江蘇省蘇州市第十中學(xué)
徐 青 (郵編:215006)
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2016年高考山東卷文科第12題的解法探究及引申
江蘇省蘇州市第十中學(xué)
徐青(郵編:215006)
每年高考結(jié)束,都會(huì)有一些不尋常的題目產(chǎn)生,因?yàn)檫@些題常??此破降?,但其中卻蘊(yùn)含許多數(shù)學(xué)思想與方法,一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘,探究出更多有價(jià)值的東西,使高考題真正發(fā)揮其應(yīng)有的功能,下面以2016年一道高考題為例說(shuō)明之.
(2016年山東省數(shù)學(xué)高考文科試題第12題) 觀察下列等式:
……
本題考查的是歸納推理問(wèn)題,規(guī)律比較明顯,題目不是太難,如果僅限于得出答案,對(duì)教師來(lái)說(shuō)顯然過(guò)于膚淺.我們應(yīng)思考的是: 結(jié)論怎么證明,如果沒(méi)有結(jié)論,在沒(méi)有鋪墊的情況下怎么推出答案,有一般的解決方法嗎?還有沒(méi)有類似的等式等等,筆者經(jīng)過(guò)一番研究,得到一些結(jié)論,提供于此,供大家參考.
下面先介紹一般的倍角公式:
因?yàn)?cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ,對(duì)左邊用二項(xiàng)式定理展開,得
比較兩邊的實(shí)部及虛部,得
①
②
由②式,得
(*)
于是
在方程(*)中,由韋達(dá)定理還可以得到若干等式,如:
又如令n=3,4,… ,則可得不同的特殊三角恒等式.
由此,我們得到這類三角問(wèn)題的解決方法:由一般的三角倍角公式,構(gòu)造一個(gè)高次方程,然后用韋達(dá)定理得相應(yīng)等式,在此過(guò)程中注意三角恒等變形.現(xiàn)將上述探究結(jié)果歸納如下:
再據(jù)一般的倍角公式構(gòu)造高次方程,根據(jù)韋達(dá)定理而得,自然聯(lián)想到:
由公式①,得
(**)
由韋達(dá)定理,得
同理可得
2016-07-06)