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    八數(shù)碼問題解法效率比較及改進(jìn)研究 

    2016-11-07 18:00:09付宏杰王雪瑩周健周孫靜朱
    軟件導(dǎo)刊 2016年9期
    關(guān)鍵詞:算法

    付宏杰王雪瑩周健周孫靜朱珠張俊余

    摘要:八數(shù)碼問題是人工智能中的一個(gè)典型問題,目前解決八數(shù)碼問題的搜索求解策略主要有深度優(yōu)先搜索、寬度優(yōu)先搜索、啟發(fā)式A*算法。對(duì)這些算法進(jìn)行研究,重點(diǎn)對(duì)A*算法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn),使用曼哈頓距離對(duì)估價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)使用這些算法解決八數(shù)碼問題的效率進(jìn)行比較,從步數(shù)、時(shí)間、結(jié)點(diǎn)數(shù)、外顯率等各參數(shù),通過具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,進(jìn)一步驗(yàn)證各算法的特性。

    關(guān)鍵詞:八數(shù)碼;深度優(yōu)先搜索;寬度優(yōu)先搜索;A*算法;曼哈頓距離

    DOIDOI:10.11907/rjdk.161867

    中圖分類號(hào):TP312

    文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào)文章編號(hào):16727800(2016)009004105

    基金項(xiàng)目基金項(xiàng)目:

    作者簡(jiǎn)介作者簡(jiǎn)介:付宏杰(1973-),女,吉林公主嶺人,博士,吉林工程技術(shù)師范學(xué)院信息工程學(xué)院副教授,研究方向?yàn)槿斯ぶ悄?、群體智能、機(jī)器學(xué)習(xí)。

    1問題描述

    八數(shù)碼問題就是在一個(gè)大小為3×3的九宮格上,放置8塊編號(hào)為1~8的木塊,九宮格中有一個(gè)空格,周圍(上下左右)的木塊可以和空格交換位置。對(duì)于問題,給定一個(gè)初始狀態(tài)(如圖1(a)初始狀態(tài)),目標(biāo)狀態(tài)(如圖1(b)目標(biāo)狀態(tài))是期望達(dá)到1~8順序排列的序列,并且空格在右下角,問題的實(shí)質(zhì)就是尋找一個(gè)合法的移動(dòng)序列。

    2問題分析和模型表示

    2.1模型建立

    對(duì)于棋格,每個(gè)位置給定一個(gè)編號(hào),從左上角開始順序編號(hào)(見圖2),對(duì)于任意的狀態(tài),記為p = s[0]s[1]s[2]s[3]s[4]s[5]s[6]s[7]s[8],圖1初始狀態(tài)中的狀態(tài)可以表示為 p=2 8 3 1 6 4 7 0 5,圖2目標(biāo)狀態(tài)中的狀態(tài)可以表示為 p = 1 2 3 4 5 6 7 8 0。

    2.2分析解的存在性

    不是每一個(gè)給定的初始狀態(tài)都存在解,在分析之前,引入線性代數(shù)逆序和逆序數(shù)的概念:在一個(gè)排列中,如果一對(duì)數(shù)的前后位置和大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就成為一個(gè)逆序;排列中逆序的總數(shù)就成為這個(gè)排列的逆序數(shù)。例如,排列p=2 8 3 1 6 4 7 0 5的逆序數(shù)為1+6+1+0+2+0+1=11(不可解)。

    使用線性代數(shù)理論可以論證,對(duì)于任意目標(biāo)狀態(tài),只有初始狀態(tài)的逆序數(shù)和目標(biāo)狀態(tài)的逆序數(shù)的奇偶性相同才有解(逆序數(shù)計(jì)算不包括0的逆序數(shù))。例如p=1 2 3 4 5 6 7 0 8的逆序數(shù)為0,與p的逆序數(shù)奇偶性相同,因此是可解狀態(tài)。

    3搜索策略

    搜索算法本質(zhì)上是一棵將初始節(jié)點(diǎn)作為根節(jié)點(diǎn)的四叉樹。從初始節(jié)點(diǎn)開始,以空白格向4個(gè)方向的移動(dòng)作為分支。求解的過程就是尋找一條從根節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)結(jié)點(diǎn)的路徑的過程。

    為了方便論述,取目標(biāo)狀態(tài)為:p=1、2、3、4、5、6、7、8、0,本文用上、右、下、左分別表示空格的向上、向右、向下、向左4種操作。

    3.1深度優(yōu)先搜索算法(Depth-First-Search)

    深度優(yōu)先搜索策略是擴(kuò)展當(dāng)前結(jié)點(diǎn),生成的子節(jié)點(diǎn)總是置于擴(kuò)展棧的前端,這樣搜索向縱深方向發(fā)展。

    3.1.1算法策略

    ①將起始結(jié)點(diǎn)S加入棧中,如果此結(jié)點(diǎn)是目標(biāo)結(jié)點(diǎn),則得到解;②如果棧為空,則無(wú)解,失敗退出,否則繼續(xù)執(zhí)行步驟Ⅲ;③將棧頂元素(記作結(jié)點(diǎn)N)從棧中取出;④如果結(jié)點(diǎn)N的深度等于最大深度,則轉(zhuǎn)向步驟Ⅱ;⑤擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)N的所有結(jié)點(diǎn),產(chǎn)生其全部的后繼結(jié)點(diǎn),并壓入棧;⑥如果后繼結(jié)點(diǎn)中有任一結(jié)點(diǎn)為目標(biāo)結(jié)點(diǎn),則求得解,否則轉(zhuǎn)向步驟Ⅱ。

    3.1.2搜索圖解

    搜索圖解如圖3所示。

    3.1.3算法優(yōu)缺點(diǎn)分析

    深度優(yōu)先算法在解決八數(shù)碼問題時(shí)有一個(gè)致命缺點(diǎn),就是必須設(shè)置一個(gè)深度界限,否則,搜索會(huì)一直沿著縱深方向發(fā)展,會(huì)一直無(wú)法搜索到解路徑。

    即使加了限制條件,搜索到了解路徑,解路徑也不一定是最優(yōu)解路徑。

    缺點(diǎn):如果目標(biāo)節(jié)點(diǎn)不在搜索進(jìn)入的分支上,而該分支又是一個(gè)無(wú)窮分支,就得不到解,因此該算法是不完備的。

    優(yōu)點(diǎn):如果目標(biāo)節(jié)點(diǎn)在搜索進(jìn)入的分支上,則可以較快得到解。

    3.2寬度優(yōu)先搜索算法(Breadth-First-Search)

    寬度優(yōu)先算法將擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)置于擴(kuò)展隊(duì)列的末端,使得搜索向橫向發(fā)展。

    3.2.1算法策略

    ①將起始結(jié)點(diǎn)放入隊(duì)列中,如果該起始結(jié)點(diǎn)為一目標(biāo)結(jié)點(diǎn),則得到解;②如果隊(duì)列為空,則無(wú)解,失敗退出,否則繼續(xù)步驟Ⅲ;③將第一個(gè)結(jié)點(diǎn)(記作結(jié)點(diǎn)N)放入隊(duì)列中,并將它放入已擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的隊(duì)列中;④擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)N,如果沒有后繼結(jié)點(diǎn),則轉(zhuǎn)向步驟Ⅱ;⑤將N的所有后繼結(jié)點(diǎn)放到隊(duì)列末端,并提供從這些后繼結(jié)點(diǎn)回到結(jié)點(diǎn)N的指針;⑥如果N的任一后繼結(jié)點(diǎn)是個(gè)目標(biāo)結(jié)點(diǎn),則找到一個(gè)解(反向追蹤得到從目標(biāo)結(jié)點(diǎn)到起始結(jié)點(diǎn)的路徑),成功退出,否則轉(zhuǎn)向步驟Ⅱ。

    寬度優(yōu)先搜索對(duì)于八數(shù)碼問題的解決情況,相較于深度優(yōu)先搜索好,對(duì)于解決步數(shù)在20~30步的初始狀態(tài),可以在300~500ms內(nèi)解決。

    3.2.2搜索圖解

    搜索圖解如圖5所示。

    3.2.3算法優(yōu)缺點(diǎn)分析

    寬度優(yōu)先搜索,在搜索過程中,遵循一層一層往下搜索的搜索策略,它是一個(gè)完備的算法,找到的解一定是最優(yōu)解。

    缺點(diǎn):當(dāng)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)距離初始節(jié)點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生許多無(wú)用的節(jié)點(diǎn),搜索效率低,只能適用于到達(dá)目標(biāo)結(jié)點(diǎn)步數(shù)較少的情況,如果步數(shù)超過15步,運(yùn)行時(shí)間太長(zhǎng),則不再起作用。

    優(yōu)點(diǎn):只要問題有解,則總可以得到解,而且是最短路徑的解。

    3.3A*算法

    A*算法的基本思想與廣度優(yōu)先算法相同,但是在擴(kuò)展出一個(gè)結(jié)點(diǎn)后,要計(jì)算它的估價(jià)函數(shù),并根據(jù)估價(jià)函數(shù)對(duì)待擴(kuò)展的結(jié)點(diǎn)排序,從而保證每次擴(kuò)展的結(jié)點(diǎn)都是估價(jià)函數(shù)最小的結(jié)點(diǎn)。

    3.3.1算法思想

    A*算法是一種常用的啟發(fā)式搜索算法。在A*算法中,一個(gè)結(jié)點(diǎn)位置的好壞用估價(jià)函數(shù)來(lái)對(duì)它進(jìn)行評(píng)估:

    f(n)=g(n)+h(n)

    這里,f(n)是估價(jià)函數(shù),g(n)是起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑值(也稱為最小耗費(fèi)或最小代價(jià)),h(n)是n到目標(biāo)的最短路經(jīng)的啟發(fā)值。由于這個(gè)f(n)其實(shí)是無(wú)法預(yù)先知道的,因而實(shí)際上使用的是如下估價(jià)函數(shù):

    f(n)=g(n)+h(n)

    其中,g(n)是從初始結(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)n的實(shí)際代價(jià),h(n)是從結(jié)點(diǎn)n到目標(biāo)結(jié)點(diǎn)的最佳路徑的估計(jì)代價(jià)。在這里主要是h(n)體現(xiàn)了搜索的啟發(fā)信息,因?yàn)間(n)是已知的。用f(n)作為f(n)的近似,也即用g(n)代替g(n),h(n)代替h(n)。這樣必須滿足兩個(gè)條件:①g(n)≥g(n)(大多數(shù)情況下都是滿足的,可以不用考慮),且f必須保持單調(diào)遞增;②h必須小于等于實(shí)際的從當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到達(dá)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的最小耗費(fèi)h(n)≤h(n)。第二點(diǎn)特別重要,可以證明應(yīng)用這樣的估價(jià)函數(shù)可以找到最短路徑。

    估價(jià)函數(shù)中,主要是計(jì)算h,對(duì)于不同的問題,h有不同的含義。這里的h(n)代表的是當(dāng)前結(jié)點(diǎn)狀態(tài)與目標(biāo)結(jié)點(diǎn)狀態(tài)相比沒有到位的棋子數(shù),是最簡(jiǎn)單的估價(jià)函數(shù)。

    3.3.2算法策略

    ①建立一個(gè)隊(duì)列,計(jì)算初始結(jié)點(diǎn)的估價(jià)函數(shù)f,并將初始結(jié)點(diǎn)入隊(duì),設(shè)置隊(duì)列頭和尾指針;②取出隊(duì)列頭(隊(duì)列頭指針?biāo)福┑慕Y(jié)點(diǎn),如果該結(jié)點(diǎn)是目標(biāo)結(jié)點(diǎn),則輸出路徑,程序結(jié)束。否則對(duì)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展;③檢查擴(kuò)展出的新結(jié)點(diǎn)是否與隊(duì)列中的結(jié)點(diǎn)重復(fù),若與不能再擴(kuò)展的結(jié)點(diǎn)重復(fù),則將它拋棄,若新結(jié)點(diǎn)與待擴(kuò)展的結(jié)點(diǎn)重復(fù),則比較兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的估價(jià)函數(shù)中g(shù)的大小,保留較小g值的結(jié)點(diǎn)。跳至Ⅴ;④如果擴(kuò)展出的新結(jié)點(diǎn)與隊(duì)列中的結(jié)點(diǎn)不重復(fù),則按照其估價(jià)函數(shù)f的大小將它插入隊(duì)列中的頭結(jié)點(diǎn)之后待擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的適當(dāng)位置,使它們按從小到大的順序排列,最后更新隊(duì)列尾指針;⑤如果隊(duì)列頭的結(jié)點(diǎn)還可以擴(kuò)展,直接返回步驟②,否則將隊(duì)列頭指針指向下一結(jié)點(diǎn),再返回步驟②。

    3.3.3搜索圖解

    搜索圖解如圖7所示。

    3.3.4算法優(yōu)缺點(diǎn)分析

    優(yōu)點(diǎn):A*算法在絕大多數(shù)的情況下,在性能方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)與DFS和BFS。算法的主要運(yùn)行性能,取決于估價(jià)函數(shù)f的選取。

    缺點(diǎn):由于算法本身的特點(diǎn),因此根據(jù)估價(jià)函數(shù)找到的解路徑不一定是最優(yōu)解路徑。

    初始狀態(tài): 5 6 8 4 0 1 2 3 7。運(yùn)行結(jié)果圖8所示。

    4算法改進(jìn)

    4.1狀態(tài)表示方法壓縮

    有許多表示方法,比如一個(gè)3*3的八數(shù)碼盤可以壓縮成一個(gè)int值表示,但不適用于格子大于9的問題(如十五謎問題)。如果對(duì)空間要求很高,則還可以再壓縮。本文采用整數(shù)(int)表示的方法。

    表示方法如下:由于int的大小是32位(范圍是[-2147483648-2147483648]),取一個(gè)int的低9位。為了方便尋找空格的位置,int的個(gè)位用來(lái)放空格的位置(1-9)。而前8位,按照行從上到下,列從左到右的順序依次記錄對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字。

    4.2哈希函數(shù)去重

    高效避免訪問同一個(gè)狀態(tài),最直接的方法是記錄每一個(gè)狀態(tài)訪問與否,然后在衍生狀態(tài)時(shí)不衍生那些已經(jīng)訪問的狀態(tài)。基本思想是,給每個(gè)狀態(tài)標(biāo)記一個(gè)flag,若該狀態(tài)flag = true則不衍生,若為false則衍生并修改flag為true。

    每一次移動(dòng)產(chǎn)生新狀態(tài)時(shí),先判斷它是否已在兩個(gè)鏈表中,若存在,則不衍生;若不存在,將其放入活鏈表。對(duì)于被衍生的那個(gè)狀態(tài),放入死鏈表。

    為了記錄每一個(gè)狀態(tài)是否被訪問過,需要有足夠的空間。八數(shù)碼問題一共有9!,這個(gè)數(shù)字并不是很大,采用哈希函數(shù)的方法,使復(fù)雜度減為O(1)。

    4.3估價(jià)函數(shù)改進(jìn)

    通過找出不在位置的棋格個(gè)數(shù)形成的簡(jiǎn)單估價(jià)函數(shù),不足以描述該結(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度。因此本文采用一種更為科學(xué)合理的距離函數(shù),來(lái)描述兩個(gè)狀態(tài)結(jié)點(diǎn)之間的差距。設(shè)距離函數(shù)為h2(n),其函數(shù)值為當(dāng)前結(jié)點(diǎn)狀態(tài)不在位置的棋格,到它目標(biāo)結(jié)點(diǎn)需要移動(dòng)的距離:

    h2(n)=|x-x0|+|y-y0|

    使用此函數(shù),對(duì)于A*算法的估價(jià)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),能夠取得比較明顯的改進(jìn)效果。

    5效率比較

    5.1概念

    首先給出幾個(gè)用來(lái)進(jìn)行效率比價(jià)的變量:①步數(shù)(L):從初始節(jié)點(diǎn)到達(dá)目標(biāo)的路徑長(zhǎng)度;②時(shí)間(T):搜索程序運(yùn)行的時(shí)間,單位毫秒(ms);③結(jié)點(diǎn)數(shù)(N):整個(gè)過程中生成的節(jié)點(diǎn)總數(shù)(不包括初始節(jié)點(diǎn));④外顯率(P):搜索工程中,從初始節(jié)點(diǎn)向目標(biāo)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行搜索的區(qū)域的寬度。

    P=LN;P∈(0,1]

    5.2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

    數(shù)據(jù)說明:①環(huán)境為Windows系統(tǒng),語(yǔ)言為Java,使用控制臺(tái)命令輸出算法時(shí)間;②目標(biāo)狀態(tài) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0;③由于運(yùn)行時(shí)間受系統(tǒng)影響很大,具有一定的隨機(jī)性,因而每個(gè)狀態(tài)執(zhí)行3次,取中位數(shù)作為最終結(jié)果時(shí)間;④“長(zhǎng)度”為該初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的最短路徑的長(zhǎng)度。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)論如表1~表5、圖9~圖12所示。

    (1)八數(shù)碼問題解路徑長(zhǎng)度比較。

    (2)八數(shù)碼問題解決時(shí)間比較。

    (4)八數(shù)碼問題外顯率比較。

    5.3研究結(jié)論

    通過研究,可得結(jié)論如下:①DFS的解路徑長(zhǎng)度趨于搜索深度界限(本文界限是30),搜索效率受深度影響很大,并且搜索結(jié)點(diǎn)冗余多、速度慢;②BFS找到的一定是最優(yōu)解,但是在算法效率上,雖然比DFS好,卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如A*算法,同時(shí)BFS在搜索深度較深時(shí),產(chǎn)生的冗余結(jié)點(diǎn)較多;③A*算法在效率上相對(duì)最優(yōu),時(shí)間和空間上都比DFS和BFS更優(yōu),但缺點(diǎn)是,找到的解不一定是最優(yōu)解;④改進(jìn)的A*算法在時(shí)間復(fù)雜度和效率上都更優(yōu),空間利用率(外顯率)與A*算法差距不大??傮w而言,改進(jìn)的算法取得了較好效果。

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    責(zé)任編輯(責(zé)任編輯:孫娟)

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