qū)域ΩA內(nèi)橫向密度擾動(dòng)影響的結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖可見，密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響與地形起伏和密度擾動(dòng)本身的大小有關(guān)。由于試算區(qū)域總體上較為平坦，真實(shí)的地殼密度與平均地殼密度相差不大，橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響較小。若將均衡密度擾動(dòng)作為真實(shí)的密度擾動(dòng)信息，從表 3統(tǒng)計(jì)信息可知，由不同方法計(jì)算的均衡密度擾動(dòng)引起的大地水準(zhǔn)面誤差不超過cm級(jí)，其標(biāo)準(zhǔn)差在mm量級(jí)，在精度允許的范圍內(nèi)可以忽略其影響。由于該計(jì)算區(qū)域地勢(shì)較為平緩，地形影響較小，上述兩種方法計(jì)算的橫向密度擾動(dòng)影響的差異并不顯著。

圖2 不同區(qū)域的地殼均衡密度擾動(dòng)Fig.2 The variation of isostatic crust density over various regions

max/g·cm-3min/g·cm-3mean/g·cm-3std/g·cm-3rms/g·cm-3ΩA0.1300.0020.0280.0180.033ΩB0.3140.1250.2360.0260.237

區(qū)域ΩB內(nèi)基于不同方法計(jì)算的橫向密度擾動(dòng)影響的結(jié)果如圖5、圖6和表 4所示。可以看出，試算區(qū)域地形起伏較大，真實(shí)的地殼密度與平均地殼密度相差較大，橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響較大?；贖elmert法計(jì)算的均衡密度擾動(dòng)對(duì)其影響的最大值可達(dá)9.4 cm，標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到2.7 cm(圖5)。若真實(shí)地殼密度與平均地殼密度相差更大，會(huì)引入更大的誤差。KTH法的計(jì)算結(jié)果與地形起伏的相關(guān)程度更為明顯，基于均衡密度擾動(dòng)計(jì)算的影響的最大值達(dá)到dm級(jí)，標(biāo)準(zhǔn)差為5.1 cm(圖6)，其結(jié)果對(duì)大地水準(zhǔn)面有較大影響。Helmert法與KTH法在該區(qū)域的解算結(jié)果有較大差異(表 4)，其主要原因是Helmert法計(jì)算密度擾動(dòng)的直接影響和間接影響時(shí)(見式(5)、式(6))，由于積分區(qū)域的限制而忽略了外區(qū)地形質(zhì)量的影響(即地形效應(yīng)的中長(zhǎng)波影響)，使得基于該方法計(jì)算的結(jié)果產(chǎn)生偏差，地形起伏越劇烈，可能產(chǎn)生的偏差越大。這一結(jié)論與文獻(xiàn)[1]的研究結(jié)果一致。相比而言，KTH法基于全球高程球諧展開式求解的理論能夠較好地顧及地形影響的中長(zhǎng)波效應(yīng)，在實(shí)際計(jì)算中能更為精確地逼近相應(yīng)的地形效應(yīng)。由于本文研究過程中缺乏實(shí)測(cè)的重力和GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)階段難以定量給出基于經(jīng)典Hermert法計(jì)算地形效應(yīng)引入的偏差對(duì)于大地水準(zhǔn)面的影響，未來基于某山區(qū)大地水準(zhǔn)面建模的實(shí)例分析有望進(jìn)一步討論兩種方法的差異及建模的優(yōu)劣性?？傮w而言，在地形起伏較大的山區(qū)，由于橫向密度擾動(dòng)引入的地形效應(yīng)對(duì)高精度的局部重力場(chǎng)建模的影響較大，實(shí)際計(jì)算中可能需要利用多種計(jì)算方法(包括KTH、RTM及Molodensky等方法)基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行試算，通過計(jì)算的變密度大地水準(zhǔn)面與實(shí)測(cè)的GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，得到適合該區(qū)域的大地水準(zhǔn)面建模方法。

圖3 利用Helmert法計(jì)算的不同橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響(ΩA)Fig.3 The effect on geoid modeling by using Helmert method based on various crust density variation(ΩA)

圖4 利用KTH法計(jì)算的不同橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響(ΩA)Fig.4 The effect on geoid modeling by using KTH method based on various crust density variation(ΩA)

方法密度擾動(dòng)max/mmin/mmean/mstd/mrms/mHelmert法均衡密度擾動(dòng)0.0086-0.0002 0.00050.00110.0012地殼密度偏離正常值的5%0.0216 0.0062 0.00140.00150.0021地殼密度偏離正常值的10%0.0432 0.0123 0.00290.00300.0042地殼密度偏離正常值的15%0.0649 0.0185 0.00430.00440.0062KTH法均衡密度擾動(dòng)0.0000-0.0235-0.00060.00120.0014地殼密度偏離正常值的5%0.0000-0.0240-0.00150.00190.0024地殼密度偏離正常值的10%0.0000-0.0481-0.00290.00390.0049地殼密度偏離正常值的15%0.0000-0.0721-0.00440.00580.0073

圖5 利用Helmert法計(jì)算的不同橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響(ΩB)Fig.5 The effect on geoid modeling by using Helmert method based on various crust density variation(ΩB)

圖6 利用KTH法計(jì)算的不同橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響(ΩB)Fig.6 The effect on geoid modeling by using KTH method based on various crust density variation(ΩB)

方法密度擾動(dòng)max/mmin/mmean/mstd/mrms/mHelmert法均衡密度擾動(dòng) 0.0943-0.0694 0.00670.02780.0286地殼密度偏離正常值的5% 0.0496-0.0312 0.00590.01430.0154地殼密度偏離正常值的10% 0.0992-0.0624 0.01170.02850.0308地殼密度偏離正常值的15% 0.1488-0.0936 0.01760.04280.0462KTH法均衡密度擾動(dòng)-0.0207-0.3837-0.15840.05120.1665地殼密度偏離正常值的5%-0.0221-0.1629-0.08740.02000.0897地殼密度偏離正常值的10%-0.0442-0.3258-0.17480.04010.1794地殼密度偏離正常值的15%-0.0663-0.4887-0.26230.06010.2691

3 結(jié) 語

本文利用Helmert和KTH法模擬試算了不同地形起伏區(qū)域橫向密度擾動(dòng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響。結(jié)果表明，在地形起伏較小、地勢(shì)較低的平原地區(qū)或丘陵地帶，橫向密度擾動(dòng)的影響一般不會(huì)超過cm級(jí)，在精度允許的范圍內(nèi)可以忽略；在地形起伏較大、地勢(shì)較高的山區(qū)，即使橫向密度擾動(dòng)偏離平均地殼密度的5%，對(duì)大地水準(zhǔn)面的影響也將達(dá)到cm級(jí)甚至dm級(jí)，對(duì)于cm級(jí)大地水準(zhǔn)面的精化而言，需要考慮其影響。此外，Helmert與KTH法解算結(jié)果在地形起伏劇烈的山區(qū)差異較大，是因?yàn)镠elmert法計(jì)算地形效應(yīng)時(shí)忽略了外區(qū)地形質(zhì)量的影響，其解算結(jié)果可能存在偏差，地形起伏越劇烈，可能產(chǎn)生的偏差越大。因此，在地形起伏較大的區(qū)域，基于更為嚴(yán)密的KTH法建模的精度更高。由于不同方法對(duì)于地形質(zhì)量的處理方式不同，在地形起伏劇烈的區(qū)域建模時(shí)可能需要利用多種計(jì)算方法基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行試算，通過計(jì)算的變密度大地水準(zhǔn)面與實(shí)測(cè)的GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，得到適合該區(qū)域的大地水準(zhǔn)面建模方法。

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The Effect on Geoid Modeling Caused by Lateral Topographical Density Variation

WUYihao1LUOZhicai1,2

1 School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, 129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China 2 Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy, Ministry of Education, Wuhan University,129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China

Based on the Helmert condensation and the KTH methods, this paper studies the effect on regional geoid modeling caused by the lateral density perturbation. The simulated research shows that the effect on geoid modelling caused by lateral density variation generally does not exceed one centimeter in plains and less undulating areas; these variations can be ignored within the precision limitation. However, for mountainous areas, this effect reaches to the centimeter or even decimeter level, which should be considered carefully in centimeter-accuracy geoid modelling. These effects show significant variation in mountainous areas; the errors are supposed to exist in the results derived from the Helmert condensation method due to neglecting the outer-zone topographical effects. In total, for regional geoid modeling in mountainous areas, various geoids based on variable crust density should be computed by different approaches, and GPS/leveling data can be used to choose the optimal methodology for geoid modeling in these regions.

lateral topographical density variation; geoid; Helmert condensation approach; KTH approach

National Natural Science Foundation of China, No. 41374023.

LUO Zhicai, professor, PhD supervisor, majors in satellite gravity and physical geodesy, E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn.

2015-10-14

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金(41374023)。

吳懌昊，博士生，主要從事物理大地測(cè)量學(xué)研究,E-mail: whuwyh@126.com。

羅志才，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事衛(wèi)星重力和物理大地測(cè)量學(xué)研究，E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn。

10.14075/j.jgg.2016.11.013

1671-5942(2016)010-1003-05

P223

A

About the first author:WU Yihao, PhD candidate, majors in physical geodesy, E-mail: whuwyh@126.com.