依類比教學(xué)優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、提升遷移能力
——以“線段與角”復(fù)習(xí)課為例

江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué) 陳偉華

依類比教學(xué)優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、提升遷移能力
——以“線段與角”復(fù)習(xí)課為例

江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué) 陳偉華

通過(guò)類比的方法教學(xué)，不僅有利于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，也可以提高學(xué)生的遷移能力，達(dá)到事半功倍的效果。

類比；遷移；知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；線段與角

“類比”是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象，但在某些方面（特征、屬性、關(guān)系等）的類同之處，推測(cè)這兩個(gè)對(duì)象在其他方面也可能有類同之處；“遷移”是利用新舊知識(shí)、新舊規(guī)律之間的相似、相通之處，將所學(xué)的方法應(yīng)用到新情境中，解決新問(wèn)題的一種能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出：……通過(guò)觀察、操作、歸納、類比、推斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索性和挑戰(zhàn)性，感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性……

通過(guò)不同知識(shí)內(nèi)容間的類比可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的遷移和化解，進(jìn)而形成知識(shí)的廣泛遷移能力，可以避免對(duì)知識(shí)的死記硬背，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，提高解決問(wèn)題的靈活性和有效性。線段與角是平面圖形的基礎(chǔ)，它們之間有不少相似、相通之處。在復(fù)習(xí)時(shí)，筆者特別增加了一節(jié)從類比的角度來(lái)關(guān)注、辨析線段與角的復(fù)習(xí)課，取得了良好的教學(xué)效果。本文筆者以此為例，談?wù)劇邦惐取苯虒W(xué)，與同行交流。

一、“線段與角”類比復(fù)習(xí)課過(guò)程簡(jiǎn)記

1.活動(dòng)一：線段與角的大小類比

例1：如圖1所示，估計(jì)線段AB與線段BC的大小關(guān)系，再用刻度尺或圓規(guī)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論。

例2：如圖2所示，估計(jì)∠AOB 與∠BOC的大小關(guān)系，再用量角器或圓規(guī)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論。

圖1

圖2

簡(jiǎn)析：對(duì)于例1，我們可先用目測(cè)估計(jì)，再用度量法或疊合法。用度量法時(shí)，先用刻度尺量出線段AB與線段CB的長(zhǎng)度，再做比較；用疊合法時(shí)，先用圓規(guī)量出線段AB的長(zhǎng)，再用圓規(guī)的一端和點(diǎn)B重合，當(dāng)另一端和點(diǎn)C重合時(shí)，AB=BC；否則，會(huì)有AB＜BC或AB＞BC。與例1類似，例2也可用目測(cè)估計(jì)、用量角器度量、用圓規(guī)疊合的方法。兩個(gè)例題形式相同，答案相似。通過(guò)類比，學(xué)生感受到了不同問(wèn)題之間的聯(lián)系。

2.活動(dòng)二：線段條數(shù)與角的個(gè)數(shù)類比

例3：如圖3所示，在線段AB上取3個(gè)點(diǎn)C、D、E，則圖中共有幾條線段？在線段AB上取n個(gè)點(diǎn)呢？

例4：如圖4所示，在∠AOB內(nèi)部引3條射線OC、OD、OE，則圖中共有幾個(gè)角？在∠AOB內(nèi)部引n條射線呢？

圖3

圖4

3.活動(dòng)三：線段與角的和差關(guān)系類比

例5：如圖5所示，點(diǎn)C、D在線段AB上，

則AD=________+________=________-________。

例6：如圖6所示，在∠AOB內(nèi)部引2條射線OC、OD，

圖5

圖6

則∠AOD =∠_____+∠_____=∠_____-∠_____。

簡(jiǎn)析：線段與角的和差關(guān)系是幾何證明的基礎(chǔ)，在證明的方法、策略、內(nèi)容和形式上都具有相通性，都是將線段（或角）轉(zhuǎn)化成若干條線段（或角）的和或差，從而解決問(wèn)題。通過(guò)以上類比教學(xué)，學(xué)生的相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得到了優(yōu)化，遷移能力得到了提升。

4.活動(dòng)四：線段的中點(diǎn)與角的平分線類比

例7：如圖7所示，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E分別是線段AC、CB的中點(diǎn)，若AB=6，求DE的長(zhǎng)。

圖7

圖8

例8：如圖8所示，射線OC在∠AOB內(nèi)部，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，若∠AOB=130°，求∠DOE的度數(shù)。

簡(jiǎn)析：在講解例7時(shí)，老師可以先詳細(xì)地復(fù)習(xí)與線段中點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，特別是引導(dǎo)學(xué)生掌握其中最基本的幾何語(yǔ)言，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)（中點(diǎn)的定義）。由于本題沒(méi)有給出兩條線段AC、CB的具體數(shù)值，只給出兩條線段BC的和AB的長(zhǎng)度，導(dǎo)致有的同學(xué)無(wú)從下手，有的同學(xué)只會(huì)寫(xiě)出結(jié)果，不能有條理地表達(dá)解題過(guò)程，，老師可以把以上解題過(guò)程進(jìn)行板書(shū)。然后，讓學(xué)生模仿例7來(lái)解答例8，并要求用規(guī)范的幾何語(yǔ)言表達(dá)解題過(guò)程。通過(guò)類比，能較快提升學(xué)生使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的能力。

5.活動(dòng)五：未知圖形條件下的分類討論

例9：若線段AB=6，點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)D、E分別是線段AC、CB的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)。

例10 若∠AOB=130°，引一條射線OC，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，若∠AOB=130°，求∠DOE的度數(shù)。

簡(jiǎn)析：例9中，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線AB上，而且圖形又未知，因此，需要分類討論三種情形：

情形1：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，解得：DE=DC+CE=…=3

情形2：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，解得：DE=DCCE=…=3

情形3：當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，解得：DE=CEDC=…=3

在復(fù)習(xí)中，很多同學(xué)由于考慮得不完備而漏掉一解，通過(guò)吃一塹長(zhǎng)一智，在做例10時(shí)，同學(xué)們會(huì)變得更謹(jǐn)慎，達(dá)到了舉一反三的目的，例10解略。

二、依類比教學(xué)優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、提升遷移能力

1.運(yùn)用類比，構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

知識(shí)與技能的習(xí)得有同化和順應(yīng)兩個(gè)過(guò)程，在習(xí)得的過(guò)程中有“不平衡”和“平衡”兩種狀態(tài)。若能巧妙地運(yùn)用類比的方法進(jìn)行遷移教學(xué)，不僅可以讓習(xí)得的過(guò)程進(jìn)行得更順暢、更高效，還有利于學(xué)生保持習(xí)得內(nèi)容長(zhǎng)久穩(wěn)定。數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)聯(lián)系的整體，特別是有些并列的數(shù)學(xué)知識(shí)，它們研究的對(duì)象同類，研究?jī)?nèi)容相近，研究的方式相同，因而它們學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)可相互借鑒。我們可以合理地運(yùn)用類比的策略，引導(dǎo)學(xué)生在類比中探究，在探究中掌握新知識(shí)，形成穩(wěn)定、清晰且整體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

線段與角是最簡(jiǎn)單、最基本的平面圖形，是研究其他圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)。線段與角在它們的度量、條數(shù)個(gè)數(shù)、和差關(guān)系等性質(zhì)的研究思路相同，如線段中點(diǎn)與角的平分線的定義、幾何語(yǔ)言的表述和說(shuō)理、運(yùn)用等方面都可以進(jìn)行類比。通過(guò)這種類比教學(xué)，學(xué)生不僅可以加深對(duì)這兩種圖形的認(rèn)識(shí)，而且還可以體會(huì)到知識(shí)之間存在的關(guān)聯(lián)，在頭腦中形成鮮明、清晰的印象和知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這為以后研究幾何圖形提供了方法和思路。

2.運(yùn)用類比，引導(dǎo)學(xué)生感受研究不同知識(shí)時(shí)的方法聯(lián)系

世界是廣泛聯(lián)系的，數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的不同知識(shí)內(nèi)容之間更是充滿關(guān)聯(lián)。旅美獨(dú)立數(shù)學(xué)教育研究者馬立平博士在名著《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)》中曾指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)追求數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)度、貫通度，并注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的深度與廣度的理解。本課的教學(xué)設(shè)計(jì)做出了一些探索和努力，比如在每組例題的呈現(xiàn)上從形式與本質(zhì)上都是相近的，讓學(xué)生在整節(jié)課中都能感受到問(wèn)題在形式上的關(guān)聯(lián)。此外，問(wèn)題在解法、變式等角度上的本質(zhì)相通，如本文中的例1、例2中線段與角的大小類比，例7、例8中線段的中點(diǎn)與角的平分線等，通過(guò)類比，促進(jìn)學(xué)生感受不同問(wèn)題之間的聯(lián)系。

3.運(yùn)用類比，利于數(shù)學(xué)思想的滲透，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生遷移能力的提升

數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，作為知識(shí)的數(shù)學(xué)離開(kāi)學(xué)校可能不到兩年就會(huì)忘記，唯有深深銘刻在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想、研究方法和策略等，會(huì)發(fā)揮潛移默化的作用，使他們受益終身。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)在關(guān)注知識(shí)、技能、方法的同時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地滲透基本數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的遷移能力。

本節(jié)復(fù)習(xí)課將線段與角進(jìn)行全方位的類比，讓學(xué)生明確了線段與角學(xué)習(xí)的目標(biāo)，帶領(lǐng)學(xué)生理順了學(xué)習(xí)的思路，真正讓學(xué)習(xí)活動(dòng)具有了思維的含金量。在增強(qiáng)思維的邏輯性與條理性的同時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟到“平面圖形”研究的一些“基本套路”，感悟“類比”的思想方法和學(xué)習(xí)策略。

總之，在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比法，在類比中找出知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，合理運(yùn)用類比的策略，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于知識(shí)的固化、活化；教師要善于激勵(lì)學(xué)生在類比中探究，在類比中歸納，在類比中建構(gòu)，從而提升學(xué)生觸類旁通、舉一反三的能力；教師要善于創(chuàng)造有類比問(wèn)題的環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題并做出合理的猜想和假設(shè)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

［1］江志杰.二次函數(shù)模型的遷移與類比［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（2）.