斜率等積面積定值——幾道同源高考試題的探究

山東省單縣第一中學(xué)

衛(wèi)小國　　(郵編：274300)

安徽省太和中學(xué)

韓長峰　　(郵編：236600)

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斜率等積面積定值
——幾道同源高考試題的探究

山東省單縣第一中學(xué)

衛(wèi)小國(郵編：274300)

安徽省太和中學(xué)

韓長峰(郵編：236600)

研究2015年北京大學(xué)自主招生試題第14題，感覺問題似曾相識，經(jīng)過探尋發(fā)現(xiàn)在近年高考中類似問題有2015年上海卷文科第22題理科第21題、2014年福建卷理科第19題.筆者經(jīng)過解析高考試題、揭示問題背景、反思結(jié)論推廣，終得圓錐曲線中在一定條件下“兩直線斜率等積時，面積為定值”的性質(zhì)，筆者現(xiàn)成文以供研討.

1　典題解析

(2015上海卷文科第22題)已知橢圓x2+2y2=1,過原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別交橢圓于點(diǎn)A、B和C、D.記△AOC的面積為S.(3)設(shè)l1和l2的斜率之積為m,求m的值，使得無論l1和l2如何變動，面積S保持不變.

整理得

k4-2mk2+m2=c2[2k4+(1+4m2)k2+2m2]，

由于等式對任意m恒成立，故

評注此題屬高考熱點(diǎn)問題之一的存在性問題，試題常以“是否存在”的形式出現(xiàn)而且結(jié)論不確定；問題常常需要由給定的題設(shè)條件探尋結(jié)論，或由問題追溯相應(yīng)的條件.本題中關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用待定系數(shù)的方法確定c和斜率之積m的值.

2　背景探源

(1)充分性

(2)必要性

3　推廣釋疑

3.1結(jié)論推廣，自招佐證

圓與橢圓的封閉特點(diǎn)，以上結(jié)論是統(tǒng)一的；雖雙曲線有所不同，但同樣具備兩相交直線斜率等積，面積為定值.高考中也有考查此類同源問題，僅是命題形式有變.

文[1]對此題已有詳細(xì)的解析，但筆者將結(jié)論進(jìn)一步證明與推廣：

上述的結(jié)論即是2015年北大自主招生試題的題根，自招試題為：

從O出發(fā)的兩條射線l1、l2,已知直線交l1、l2于A、B兩點(diǎn)，且S△AOB=c(c為定值)，記AB的中點(diǎn)為X,求證：X的軌跡為雙曲線.

圖1

圖2

評注當(dāng)S△AOB=c(c為定值)時，AB的中點(diǎn)的軌跡為雙曲線；不難探究，當(dāng)l1和l2的斜率之積為定值m時，△OAB的面積也為定值. 實(shí)質(zhì)體現(xiàn)了“斜率定積”、“面積定值”與“軌跡定形”它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系. 因此自招題可變式為：“從O出發(fā)的兩條射線l1、l2,已知直線交l1、l2于A、B兩點(diǎn)，若l1和l2的斜率之積為定值m,記AB的中點(diǎn)為X,求證：X的軌跡為雙曲線.”

3.2論證生疑，探究釋疑

結(jié)論揭示在眾多以l1、l2為漸近線的雙曲線中，僅有唯一的雙曲線使得△OAB的面積為定值，且取定值時直線l與其相切，筆者自然而生兩點(diǎn)疑惑.

疑惑2當(dāng)設(shè)過雙曲線一點(diǎn)的某直線l′與共漸近線的另一雙曲線相交于A、B，則△OAB面積有何特殊之處.

結(jié)合上述簡單推導(dǎo)中，可知有進(jìn)一步結(jié)論：

推理如下：

①

②

③

綜上不難發(fā)現(xiàn)，S△OAB不為定值，但是存在最小值；可以歸納如下：

3.3類比推廣，結(jié)論拓展

根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一性，筆者探究發(fā)現(xiàn)，結(jié)論可以推廣至一般橢圓，如下：

關(guān)于結(jié)論5的證明，類似于雙曲線的探究疑惑2的推理論證，筆者在此不贅述.

4　典型應(yīng)用

1李鋒.不畏浮云遮望眼，除卻繁華顯真顏-2014年高考數(shù)學(xué)福建卷理科第19題背景探源及拓展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015(2)

2臧海鵬 孫煥彥.2015中國高考年鑒數(shù)學(xué)卷[M]．內(nèi)蒙古少兒兒童出版社，2015

2016-06-06)