相容半連續(xù)格上的一個擴張定理

張則則，姜廣浩

（淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北235000）

相容半連續(xù)格上的一個擴張定理

張則則，姜廣浩

（淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北235000）

在相容半連續(xù)格上引入?c-稠的概念，并得到相容半連續(xù)格的一個擴張定理.

相容完備格；相容（半）連續(xù)格；?c-稠；相容半素極小集；序同態(tài)；序同態(tài)擴張

0 引言

在文獻［1］中，Scott首次引入了連續(xù)格的概念.此后人們對連續(xù)格的研究不斷深入，并將這一領域推廣到更一般的范圍.Ray首次提出半素理想的概念，并研究了它的若干重要性質［2］.趙東升基于文獻［2］中半素理想子集系統(tǒng)，在文獻［3］中給出了一種新的類型格——半連續(xù)格.在文獻［4］中，基于相容半素集，李海龍等引入了相容半連續(xù)格的定義，并將way below關系?推廣至關系?c.本文給出?c-稠的概念，并得到相容半連續(xù)格上的一個擴張定理.

1 預備知識

定義1［4］設P是格，S∈Rd（P）（Rd（P）表示P中所有半素理想構成的集族）稱為P的相容半素集，若存在x∈P使得S??wx.

記Ic（P）=｛S：S是P的相容半素集｝.

定義2［4］若格P中任意相容半素集都有并與交，則稱P是相容完備格.

定義3［4］設P是相容完備格，稱為相容?關系y，記為x?cy，如果

命題1相容完備格的任意多個相容半素集的并仍為相容半素集.

命題2相容完備格的任意多個相容半素集的交仍為相容半素集.

定義4［4］設P是相容完備格，?x∈P，B?P，稱B為x的相容半素極小集，如果B滿足以下條件：

（1）x≤supB；

（2）?S∈Ic（P），若x≤supS，則?b∈B，?s∈S使得b≤s.

定理1［4］設P是相容完備格，?x∈P，B是x處的相容半素極小集?B??cx 且x≤supB.

定理2［4］設P是相容半連續(xù)格，?x∈P，若x處有相容半素極小集，則?cx是x處的最大的相容半素極小集.

定義5［4］設P，Q均為相容完備格，

（1）映射f：P→Q稱為相容半連續(xù)的，若f保序且?S∈Ic（P）有f（supS）=supf（S）；

（2）映射f：P→Q稱為保相容半素集的，若f是相容半連續(xù)的且?S∈Ic（P）有↓f（S）∈Ic（Q）.

2 相容半連續(xù)格上的一個擴張定理

定理3［4］設P是相容完備格，則以下結論等價：

（1）P是相容半連續(xù)格；

（3）?a∈P，a有相容半素極小集.

定義8設P是相容完備格，X?P，若?x，y∈P，x?cy，?z∈X，使得x≤z?cy，則稱X在P中?c-稠.

證明令b=sup（?ca?X）.若ab，則由定理3知，?u?ca使得ub.由X在P中?c-稠知使得從而這與矛盾.故

下證↓（?ca?X）∈Ic（P）.先證明顯然↓（?ca?X）是理想.，若，因則，即而X在P中稠，使.由于x∧（y∨z）≤b，則故

定理5設P1，P2均為相容半連續(xù)格，X在P1中?c-稠，?a∈X，則以下結論成立：

（1）↓（?ca?X）∈Ic（P）；

（2）映射g：X→P2是相容半連續(xù)的且保關系?c；

（3）?x∈↓（?la?X），g（x）≤g（a），則g可擴張為一個序同態(tài)f：P1→P2，且擴張是唯一的.

證明?a∈P1，令f（a）=supg（↓（?ca?X））.

1°當?a∈X時，由定理4及g是相容半連續(xù)的且保關系?c知，f（a）=supg（↓（?ca?X））=g（sup（?ca?X）≥g（a）.由條件（3）知，f（a）=supg（↓（?ca?X）≤g（a）.故f（a）=g（a）.

2°f是保序的.設?a，b∈P，a≤b，則↓（?ca?X）?↓ （?cb?X），因此g（↓（?ca?X）?g（↓（?cb?X））.由f的定義知，f（a）≤f（b）.故f是保序的.

3°f相容半連續(xù)的.設A∈Ic（P1），令a=supA.由f保序f（A）≤f（supA）=f（a）.從而supf（A）≤f（a）.另一方面，?x∈?ca?X，由x?ca的定義知x∈A.而A是理想，從而?b∈A使得x≤b.因此f（a）=supg（↓（?ca?X）≤supf（A）.故f（a）=supf（A），即f是相容半連續(xù)的.

4°f保?c.設a，b∈P1且a?cb.由于X在P1中?c-稠，則?x，y∈X，z∈P，使得a≤x?cz≤y?cb.而f保序且g保關系?c，則f（a）≤f（x）=g（x）?cg（y）?cg（b）.從而g（y）∈g（↓（?cb?X）.由f的

定義6［4］設P是相容完備格，若?x∈P，有x≤sup?cx，則稱P為相容半連續(xù)格.特殊地?x∈P，有x=sup?cx時，P稱為相容連續(xù)格.

定義7設P，Q是相容完備格，映射f：P→Q稱為序同態(tài)，如果f，f-1是相容半連續(xù)的，其中的逆映射，定義定義知

5°擴張的唯一性.假設g還有一個擴張h.由上述證明過程知，?s∈X總有f（s）=g（s）=h（s），即h=f.

推論1設P1，P2均為相容半連續(xù)格，X在P1中?c-稠，?a∈X，映射g：X→P2可擴張為一個序同態(tài)f：P1→P2且擴張是唯一的.如果滿足以下條件：

（1）↓（?ca?X）∈Ic（P）；

（2）映射g：X→P2滿足：g把a的相容半素極小集g（↓（?ca?X）映射為g（a）的相容半素極小集；（3）?x∈↓（?ca?X），g（x）≤g（a）.

證明由定理5知，只需要證g：X→P2是相容半連續(xù)的而且保關系?c.

設A∈Ic（X）且x=supA∈X.?a∈X由于g（↓（?ca?X）是g（a）的相容半素極小集，因而g（a）≤supg（?ca?X）.由（3）知supg（?ca?X）≤g（a）.因此g（a）=supg（?ca?X）.從而有

故g是相容半連續(xù)的.

下證g保?c的.設a，b∈X，a?cb，則a∈?cb?X.由于g（↓（?cb?X））是g（b）的相容半素極小集知，g（↓（?cb?X）??cg（b）.故g（a）?cg（b）.

推論2設P是相容半連續(xù)格，Q是相容連續(xù)格，X在P中?c-稠，?a∈X，↓（?ca?X）∈Ic（X），映射g：X→Q保相容半素集，則以下結論等價：

（1）f保相容半素極小集；

（2）f是相容半連續(xù)的且f在X上保?c；

（3）f是相容半連續(xù)的且?x∈X，f把x的X相容半素極小集映射為g（x）的相容半素極小集.

［1］SCOTT D.Continuous lattices［M］.Berlin：Springer，1972：97-136.

［2］RAY Y.Semiprime ideals in general lattices［J］.J Pure Appl Algebra，1989，56（2）：105-118.［3］ZHAO Dongsheng.Semicontinuous lattices［J］.Algebra Universalis，1997，37（4）：458-476.

［4］李海龍，姜廣浩.相容半連續(xù)格［J］.江蘇師范大學學報（自然科學版），2014，32（3）：19-21.

An Extended Theorem on Consistently Semicontinuous Lattices

ZHANG Zeze，JIANG Guanghao
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

In this paper，the concept of?c-dense in consistently semicontinuous lattices is introduced and then an extended theorem on consistently semicontinuous lattices is obtained.

consistently complete lattice；consistently（semi）continuous lattice；?c-dense；consistently semiprime set；homomorphism；homomorphism extension

O 189.1；O 153.1

A

2095-0691（2016）03-0021-03

2016-03-29

國家自然科學基金資助項目（11361028，11001001）；安徽高等學校省級自然科學研究重點項目（KJ2013A236）

張則則（1989-），女，河南商丘人，碩士生，主要從事一般拓撲學的研究；通訊作者：姜廣浩（1973-），男，江蘇沛縣人，博士，副教授，主要從事一般拓撲學的研究.