浪漫國度的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)

苗千

“在一個(gè)民族內(nèi)，為了產(chǎn)生一位天才，總是需要有幾百萬人。一個(gè)真正具有歷史意義的時(shí)刻——一個(gè)人類的群星閃耀時(shí)刻出現(xiàn)以前，必然會有漫長的歲月無謂地流逝而去?！薄度祟惖娜盒情W耀時(shí)》。奧地利作家茨威格這樣描述那些改變?nèi)祟悮v史進(jìn)程的群星。

在幾千年的人類思想史進(jìn)程中，一群人因?yàn)槌霰姷闹橇?、?yán)謹(jǐn)?shù)谋嫖?、深邃的思想和?dú)特的文化背景而留下了一連串鮮明的印記，這就是法國的數(shù)學(xué)天才們。

藝術(shù)和浪漫似乎已經(jīng)成為法國，或者說巴黎這座城市的標(biāo)簽。但是巴黎的另一個(gè)特質(zhì)卻少被人提起，這里也是世界上數(shù)學(xué)家最為密集的城市。現(xiàn)在的巴黎有100多條街道、廣場以數(shù)學(xué)家命名，對于數(shù)學(xué)青年們來說，這同樣是一個(gè)令人夢寐以求的地方。

說起當(dāng)代法國的數(shù)學(xué)研究，就必然要提到巴黎高師，這所學(xué)校以盛產(chǎn)一流的數(shù)學(xué)家聞名世界。在法國總共11名菲爾茲獎得主中，有10人是出自高師。可以說，在第二次世界大戰(zhàn)之后，這所成立于1794年，處于巴黎市中心的高等師范學(xué)校繼承了法國的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。我在巴黎高師的數(shù)學(xué)系訪問了現(xiàn)任數(shù)學(xué)系主任克勞德·維泰博（Claude Viterbo）教授和幾位博士生，又在一輛出租車上與巴黎高師最優(yōu)秀的畢業(yè)生之一、2010年菲爾茲獎得主、現(xiàn)任龐加萊數(shù)學(xué)研究所所長塞德里克·維拉尼（Cédric Villani）教授進(jìn)行對話，希望能從他們的話語中找出法國數(shù)學(xué)傳承幾百年的秘密。

數(shù)學(xué)或許是與天才聯(lián)系最緊密的學(xué)科，有太多關(guān)于數(shù)學(xué)天才的故事流傳，那么天才是否是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究最重要的條件？對于這個(gè)問題，維泰博教授的回答老成持重，他認(rèn)為做數(shù)學(xué)研究確實(shí)需要一點(diǎn)點(diǎn)天分，但是更重要的是努力工作，并且需要一點(diǎn)點(diǎn)品味——實(shí)際上對于數(shù)學(xué)的品味同樣也需要通過努力工作得來。沒有人生來就是一個(gè)數(shù)學(xué)家，只有通過努力工作才能成為一個(gè)數(shù)學(xué)家。維拉尼教授的觀點(diǎn)也類似，他自己雖然在幼時(shí)就展現(xiàn)出了數(shù)學(xué)天分，但也是通過后來艱苦的訓(xùn)練才取得了杰出的數(shù)學(xué)研究成就。

這兩位數(shù)學(xué)家的回答并不算是敷衍。盡管在數(shù)學(xué)研究中天才涌現(xiàn)得非常早，但實(shí)際上法國15歲左右的中學(xué)生在國際學(xué)生評估項(xiàng)目（Programme for International Student Assessment）中的排名并不高，在全世界僅僅排名第25位，法國學(xué)生495分的得分也僅僅略高于平均分494分。法國數(shù)學(xué)家能夠不斷涌現(xiàn)，更重要的原因在于學(xué)生在預(yù)科學(xué)校（Prépa）和在大學(xué)里高強(qiáng)度的數(shù)學(xué)訓(xùn)練。

那么，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？我問出了一個(gè)大而不當(dāng)?shù)膯栴}。“抽象?！本S拉尼教授這樣回答。善于處理抽象概念，似乎正是法國人的才能之一。在幾百年前，利用抽象的“思考”來定義“存在”概念的笛卡兒被稱為現(xiàn)代哲學(xué)之父。他的名言“我思故我在”，定義了存在的起點(diǎn)。

英國哲學(xué)家懷特海稱17世紀(jì)為“天才的世紀(jì)”。其中“天才”之所指，在英國是艾薩克·牛頓，在意大利人們會想到伽利略，但是在法國，這個(gè)詞卻只能泛指。經(jīng)過了漫長的中世紀(jì)之后，正是17世紀(jì)一群法國數(shù)學(xué)天才開創(chuàng)了法國輝煌的數(shù)學(xué)研究傳統(tǒng)，其中的第一人，正是被認(rèn)為開創(chuàng)了現(xiàn)代哲學(xué)的笛卡兒。

勒內(nèi)·笛卡兒（René Descartes）于1596年3月出生在法國安德爾-盧瓦爾省，從小就接受了廣泛的教育。他從8歲開始在一所宗教學(xué)校上學(xué)，到了22歲時(shí)獲得了一個(gè)法學(xué)學(xué)位。笛卡兒是家里三個(gè)孩子中最小的一個(gè)，自幼身體不好，因此被校長特許可以不用早起，一直在宿舍里躺到中午。他在學(xué)校里學(xué)習(xí)修辭學(xué)和邏輯學(xué)，還有“數(shù)學(xué)藝術(shù)”，其中包括音樂和天文學(xué)，自然哲學(xué)和倫理學(xué)；在大學(xué)修習(xí)法學(xué)學(xué)位時(shí)笛卡兒還學(xué)習(xí)了神學(xué)和醫(yī)學(xué)。

笛卡兒認(rèn)為最重要的知識隱藏在自然界中，因此他熱衷于旅行，還曾經(jīng)短時(shí)間地參軍。作為哲學(xué)家的笛卡兒希望利用數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)和哲學(xué)來理解現(xiàn)實(shí)世界，并且解釋一些神學(xué)問題。這使他意識到身體和意識之間的區(qū)別，進(jìn)而發(fā)展出了哲學(xué)的二元論，同時(shí)也成為懷疑主義的先驅(qū)。

作為數(shù)學(xué)家的笛卡兒，最大的貢獻(xiàn)就在于開創(chuàng)了解析幾何。笛卡兒發(fā)明的后來以他的名字命名的笛卡兒坐標(biāo)系把代數(shù)和幾何結(jié)合在了一起，從此人們可以用代數(shù)方程來表述幾何圖形，人類從此生活在一個(gè)方方正正的，由坐標(biāo)限定的空間里。正是因?yàn)榈芽▋鹤鴺?biāo)系太重要，以至于現(xiàn)在的人們很難想象，在沒有笛卡兒坐標(biāo)的時(shí)代，人們?nèi)绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)研究。

“數(shù)學(xué)家也沒有什么不同，我們同樣聽音樂和看電影?！本S泰博教授不希望人們對數(shù)學(xué)家有過于刻板的印象?！澳悄阋惶炱骄袔讉€(gè)小時(shí)研究數(shù)學(xué)問題？”我問他。“這可說不準(zhǔn)，不過最糟糕的情況肯定是一天24個(gè)小時(shí)都在想著數(shù)學(xué)，就連做夢都想著數(shù)學(xué)問題?！彼卮?。

數(shù)學(xué)家需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募o(jì)律性來維持工作和生活的平衡，而獲得菲爾茲獎完全改變了維拉尼教授的生活?！矮@得菲爾茲獎之前數(shù)學(xué)界就已經(jīng)知道我了，所以對我的學(xué)術(shù)影響不大，但是菲爾茲獎完全改變了我和其他人的關(guān)系，媒體和政治家都來找我，甚至還找我拍了一部紀(jì)錄片?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家比以前更受尊重，和社會的聯(lián)系也更緊密了?！币轮】涞木S拉尼教授對我說，語氣中聽不出是厭倦還是得意。正是這些與數(shù)學(xué)無關(guān)的社會活動讓維拉尼在法國充滿爭議，很多人都認(rèn)為數(shù)學(xué)家不應(yīng)該過多地介入到世俗生活中。而實(shí)際上，積極介入市民生活，乃至政治議題，正是法國數(shù)學(xué)家持續(xù)了幾百年的傳統(tǒng)。

在笛卡兒之后，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)界的另一位天才布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal），同樣熱衷于市民的日常生活問題。為了解決巴黎的公共交通問題，帕斯卡設(shè)計(jì)了世界上第一輛公共馬車，并且籌劃組建了世界上第一個(gè)公共馬車服務(wù)公司——可以說，這種熱衷于公共事務(wù)的法國數(shù)學(xué)家傳統(tǒng)，從笛卡兒時(shí)代一直延續(xù)到當(dāng)代的維拉尼。

帕斯卡于1623年生于法國克萊-費(fèi)蒙朗，在1631年全家搬到了巴黎。實(shí)際上數(shù)學(xué)只是帕斯卡一生所關(guān)注的眾多問題之一，他同時(shí)也是神學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家、化學(xué)家、音樂家、教育家和氣象學(xué)家。帕斯卡在家里四個(gè)孩子中排行第三，他的父親就是一位有天賦的數(shù)學(xué)家。因?yàn)樯眢w的原因，他少年時(shí)代一直在家里接受教育，而他的父親則有意不讓他過早地接受數(shù)學(xué)教育，怕他過早地對數(shù)學(xué)癡迷而忽略了其他經(jīng)典學(xué)科的學(xué)習(xí)。

帕斯卡最開始被重點(diǎn)教育學(xué)習(xí)語言學(xué)，尤其是拉丁文和希臘文。盡管數(shù)學(xué)被劃為禁區(qū)，反而使帕斯卡對數(shù)學(xué)的好奇心更為強(qiáng)烈。他從12歲開始就自學(xué)幾何學(xué)，在沒有人教導(dǎo)的情況下，他自創(chuàng)幾何術(shù)語，并且很快證明了三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于兩個(gè)直角。帕斯卡的父親被兒子對于數(shù)學(xué)的癡迷所打動，允許帕斯卡開始閱讀歐幾里德的著作。更重要的是，帕斯卡的父親開始帶著年幼的帕斯卡一同參加巴黎的“梅森學(xué)院”（Mersennes Academy）的聚會，共同討論數(shù)學(xué)問題。

法國數(shù)學(xué)家馬蘭·梅森（Marin Mersenne）在17世紀(jì)創(chuàng)立的“梅森學(xué)院”對于法國數(shù)學(xué)界的發(fā)展至關(guān)重要。梅森自己雖然不是一流的數(shù)學(xué)家，但他從1926年開始，就在巴黎自己的修道室里聚集起當(dāng)時(shí)巴黎一流的科學(xué)家們共同討論科學(xué)問題，也包括當(dāng)時(shí)已經(jīng)移居到荷蘭的笛卡兒的學(xué)說，被人俗稱為“梅森學(xué)院”，這也成為巴黎皇家科學(xué)院（Académie Royale des Sciences de Paris）的前身。帕斯卡在當(dāng)時(shí)梅森學(xué)院的學(xué)術(shù)氣氛中迅速成長，在16歲的年紀(jì)就已經(jīng)證明了眾多定理，還完成了一篇被稱作《神秘六邊形》（Mystic Hexagram）的短篇論文。他的一系列文章在寄出后，因?yàn)檫^于成熟，甚至被笛卡兒認(rèn)為不可能出自一個(gè)少年之手。

為了減輕收稅官父親的工作，帕斯卡在17世紀(jì)40年代發(fā)明了一種被稱為“帕斯卡線”（Pascaline）的機(jī)械化計(jì)算器。在40年代末，帕斯卡開始專注進(jìn)行物理學(xué)實(shí)驗(yàn)，跟隨托里切利的腳步，進(jìn)行如何用重量代表大氣壓的實(shí)驗(yàn)。到了50年代，他通過與“業(yè)余數(shù)學(xué)之王”、住在外省的皮埃爾·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）的通信，奠定了現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。在種種科學(xué)成就之外，帕斯卡發(fā)表的一系列闡明其宗教思想的作品集成《致外省人書》（Les Provinciales）被后世認(rèn)為是法語寫作的經(jīng)典。

這位在39歲就去世的天才，他的數(shù)學(xué)成就和各種探索對于幾何學(xué)、物理學(xué)和計(jì)算機(jī)學(xué)等學(xué)科的發(fā)展都至關(guān)重要，甚至影響了牛頓和萊布尼茲的理論。為了紀(jì)念他對于大氣壓強(qiáng)的研究，帕斯卡成為氣壓的單位。到了上世紀(jì)60年代，為了紀(jì)念他發(fā)明的機(jī)械計(jì)算機(jī)，尼克勞斯·維爾特（Nicklaus Wirth）發(fā)明的計(jì)算機(jī)語言也以帕斯卡命名。

正是從17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)研究的源頭開始，法國數(shù)學(xué)家就形成了強(qiáng)調(diào)身體與智力的平衡、善于提出猜想、人文功底深厚、積極參與社會事務(wù)的傳統(tǒng)。在1666年成立的巴黎皇家科學(xué)院成為法國科學(xué)研究的中心，但是到了法國大革命時(shí)期，巴黎皇家科學(xué)院被看成皇權(quán)的象征，被革命黨人解散，法國數(shù)學(xué)面臨著分崩離析的危險(xiǎn)。另一方面，也正是在法國大革命等事件的驅(qū)動之下，讓法國社會明白了具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的軍事人才極為重要，因此一系列現(xiàn)代化的學(xué)校和研究所，乃至法國獨(dú)特的預(yù)科制度，都在這個(gè)時(shí)期被建立起來。

在法國失去了巴黎皇家科學(xué)院的緊要關(guān)頭，“法國人的皇帝”——拿破侖成了維系法國數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的關(guān)鍵性人物。在1799年通過“霧月政變”上臺之后，成為法國獨(dú)裁者的拿破侖不僅是一位軍事天才，同時(shí)也是一位醉心于幾何學(xué)的業(yè)余數(shù)學(xué)家，甚至有幾個(gè)幾何學(xué)定理以“拿破侖”命名，即使是在遠(yuǎn)征埃及的戰(zhàn)艦上，拿破侖也曾與拉普拉斯、傅里葉和加斯帕爾·蒙日（Gaspard Monge）等當(dāng)時(shí)第一流的法國數(shù)學(xué)家討論幾何問題。

為了填補(bǔ)巴黎皇家科學(xué)院被解散所留下的空白，拿破侖成立了法蘭西科學(xué)院（Académie des Sciences），并在1808年宣布，要建立一所“寄宿制的師范學(xué)?！?，確立了巴黎高師的教學(xué)傳統(tǒng)。不僅是巴黎高師，拿破侖在作為法國獨(dú)裁者的時(shí)期，還奠定了巴黎另外一所名校，同樣建立于1794年的巴黎綜合理工學(xué)院（école Polytechnique）的基礎(chǔ)。這所隸屬于法國國防部的學(xué)校專門為法國培養(yǎng)高素質(zhì)的軍事人才。被稱為“微分幾何之父”的法國著名數(shù)學(xué)家蒙日曾出任這所學(xué)校的校長。在拿破侖時(shí)代，巴黎綜合理工學(xué)院的數(shù)學(xué)研究水平猶在巴黎高師之上。

“你最喜歡的數(shù)學(xué)家是哪一位？”我問維泰博教授?！斑@個(gè)問題沒辦法回答，在數(shù)學(xué)史上重要的數(shù)學(xué)家太多了，沒有辦法選出最喜歡或是最重要的一位?！彼f。

“如果你可以與任何一位數(shù)學(xué)家對話，你會選擇哪一位？”我又問了維拉尼教授一個(gè)類似的問題?！盎蛟S是高斯吧?！本S拉尼教授想了想說，“不過我聽說高斯是一個(gè)不善于交談的人，或許是伽羅瓦?！?/p>

埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）出生于1811年，他算得上是巴黎高師的第一位數(shù)學(xué)天才。在伽羅瓦只有21年短暫的生命中，他以驚人的天賦為數(shù)學(xué)留下了豐富的遺產(chǎn)，然而他又以令人難以置信的愚蠢揮霍自己的才華，早早結(jié)束了自己的生命。如果說笛卡兒和帕斯卡都是以一種冷靜和克制的態(tài)度一生鉆研科學(xué)，從而能夠終生保持著創(chuàng)造力，那么伽羅瓦則是以一種截然相反的、始終充滿著澎湃激情的形象，代表了另一類的法國數(shù)學(xué)天才。

伽羅瓦的父親雖然沒有數(shù)學(xué)天分，但他痛恨皇權(quán)，熱烈追求人權(quán)和自由，這顯然會給年幼的伽羅瓦留下深刻印象。1823年，12歲的伽羅瓦第一次上學(xué)，在當(dāng)時(shí)被戰(zhàn)爭分割成自由派和?；逝傻姆▏鐣?，學(xué)校里的大多數(shù)教師都是?；逝伞Ｔ趯W(xué)校里，伽羅瓦每天早上5點(diǎn)半就要從沒有供暖的宿舍里起床，穿上衣服開始祈禱，然后進(jìn)入教室，坐在臺階上，把書本放在膝蓋上開始上課。每兩個(gè)小學(xué)生只能分享一根蠟燭。

早上學(xué)習(xí)兩個(gè)小時(shí)之后才有水和干面包作為早餐。早餐時(shí)間只有15分鐘，小學(xué)生們必須快速、安靜地吃完，8點(diǎn)鐘繼續(xù)上課。中午在餐廳吃飯，同時(shí)還要聽老師進(jìn)行思想教育，下午的課程從14點(diǎn)到18點(diǎn)，然后進(jìn)入教堂禱告，晚上20點(diǎn)30分上床睡覺。在這樣嚴(yán)酷的學(xué)校環(huán)境中，經(jīng)常有學(xué)生進(jìn)行反抗，也常有學(xué)生被開除，但伽羅瓦后來的行為遠(yuǎn)比反抗學(xué)校更激烈。

伽羅瓦在14歲時(shí)開始對數(shù)學(xué)感興趣，他接觸的第一本著作就是勒讓德的《幾何基礎(chǔ)》（éléments de Géométrie），他像讀小說一樣只花幾天時(shí)間就讀完了這部著作，之后他從15歲開始研讀拉格朗日的論文。伽羅瓦習(xí)慣于在頭腦中完成大多數(shù)的數(shù)學(xué)研究，卻疏于寫出推導(dǎo)的每一步具體過程。1828年6月，在沒有認(rèn)真準(zhǔn)備的情況下，17歲的伽羅瓦去參加競爭激烈的巴黎綜合理工學(xué)院的考試。這所學(xué)校不僅是當(dāng)時(shí)法國最好的學(xué)校，并且還充滿了革命的熱情，這兩點(diǎn)都吸引著伽羅瓦，結(jié)果他失敗了。

伽羅瓦在第二年繼續(xù)參加巴黎綜合理工學(xué)院的入學(xué)考試。一個(gè)學(xué)生一生只準(zhǔn)參加兩次這樣的入學(xué)考試，這也就成了伽羅瓦進(jìn)入巴黎綜合理工學(xué)院最后的機(jī)會?？荚囍械囊豁?xiàng)是兩個(gè)教授對考生進(jìn)行面試，伽羅瓦仍然習(xí)慣在頭腦中完成計(jì)算，而懶于寫在面前的黑板上。在和教授關(guān)于計(jì)算的一部分進(jìn)行爭論時(shí)，失去耐心的伽羅瓦直接把黑板擦扔到了教授的臉上，他也因此失去了進(jìn)入綜合理工的最后一次機(jī)會。

伽羅瓦只能并不情愿地進(jìn)入巴黎高師，但是時(shí)間不長他就因?yàn)閰⒓诱位顒?，?830年被巴黎高師開除。失去了生活來源的伽羅瓦在巴黎高師對面貼出廣告，愿意做高師學(xué)生的私人教師，教授高等代數(shù)，但是感興趣前來的學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)伽羅瓦教授的內(nèi)容遠(yuǎn)超出他們的水平，于是很快也就沒人來了。

沒有工作，沒有學(xué)校，沒有生活來源，伽羅瓦把他生活的一切熱情都投入到革命運(yùn)動中，并且開始寫關(guān)于高等代數(shù)的筆記。1832年5月29日，伽羅瓦被挑戰(zhàn)決斗——這在當(dāng)時(shí)的法國非常常見，人們習(xí)慣于為生活中的任何一件小事展開生死決斗，這種風(fēng)氣直到第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)才結(jié)束。

關(guān)于伽羅瓦為何被卷入一場決斗，是為了愛情或是別的什么事情，直到現(xiàn)在仍然有爭論。但確定的是，一位罕見的數(shù)學(xué)天才因?yàn)樽约旱募で楹汪斆В谒臄?shù)學(xué)天賦還沒有得到充分施展的年紀(jì)就早早地隕滅了。這無論對于伽羅瓦本人還是對于數(shù)學(xué)來說，都是一個(gè)悲劇。

伽羅瓦在決斗的前夜仍然充滿激情地寫了一封名為《致所有共和黨人》的信，表達(dá)他對于法國的熱愛。而在另一封給朋友的信里，預(yù)感到自己將要死去，又前所未有地意識到自己數(shù)學(xué)天賦的伽羅瓦，花了幾個(gè)小時(shí)為他此前向法國科學(xué)院提交的幾篇論文補(bǔ)充細(xì)節(jié)（此前這幾篇論文因?yàn)槿狈?xì)節(jié)而被拒），在空白處，他寫道：“我沒時(shí)間了，我沒時(shí)間了……”

作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，伽羅瓦有幸運(yùn)的一面。他在十幾歲的年紀(jì)就找到了自己最擅長的領(lǐng)域，他首先開創(chuàng)了“群”這個(gè)數(shù)學(xué)概念，大大拓展了抽象代數(shù)的領(lǐng)域，他在群論中的一整套想法被稱為“伽羅瓦理論”，至今仍然影響著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。而另一方面，伽羅瓦缺少對于一個(gè)數(shù)學(xué)家來說至關(guān)重要的紀(jì)律性，他缺乏耐心，無法掌握自己的生活，最終揮霍掉自身的天才。

“會不會有一天，數(shù)學(xué)家會發(fā)現(xiàn)某一種大統(tǒng)一理論，從而找到數(shù)學(xué)的盡頭？”我問維泰博教授。實(shí)際上這更像是一個(gè)物理學(xué)家的問題，大約有100年的時(shí)間，物理學(xué)家們都希望能夠統(tǒng)一量子力學(xué)與廣義相對論，從而得到一個(gè)“大統(tǒng)一理論”，得以解釋一切自然現(xiàn)象，我不知道數(shù)學(xué)家們是否也有一個(gè)類似的夢想。

“那么你覺得，在物理學(xué)中有可能發(fā)現(xiàn)這種大統(tǒng)一理論嗎？”維泰博教授反問我，我不知道該怎么回答?！拔矣X得不大可能發(fā)現(xiàn)什么大統(tǒng)一理論，”維泰博教授接著說，“就算是物理學(xué)，在19世紀(jì)末人們以為已經(jīng)達(dá)到了物理學(xué)的盡頭，剩下的只有一些細(xì)枝末節(jié)的計(jì)算工作，在物理學(xué)的天空上只有兩朵烏云了，結(jié)果呢？出現(xiàn)了量子力學(xué)和相對論，這些理論又有了各自的發(fā)展。數(shù)學(xué)也不大可能發(fā)展出一種統(tǒng)一的理論。目前數(shù)學(xué)的各個(gè)分支有一些開始聯(lián)合在一起，但是各自也都有了更多的發(fā)展。不同的數(shù)學(xué)方向有不同的研究方法，分析和代數(shù)的研究方式是不一樣的。數(shù)學(xué)的發(fā)展既集中又發(fā)散，然后又相互連接?！本S泰博教授這樣描述他對數(shù)學(xué)發(fā)展的認(rèn)識。

數(shù)學(xué)是一個(gè)過于廣博的世界，它的任何一個(gè)細(xì)枝末節(jié)都可能會耗費(fèi)掉一位最有天賦的數(shù)學(xué)家的一生，而數(shù)學(xué)的整體，又有著某種令人著迷的結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)出一種特殊的美感。美國普林斯頓高等研究院的著名數(shù)學(xué)家弗里曼·戴森（Freeman Dyson），在2008年曾經(jīng)發(fā)表過一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)的著名演講，他把數(shù)學(xué)家分為鳥和青蛙兩類。

戴森這樣描述這兩類數(shù)學(xué)家：“有些數(shù)學(xué)家是鳥，其他的則是青蛙。鳥翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遙遠(yuǎn)地平線的廣袤的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)景。他們喜歡那些統(tǒng)一我們思想、并將不同領(lǐng)域的諸多問題整合起來的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周圍生長的花兒。他們樂于探索特定問題的細(xì)節(jié)，一次只解決一個(gè)問題?！贝魃哉J(rèn)為是一只青蛙，專注于一個(gè)特定的細(xì)節(jié)，但是數(shù)學(xué)研究同樣也需要追求整體結(jié)構(gòu)的鳥。

戴森認(rèn)為，20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展最重要的大事之一，就是在法國的天空中出現(xiàn)了一群數(shù)學(xué)之鳥——布爾巴基學(xué)派（Nicolas Bourbaki）成立，一群法國數(shù)學(xué)家致力于出版一系列能將全部數(shù)學(xué)框架統(tǒng)一起來的數(shù)學(xué)教科書。這個(gè)學(xué)派在很大程度上改變了人類20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，而這源于法國數(shù)學(xué)發(fā)展的又一次危機(jī)。

尼古拉·布爾巴基，在20世紀(jì)30年代被一群法國數(shù)學(xué)家用作一個(gè)激進(jìn)的數(shù)學(xué)學(xué)派的名稱，他們決定以一種法國數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)來為純數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域給出清晰的定義和證明。布爾巴基學(xué)派不僅有著頑童惡作劇般的神秘性，更影響了全世界幾代數(shù)學(xué)家。站在21世紀(jì)，當(dāng)人們回顧布爾巴基學(xué)派對于數(shù)學(xué)研究的總體影響，可以說他們?yōu)?0世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究指引了方向；但是也有人認(rèn)為布爾巴基學(xué)派為數(shù)學(xué)研究帶來了負(fù)面影響，把數(shù)學(xué)限制在了嚴(yán)密的高墻之內(nèi)，把它與靈感隔絕。

布爾巴基學(xué)派的誕生與第一次世界大戰(zhàn)的關(guān)系非常密切。在上世紀(jì)10年代，法國數(shù)學(xué)界尚且有一批杰出的數(shù)學(xué)家繼承了勒讓德、拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉、龐加萊等法國數(shù)學(xué)家的傳統(tǒng)，但是在1914到1918年之間發(fā)生的無比慘烈的第一次世界大戰(zhàn)使法國失去了一代數(shù)學(xué)精英。一些年輕的法國數(shù)學(xué)家開始認(rèn)為法國在數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)先地位已經(jīng)被德國人奪走。到了“一戰(zhàn)”與“二戰(zhàn)”之間的上世紀(jì)二三十年代，僅存的上一代法國數(shù)學(xué)家如埃利·嘉當(dāng)（élie Cartan）與雅克·阿達(dá)馬（Jacques Hadamard）雖然仍然受到尊重，卻已經(jīng)步入創(chuàng)造力的末期，法國數(shù)學(xué)家中的青年一代失去了指引和方向。

權(quán)威的缺失也為青年們提供了機(jī)會，更多的青年數(shù)學(xué)家感到不再受束縛。有幾位杰出的青年數(shù)學(xué)家形成一股力量，在1935年成立了布爾巴基學(xué)派，開始共同以布爾巴基這個(gè)筆名撰寫數(shù)學(xué)教科書。布爾巴基學(xué)派的最初成員全都來自巴黎高師，個(gè)個(gè)都是重要的數(shù)學(xué)家。學(xué)派的建立者之一安德烈·韋伊（André Weil）在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有重要貢獻(xiàn)，并且在代數(shù)幾何與數(shù)論之間建立了深刻的聯(lián)系，還留下數(shù)個(gè)“韋伊猜想”。另外幾位最初的成員如昂利·嘉當(dāng)（Henri Cartan）、克勞德·謝瓦萊（Claude Chevalley）、讓·迪厄多內(nèi)（Jean Dieudonné）、洛朗·施瓦茨（Laurent Schwartz）也都是對數(shù)學(xué)界影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)家。而布爾巴基學(xué)派后來的成員也都有相應(yīng)的水準(zhǔn)，其中包括巴黎高師畢業(yè)生、1954年菲爾茲獎與2003年阿貝爾獎的得主讓-皮埃爾·塞爾（Jean-Pierre Serre）。這些優(yōu)秀的青年科學(xué)家能夠聚集在一起并非易事，他們之間很容易發(fā)生長時(shí)間的充滿激情的辯論和爭吵，而很多數(shù)學(xué)教科書就是在這些爭吵中誕生的，布爾巴基學(xué)派也在這樣的氣氛中在世界數(shù)學(xué)領(lǐng)域活躍了幾十年。

布爾巴基學(xué)派存在的目的是什么，最終又實(shí)現(xiàn)了多少？愛丁堡大學(xué)榮譽(yù)數(shù)學(xué)教授邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah）評價(jià)說，布爾巴基學(xué)派有兩個(gè)主要目標(biāo)：一是為數(shù)學(xué)尋找新的、更廣泛的基礎(chǔ)；二是為數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)尋找基礎(chǔ)。布爾巴基學(xué)派強(qiáng)調(diào)“結(jié)構(gòu)”的重要性，這改變了人們對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識。這個(gè)方向?qū)嶋H上與哥廷根數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）對于數(shù)學(xué)的探索，以及后來抽象代數(shù)的發(fā)展方向相同。但是對于結(jié)構(gòu)的探索并不局限于代數(shù)，它在拓?fù)鋵W(xué)和與之相關(guān)的幾何學(xué)科里也有很大的成就，這些領(lǐng)域在“二戰(zhàn)”之后都有很大的發(fā)展。有人甚至認(rèn)為布爾巴基學(xué)派對于“結(jié)構(gòu)”的追求很大程度上影響了社會學(xué)研究的方式，其中包括心理學(xué)、人類學(xué)和語言學(xué)。

建立普遍的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是另外一回事。阿蒂亞爵士認(rèn)為，為數(shù)學(xué)建立廣泛的基礎(chǔ)，并不僅僅是一種妄想，同時(shí)也是一種教育上的災(zāi)難，整個(gè)學(xué)派都有可能被其自身所壓垮。百科全書并不是教科書，布爾巴基學(xué)派試圖從根本上改變學(xué)校教育，整個(gè)法國乃至全世界的數(shù)學(xué)教育都受到其錯(cuò)誤的影響，布爾巴基學(xué)派也可以說是其自身成功的受害者。

布爾巴基學(xué)派過于追求明確的定義和清晰的證明，在某種程度上反而限制了數(shù)學(xué)的發(fā)展。阿蒂亞爵士認(rèn)為，清晰與嚴(yán)格在數(shù)學(xué)中的地位當(dāng)然非常重要，但是它們不能被用作阻擋新的數(shù)學(xué)理念、新想法產(chǎn)生的高墻。在布爾巴基學(xué)派興盛的年代，一些優(yōu)秀的應(yīng)用數(shù)學(xué)家和有著原創(chuàng)想法的數(shù)學(xué)家無法融入布爾巴基學(xué)派，可能也與這個(gè)學(xué)派過分強(qiáng)調(diào)純數(shù)學(xué)的清晰性有關(guān)。在布爾巴基學(xué)派衰落之后，反而有一些新的數(shù)學(xué)分支發(fā)展起來，其中有很多尚未有清晰的定義和證明。

在21世紀(jì)，數(shù)學(xué)的發(fā)展早已經(jīng)與100年前不同，如今僅在巴黎就生活著超過1000名數(shù)學(xué)家，而在20世紀(jì)初，全世界也只有幾百名數(shù)學(xué)家而已。雖然時(shí)代已經(jīng)改變，法國的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)依然延續(xù)，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為法國傳統(tǒng)文化的一部分，這樣的傳統(tǒng)，如何在一個(gè)國家延續(xù)幾百年而不衰退？

相比自然科學(xué)，數(shù)學(xué)在很大程度上可以說是一門強(qiáng)調(diào)師承和傳統(tǒng)的學(xué)科?！蹲匀弧罚∟ature）雜志在2016年8月報(bào)道，通過一個(gè)名為“數(shù)學(xué)家譜系計(jì)劃”（Mathematics Geneology Project）的統(tǒng)計(jì)，世界上大多數(shù)的科學(xué)家都出自84個(gè)“數(shù)學(xué)家族”，而其中超過三分之二的數(shù)學(xué)家都出自24個(gè)“數(shù)學(xué)家族”。由此看來，一個(gè)國家一旦積聚起數(shù)學(xué)研究的優(yōu)勢，就很容易把這種優(yōu)勢保存下去。

在2010年獲得菲爾茲獎的兩位巴黎高師畢業(yè)生中，維拉尼的導(dǎo)師皮埃爾-路易·利翁（Pierre-Louis Lions）本人也是菲爾茲獎得主，而越南裔數(shù)學(xué)家吳寶珠（Ng？ B？o Chau）的導(dǎo)師熱拉爾·洛蒙（Gérard Laumon）是法國科學(xué)院院士。在巴黎高師還有另外一對名師高徒——被譽(yù)為“20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家”的1966年菲爾茲獎得主亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck），他在巴黎高師求學(xué)時(shí)的博士導(dǎo)師，正是1950年的菲爾茲獎得主、布爾巴基學(xué)派的成員洛朗·施瓦茨。

法國人追求浪漫和純粹美感的性格是否與數(shù)學(xué)有某種聯(lián)系？數(shù)學(xué)清晰的邏輯與深刻的內(nèi)涵可能確實(shí)與藝術(shù)有相通之處——布爾巴基學(xué)派對于結(jié)構(gòu)和純粹美感的追求與人們對于純粹的法國精神、法國藝術(shù)氣質(zhì)的理解在本質(zhì)上是相同的。但真正令法國數(shù)學(xué)界人才輩出的原因，在于嚴(yán)格的訓(xùn)練和專門培養(yǎng)。很多法國數(shù)學(xué)家都提到了自己在預(yù)科學(xué)校的兩年里受到的有針對性的數(shù)學(xué)訓(xùn)練對自己后來開展數(shù)學(xué)研究有巨大幫助——無論是報(bào)考巴黎高師還是綜合理工學(xué)院，這些胸懷大志的學(xué)生們大學(xué)前兩年都要在預(yù)科學(xué)校度過。法國的預(yù)科系統(tǒng)最初是為了大規(guī)模地訓(xùn)練工程師而設(shè)計(jì)，到后來則逐漸成為訓(xùn)練頂級數(shù)學(xué)家的場所，這種傳統(tǒng)甚至可以追溯到法國大革命時(shí)期對軍事精英的培養(yǎng)。

“你會不會擔(dān)心在未來的某一天，人工智能發(fā)展得比人類更聰明，它甚至可以取代數(shù)學(xué)家。比如說，你只要把問題輸入電腦，然后只要待在咖啡機(jī)旁喝一杯咖啡，等待人工智能給出答案和推導(dǎo)出數(shù)學(xué)公式？”出租車一直向巴黎的郊外駛?cè)?，維拉尼教授開始顯得有些疲倦，我問了他一個(gè)略帶挑釁性的問題?！皩?shí)際上現(xiàn)在人類的很多工作都已經(jīng)被機(jī)器人和人工智能取代了。”維拉尼教授回答，“我不知道人工智能會不會發(fā)展到比人類更聰明，但是我相信，數(shù)學(xué)家一定是最后一種被人工智能取代的工作——如果真的有那么一天，我很高興可以等在咖啡機(jī)旁讓人工智能代替我研究數(shù)學(xué)。”

出租車停下，維拉尼教授到家了?！拔一貋沓詡€(gè)飯，晚上還要再回巴黎城里去?！彼臀覀兏鎰e?？粗@位2010年菲爾茲獎得主，被法國人如明星般喜愛的數(shù)學(xué)家走進(jìn)家門，我們自己則迷失在巴黎郊外的蒙蒙細(xì)雨中。