周期個(gè)數(shù)設(shè)定對(duì)三線(xiàn)擺測(cè)量重力加速度的影響

俞 瑩

（東北林業(yè)大學(xué) 物理系，黑龍江 哈爾濱 150040）

周期個(gè)數(shù)設(shè)定對(duì)三線(xiàn)擺測(cè)量重力加速度的影響

俞 瑩

（東北林業(yè)大學(xué) 物理系，黑龍江 哈爾濱 150040）

通過(guò)三線(xiàn)擺法測(cè)量三線(xiàn)擺下圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量原理，推導(dǎo)出利用三線(xiàn)擺法測(cè)量重力加速度表達(dá)式。為了提高三線(xiàn)擺法測(cè)量哈爾濱地區(qū)重力加速度的準(zhǔn)確性，設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)周期個(gè)數(shù)分別為5、10、20、30、40和50個(gè)。研究設(shè)定不同轉(zhuǎn)動(dòng)周期個(gè)數(shù)，空氣阻力及懸線(xiàn)間摩擦對(duì)三線(xiàn)擺法所測(cè)重力加速度準(zhǔn)確度的影響。發(fā)現(xiàn)設(shè)置測(cè)量周期個(gè)數(shù)為40個(gè)時(shí)，所測(cè)得的重力加速度最接近哈爾濱地區(qū)實(shí)際重力加速度值。

三線(xiàn)擺；轉(zhuǎn)動(dòng)周期；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；重力加速度

重力加速度是物理學(xué)中的一個(gè)重要參量。對(duì)其數(shù)值的準(zhǔn)確測(cè)量對(duì)人們的日常生活、國(guó)防建設(shè)、科學(xué)研究都有著巨大的意義。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常常利用單擺法、氣墊導(dǎo)軌法來(lái)測(cè)量本地區(qū)的重力加速度［1-2］。三線(xiàn)擺法在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中多數(shù)被采用測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［3-4］。利用三線(xiàn)擺測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式中含有參量重力加速度，因此可以設(shè)計(jì)利用三線(xiàn)擺測(cè)量本地區(qū)的重力加速度。

本文利用三線(xiàn)擺法通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量原理推導(dǎo)重力加速度表達(dá)式。針對(duì)周期測(cè)量對(duì)重力加速度的準(zhǔn)確度產(chǎn)生的影響進(jìn)行分析。在測(cè)量中采用多功能微秒計(jì)DHTC-1測(cè)量物體繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的周期大小。由于空氣阻力及懸線(xiàn)間摩擦對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間的影響而導(dǎo)致對(duì)周期測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生很大的影響。為了提高三線(xiàn)擺轉(zhuǎn)動(dòng)周期測(cè)量的準(zhǔn)確性，下面利用改變周期測(cè)量個(gè)數(shù)的方法，分析周期對(duì)重力加速度值的影響。

1 理論推導(dǎo)和分析

1.1 重力加速度公式推導(dǎo)

圖1為三線(xiàn)擺的扭轉(zhuǎn)示意圖。設(shè)上圓盤(pán)懸點(diǎn)至圓心O的距離為r，下圓盤(pán)懸點(diǎn)到圓心O′的距離為R，上下圓盤(pán)靜止時(shí)的距離為H，懸線(xiàn)長(zhǎng)為 L（懸線(xiàn)為不易拉伸的細(xì)線(xiàn)），下圓盤(pán)的質(zhì)量為M，下圓盤(pán)繞OO′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。下圓盤(pán)懸線(xiàn)間距離為b，上圓盤(pán)懸線(xiàn)間距離為a。在下盤(pán)扭動(dòng)時(shí)，若某時(shí)刻其離開(kāi)平衡位置的角度（角位移）為θ，當(dāng)下盤(pán)離開(kāi)平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，其中心升高h(yuǎn)。

圖1 三線(xiàn)擺的扭轉(zhuǎn)示意圖

根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)得到角位移方程:

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有:

即:

轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為:

將式（1）帶入式（4）可得:

將式（6）帶入式（3）得:

從圖中的幾何關(guān)系可以得到下列關(guān)系式:

將式（10）帶入式（8）得:

聯(lián)立式（9）和式（11）可得:

下圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（薄圓盤(pán)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心與盤(pán)面垂直）的理論公式其中R′為下圓盤(pán)的半徑，其值大于懸線(xiàn)到中心的距離R的值，d代表下圓盤(pán)直徑。

利用比較法可得:

整理式（14）可得重力加速度:

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及誤差分析

如表1所示，為計(jì)算重力加速度時(shí)所需要的長(zhǎng)度測(cè)量數(shù)據(jù)；表2為由圖1中的幾何關(guān)系計(jì)算得到的R，r，H，R′值；表3為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間的選擇同周期大小的關(guān)系。

表1 長(zhǎng)度測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)表

表2 由圖1中的幾何關(guān)系得到的R，r，H，R′值

表3 周期次數(shù)的選擇同周期大小的關(guān)系

由表1～表3得到不同周期個(gè)數(shù)下的重力加速度分別為g1=10.23 m/s2，g2=10.30 m/s2，g3= 10.17 m/s2，g4=10.18 m/s2，g5=9.83 m/s2和g6=10.19 m/s2。根據(jù)全國(guó)各地重力加速度表得到哈爾濱重力加速度為9.806 6 m/s2。在上述重力加速度中最接近哈爾濱實(shí)際重力加速度的為g5，其轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間選擇為40個(gè)測(cè)量周期的時(shí)間。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測(cè)量少于40個(gè)周期時(shí)，所測(cè)得的重力加速度大于實(shí)際值。分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是因?yàn)閳A盤(pán)開(kāi)始扭轉(zhuǎn)時(shí)懸線(xiàn)由靜到動(dòng)，則使得懸線(xiàn)和圓盤(pán)小孔之間產(chǎn)生摩擦力，下圓盤(pán)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)不規(guī)律，需要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能使懸線(xiàn)自如轉(zhuǎn)動(dòng)。因此測(cè)量的周期數(shù)少則會(huì)因?yàn)楹茈y克服懸線(xiàn)和圓盤(pán)小孔之間摩擦力的影響，而使得測(cè)量結(jié)果誤差大；測(cè)量的周期數(shù)越多，摩擦力產(chǎn)生的影響就越小。然而當(dāng)測(cè)量為50個(gè)周期時(shí)，所測(cè)得的重力加速度也大于實(shí)際值重力加速度。這是由于空氣阻力對(duì)周期產(chǎn)生的影響也使得測(cè)量的周期小于實(shí)際值。測(cè)量的周期個(gè)數(shù)越多，受空氣阻力影響越大，三線(xiàn)擺轉(zhuǎn)動(dòng)周期越小于實(shí)際值。

因此為了克服空氣阻力和懸線(xiàn)摩擦力的影響，選擇適合的轉(zhuǎn)動(dòng)周期個(gè)數(shù)，提高三線(xiàn)擺法測(cè)重力加速度的準(zhǔn)確性。

2 結(jié)束語(yǔ)

設(shè)定適當(dāng)?shù)娜€(xiàn)擺轉(zhuǎn)動(dòng)周期個(gè)數(shù)，有利于克服空氣阻力和懸線(xiàn)與圓盤(pán)小孔間的摩擦力對(duì)三線(xiàn)擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量時(shí)所產(chǎn)生的影響。通過(guò)本文的分析，在哈爾濱地區(qū)利用三線(xiàn)擺測(cè)量下圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量選擇40個(gè)測(cè)量周期為最佳。

［1］蘇潤(rùn)洲，蘭城，崔金剛.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.青島:哈爾濱工程大學(xué)，2012，32-34.

［2］欒照輝，張穎，陸世杰，等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2014，48-50.

［3］溫千宏，尹安東，孫俊，等.汽車(chē)復(fù)雜旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試方法的研究［J］.安徽工學(xué)院學(xué)報(bào).1997，16（4）:44-46.

［4］張代勝，胡璽良，袁玲.三線(xiàn)擺法測(cè)量復(fù)雜構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差分析［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào).2008，39（3）: 37-40.

［5］趙敏福.三線(xiàn)擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差分析［J］.科技信息，2009（2）:408-409.

［6］夏雪琴.“比較測(cè)量法”在三線(xiàn)擺實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn).2011，24（5）:48-50.

Influence of the Number of Cycles to the Gravity Acceleration Measured by Three Line Pendulum

YU Ying
（Department of Physics，Northeast Forestry University，Haerbin 150040，China）

The three wire pendulum method was used to deduce the rotary inertia of the three wire pendulum.Furthermore，the principle was used to deduce the expression of acceleration of gravity.In order to improve the accuracy of gravity acceleration in Harbin area by three wire pendulum method，the rotation period number is 5，10，20，40，30 and 50，respectively.The impact of the air resistance and friction between suspension lines to acceleration of gravity was analyzed by choosing different the number of rotation period.According to the compare between the Haerbin gravity acceleration of experiment and Haerbin gravity acceleration of reasonable，the optimal numbers of rotation period is 40.

three-line pendulum；rotation period；moment of inertia；gravity acceleration

O4

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2016.05.007

2015-07-12；修改日期：2015-08-12

俞 瑩（1981-），女，博士，講師，主要從事光學(xué)方面的研究。