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    不在端點(diǎn)處的最值一定是極值嗎?

    2016-11-11 22:48:23申愛偉
    考試周刊 2016年84期
    關(guān)鍵詞:反例極大值定義域

    申愛偉

    1.提出問題

    筆者在一次高二公開課聽課中遇到這樣的問題:如果函數(shù)的最值不在端點(diǎn)處取到,那么這個(gè)最值一定是函數(shù)的極值。

    乍一看,好像是對的,學(xué)生也一致認(rèn)為是對的,老師也宣布沒錯(cuò),就講下一題了。但筆者很快舉出了一個(gè)反例——常函數(shù)。比如:y=1,x∈R,該函數(shù)處處都能取到最值,而這個(gè)最值卻不是函數(shù)的極值。事實(shí)上,常函數(shù)沒有極值。

    課后研討中,點(diǎn)評老師還給出了另一個(gè)反例:y=|x|,該函數(shù)x=0在處取到最小值,但這個(gè)值不是極值。理由是該函數(shù)在x=0處不可導(dǎo),而函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零是函數(shù)在該點(diǎn)處取極值的必要不充分條件。

    2.回歸定義

    那么,這些“反例”正確嗎?

    李邦河院士說:“數(shù)學(xué)玩的是概念,而不是純粹的技巧?!弊屛覀兓氐礁拍钌稀LK教版數(shù)學(xué)必修1第39頁:

    一般地,設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳。如果存在x ∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x ),那么稱f(x )為y=f(x)的最大值,記為y =f(x );如果存在x ∈A使得對于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x ),那么稱f(x )為y=f(x)的最小值,記為y =f(x )。

    蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2(文)第30頁:函數(shù)圖像在點(diǎn)處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減),這時(shí)在點(diǎn)P附近,點(diǎn)P的位置最高,亦即f(x )比它附近點(diǎn)的函數(shù)值都要大。我們稱f(x )為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值。

    文第32頁指出:函數(shù)f(x)在x 處取得極大值,指在x 附近f(x )比其他函數(shù)值都大,極大值是相對于函數(shù)定義域內(nèi)某一局部而言的。最大值是相對于函數(shù)定義域整體而言的。

    由這個(gè)描述性定義可見,函數(shù)的極值是根據(jù)單調(diào)性來的,函數(shù)先增后減,一定出現(xiàn)極大值,函數(shù)先減后增,一定出現(xiàn)極小值。極值表征的是函數(shù)局部的性質(zhì),即某點(diǎn)處的函數(shù)值比它附近點(diǎn)的函數(shù)值都大(或?。?。也就是說,并不涉及函數(shù)是否可導(dǎo)。第二個(gè)反例不成立。y=|x|在x=0處的函數(shù)值比它附近的函數(shù)值都要小,所以在該點(diǎn)處取到極小值。

    那為什么我們常常通過求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于0,判斷兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值正負(fù)求函數(shù)的極值呢?那是因?yàn)槲覀冊诟咧薪佑|到的求極值的函數(shù)往往是可導(dǎo)的,所以引發(fā)了誤解。這里的導(dǎo)數(shù)為零是有前提的。事實(shí)上,《數(shù)學(xué)分析》教材(文)給出了費(fèi)馬定理:設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x 的某鄰域內(nèi)有定義,且在點(diǎn)x 可導(dǎo)。若點(diǎn)x 為f的極值點(diǎn),則必有f′(x )=0。

    而第一個(gè)反例則完全符合定義。常函數(shù)處處取到最值,但處處不是極值。

    3.錯(cuò)因分析

    究其原因,還是對極值和最值的概念認(rèn)識不清。人教社章建躍博士強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)教師必須特別重視概念教學(xué),學(xué)生的概念理解和應(yīng)用水平是衡量教學(xué)質(zhì)量的最重要標(biāo)準(zhǔn)。最值的定義借助了高等數(shù)學(xué)中“上(下)確界”的意義與形式,定義中既含有等式,又含有不等式;既含有全稱量詞(“任意”、“都有”),又含有存在量詞(“存在”),具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和典型的形式化特征。因此,教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)從函數(shù)最值的幾何直觀入手,利用豐富具體的材料、精心設(shè)計(jì)的問題,經(jīng)歷觀察、比較、辨析、歸納、概括等思維活動(dòng),經(jīng)歷從圖形表征到自然語言到形式化定義的形成過程,達(dá)到對概念的實(shí)質(zhì)性理解,感悟蘊(yùn)含其中的數(shù)形結(jié)合思想,切不可一帶而過。對于定義中的符號,要仔細(xì)推敲,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力。在調(diào)查中了解到,很多學(xué)生不認(rèn)為常函數(shù)處處取到最值,原因是忽略了最值定義中的等號。

    最值的教學(xué)要求是“理解”。對于極值,教學(xué)目標(biāo)的要求是“了解”。蘇教版教材中只給出描述性概念,如果用符號化定義,則可定義為:若函數(shù)f在點(diǎn)x 的某空心鄰域U (x )內(nèi)對一切x∈U (x )有f(x )>f(x),(f(x )

    4.實(shí)戰(zhàn)練習(xí)

    (1)對于函數(shù)f(x),如果f(x)≤c(c為常數(shù))對定義域中的每個(gè)自變量x均成立,那么c一定是函數(shù)y=f(x)的最大值嗎?如果f(x)≤f(x )對于定義域中的每個(gè)自變量x均成立,那么f(x )一定是函數(shù)的最大值嗎?

    (2)如果函數(shù)f(x)有極小值f(a),極大值f(b),那么f(a)一定小于f(b)嗎?試作圖說明。如果函數(shù)f(x)有最小值f(a),最大值f(b),那么f(a)一定小于f(b)嗎?

    答案:(1)否;是(2)否;否。

    參考文獻(xiàn):

    [1]徐稼紅.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書:數(shù)學(xué)選修2-2.江蘇鳳凰教育出版社,2012.

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.北京:高等教育出版社,2001.

    [3]陸學(xué)政.應(yīng)重視“函數(shù)最值”的概念教學(xué).數(shù)學(xué)通報(bào),2016,1.

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