“數(shù)與形”教學(xué)研究報(bào)告

漣源市小學(xué)數(shù)學(xué)研究會(huì)瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“數(shù)與形”教學(xué)研究報(bào)告

漣源市小學(xué)數(shù)學(xué)研究會(huì)瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的理解

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)學(xué)的許多問題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的。在數(shù)學(xué)上，我們把根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想方法叫做數(shù)形結(jié)合。小學(xué)數(shù)學(xué)教材一直都很重視對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透與運(yùn)用。幾乎從第一節(jié)課認(rèn)識(shí)數(shù)字開始，學(xué)生就受到數(shù)形結(jié)合思想方法的熏陶。

人教版新教材在六年級(jí)上冊(cè)安排了數(shù)與形為主題的教學(xué)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)走近、理解并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。這一內(nèi)容呈現(xiàn)在“數(shù)學(xué)廣角”版塊中，集中發(fā)揮了它在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力上的優(yōu)勢(shì)——由數(shù)思形，培養(yǎng)思維的靈活性；由形思數(shù)，培養(yǎng)思維的縝密性；數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性；數(shù)形對(duì)照，培養(yǎng)思維的批判性。這種抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合時(shí)，能促使學(xué)生多方位、多角度、多層次地思考問題，進(jìn)而培養(yǎng)他們靈活、深刻地分析問題與解決問題的能力。

二、教學(xué)中存在的問題及分析

（一）教學(xué)實(shí)踐中的問題

因?yàn)檫@是教材新增的內(nèi)容，可供參考的文獻(xiàn)資料不多，無形中給教學(xué)增加了難度。實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)老師對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法了解多少？在具體的操作中，又是如何落實(shí)這種思想與方法的呢？對(duì)此，我們?cè)谌谐槿×?0名小學(xué)數(shù)學(xué)教師和40名六年級(jí)學(xué)生作為樣本進(jìn)行了問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)教師對(duì)數(shù)形結(jié)合基本含義的理解多集中于一些具體現(xiàn)象，對(duì)功能性含義關(guān)注不夠；認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)目標(biāo)中是隱性的，想滲透但不知怎樣滲透；教學(xué)時(shí)關(guān)注了以形助數(shù)，對(duì)以數(shù)解形重視不夠。學(xué)生只有少部分聽說過數(shù)形結(jié)合的思想方法，主動(dòng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的經(jīng)驗(yàn)明顯不足。由此可見，數(shù)形結(jié)合的思想方法還沒有真正落實(shí)到小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，老師們普遍重視不夠，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是不到位的。

1.如何合理地定位教學(xué)目標(biāo)。在舊教材中，例2及后面的幾道練習(xí)題都屬于思考題甚至競賽題，而新教材把這些內(nèi)容作為主體內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，那么這部分內(nèi)容在教學(xué)時(shí)究竟要達(dá)到怎樣的要求呢？

2.如何精選教學(xué)材料。課后練習(xí)題里編入的習(xí)題哪些能讓學(xué)生真正感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法？需要補(bǔ)充哪些學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性？

3.如何選擇有效的教學(xué)策略。這部分內(nèi)容的教學(xué)難度較大且相對(duì)獨(dú)立，教學(xué)時(shí)如何搭建腳手架，既能讓學(xué)生夠得著又能夠避免教師硬給？

4.如何讓學(xué)生較好地感悟極限思想。教材中例2的內(nèi)容體現(xiàn)了極限思想。極限思想作為一種數(shù)學(xué)思想，小學(xué)生理解起來會(huì)覺得比較抽象。教材也試圖借助形直觀形象地解釋的結(jié)果就是1。這樣的處理，學(xué)生對(duì)結(jié)果1的理解是否有困難？教學(xué)時(shí)如何創(chuàng)設(shè)合適的情境，讓學(xué)生感悟極限思想？

1.學(xué)生常常把畫線段圖、作圖等借助幾何圖形簡化代數(shù)思考的過程看成是老師加在他們身上的負(fù)擔(dān)，體會(huì)不到數(shù)形結(jié)合方法的精妙。

2.數(shù)形結(jié)合大致可以分為以形助數(shù)、以數(shù)解形兩大類。由于小學(xué)生年齡、知識(shí)的局限，數(shù)形結(jié)合在小學(xué)階段更多地表現(xiàn)為以形助數(shù)，以降低思維難度。也因?yàn)樾W(xué)階段學(xué)生接觸的大多是具體的數(shù)據(jù)，用字母表示數(shù)的內(nèi)容較少，往往難以滿足以數(shù)解形教學(xué)的需要。

（二）對(duì)問題的分析

1.抓住問題情境和數(shù)學(xué)思想方法之間的結(jié)合點(diǎn)

如果教師用心琢磨，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中無處不在。教師教學(xué)時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)，充分挖掘問題情境中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)思想方法與問題情境之間的結(jié)合點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生在形象思維和抽象思維之間搭建橋梁，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展思維能力。

2.如何提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的素養(yǎng)

對(duì)學(xué)生而言，如果能充分感受數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值，并將數(shù)形結(jié)合的思想遷移到解決其他一些實(shí)際問題，對(duì)他們形成良好的思維素質(zhì)與技巧，提升數(shù)學(xué)能力是大有裨益的。所以，問題的關(guān)鍵還在于教師如何把教學(xué)內(nèi)容中隱含的數(shù)形結(jié)合思想方法顯性地傳遞給學(xué)生，把學(xué)生潛在的關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的經(jīng)驗(yàn)激活。教師的教學(xué)需要在這方面下功夫。

三、教學(xué)實(shí)踐

片段一：

教師板書一列數(shù)：1，4，9，16，（）。

師：猜猜看，接下來的這個(gè)數(shù)會(huì)是什么呢？說說你的想法。

生1：這列數(shù)中相鄰兩數(shù)之間依次相差：3、5、7，是連續(xù)的奇數(shù)，接下來應(yīng)該加9，所以這個(gè)數(shù)應(yīng)該是16+9=25。

師：同學(xué)們聽明白了他的意思嗎？誰還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是平方數(shù)。第一個(gè)數(shù)是1的平方，第二個(gè)數(shù)是2的平方，第三個(gè)數(shù)是3的平方，第四個(gè)數(shù)是4的平方，所以我猜第五個(gè)數(shù)是5的平方，應(yīng)該填25。

師：看到這些平方數(shù)，你能馬上聯(lián)想到我們熟悉的哪個(gè)圖形呢？

生3：正方形，正方形的面積就是邊長的平方。

師：棒極了！難怪平方數(shù)又叫正方形數(shù)呢?？磥恚瑪?shù)與形之間有著一些奇妙的聯(lián)系，這節(jié)課我們就一起來研究“數(shù)與形”（板書課題）。

師：有意思的是，在上面的同一組數(shù)據(jù)中，同學(xué)們找出了兩種不同的規(guī)律，這又是為什么呢？帶著這個(gè)疑問，我們一起走近這個(gè)奇妙的正方形吧。（出示圖1）你能一眼看出這是多少個(gè)小方格嗎？是怎么知道的？

生4：25個(gè)小方格，用5×5=25。

師：不錯(cuò)，25就是5的平方數(shù)?，F(xiàn)在的問題是，這些小方格的個(gè)數(shù)除了用5×5計(jì)算外，還有沒有別的算法？也許你會(huì)覺得這個(gè)問題很奇怪，除了用5×5計(jì)算，還能有什么好辦法呢？數(shù)學(xué)就是這樣有意思，有時(shí)候我們換個(gè)角度思考就會(huì)有不一樣的發(fā)現(xiàn)。剛才我們不是在同一組數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了不同的規(guī)律嗎？現(xiàn)在，你換個(gè)角度看看這幅圖，怎么看就能看出每次加3、加5、加7……這樣的規(guī)律呢？

圖1

學(xué)生思考。

生5：我是拐著彎進(jìn)行計(jì)數(shù)求和的，第一層1個(gè)，第二層3個(gè)，第三層5個(gè)，第四層7個(gè)，第五層9個(gè)，那么25=1+3+5+7 +9。（課件相機(jī)演示，如圖2）

師：咦，加一層不就是加一行一列嗎？一行2個(gè)，一列2個(gè)，兩個(gè)2不是4嗎？為什么這里只加了3個(gè)？

生6：看圖就會(huì)發(fā)現(xiàn)，拐角上的這個(gè)方格在行里數(shù)到它，在列里又?jǐn)?shù)到它，重復(fù)了一次，減去1，就只有3個(gè)了！

師：噢，我明白了！數(shù)形結(jié)合就是這么奇妙?。▌?dòng)畫演示：依次遞加一層）

圖2

生7：3+3-1加了5個(gè)，4+4-1加了7個(gè)，5+5-1加了9個(gè)。

師：每加一層，正方形的邊長就多1，1+3+5+7+9構(gòu)成了5×5的正方形！剛才我們從不同的角度研究了同一個(gè)圖形，找到了兩種不同的算法，一種是5× 5，另一種是1+3+5+7+9，若綜合這兩方面考慮，這兩個(gè)算式之間可以用什么符號(hào)聯(lián)結(jié)？

生：等于號(hào)。（板書：5×5=1+3+5+7+9）

師：大家大膽地想象一下，如果我們?cè)谶@個(gè)正方形的外面再加一層，這個(gè)等式會(huì)怎么變？

生8：6×6=1+3+5+7+9+11。

師：真好！我們?cè)俅竽懙叵胂笠幌?，有一個(gè)正方形的小方格數(shù)可以寫成這樣一個(gè)算式：1+3+5+…+99，那是多少個(gè)小方格的正方形呢？

學(xué)生交流討論。

生9：我們找到了規(guī)律，這個(gè)算式有多少個(gè)加數(shù)，小方格的個(gè)數(shù)就是這個(gè)加數(shù)個(gè)數(shù)的平方數(shù)。100以內(nèi)的奇數(shù)有50個(gè)，這個(gè)正方形的小方格數(shù)就是50× 50！

師：數(shù)學(xué)真奇妙，換個(gè)角度看一看，竟然有了這么多的發(fā)現(xiàn)！同學(xué)們，如果再換個(gè)角度觀察這個(gè)正方形，你還會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行同桌交流。

生10：我們發(fā)現(xiàn)斜著看也很有意思（如圖3），1+2+3+4+5+4+3+2 +1。

師：太棒了！斜著看，誰還有不同的發(fā)現(xiàn)？

生11：斜著看，每次多了1個(gè)小方格，加到5以后，每次又少1個(gè)小方格，5是最大數(shù)，5的左右兩邊是對(duì)稱的。

圖3

師：你們的表現(xiàn)真不錯(cuò)！正因?yàn)檫@種對(duì)稱，才使得這些小方格拼成了一個(gè)5×5的正方形。同學(xué)們大膽地猜想一下，如果這個(gè)最大數(shù)是6呢？1+2+3+4 +5+6+5+4+3+2+1又會(huì)是幾行幾列的正方形呢？

生12：6行6列，有36個(gè)小方格。

師：看樣子，同學(xué)們?cè)跀?shù)與形中找到了規(guī)律?；仡檮偛诺难芯繗v程，我們從兩個(gè)不同的角度研究了同一個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)1+3+5+7+9和1+2+3+4+5+4 +3+2+1都可以表示5行5列的大正方形中小正方形的個(gè)數(shù)。怎么樣？數(shù)學(xué)有意思吧？剛才這些有意思的發(fā)現(xiàn)都源于一個(gè)非常簡單的圖形——正方形。我們都要感謝它！難怪?jǐn)?shù)學(xué)家華羅庚也曾這般感嘆：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合的方法如此之好，不如老師給一個(gè)問題，你們也來體驗(yàn)體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的妙處吧。（課件出示：

生13：分母有規(guī)律呢，后一個(gè)加數(shù)的分母總是前一個(gè)加數(shù)的分母的2倍。

師：嗯，很重要的發(fā)現(xiàn)！

生14：如果通分再計(jì)算的話太難了，肯定有簡便算法的吧？

師：尋求簡便算法是一條很好的思路。問題是，你沒有這類題的解題經(jīng)驗(yàn)的時(shí)候，如何找到這個(gè)方法就顯得特別重要了。華羅庚先生說過這么一個(gè)方法，不知道對(duì)同學(xué)們尋求方法有沒有幫助——我們要善于退，足夠地退，退到原始而不失重要性的地方，退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方。對(duì)這個(gè)問題，我們要退到什么地方比較合適呢？

生15：先計(jì)算兩個(gè)數(shù)相加，然后每次加一個(gè)數(shù)看看。

師：對(duì)，摸著石頭過河，大家試試看吧。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，小組交流、展示。

生16：我是一個(gè)一個(gè)加的，得數(shù)好像有點(diǎn)規(guī)律。

生17：得數(shù)的分子總是比分母少1。

生18：得數(shù)的分母和最后一個(gè)加數(shù)的分母是一樣的。

生19：我知道了，這樣加下去的話，結(jié)果的分母是最后一個(gè)加數(shù)的分母，分子總比分母少1。

生20：我也知道了這道題的結(jié)果

師：這是一個(gè)很有意思的結(jié)果，老師很欣賞大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。我們面臨一個(gè)新的問題時(shí)，尋求解決問題的方法很重要。前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)形結(jié)合的方法，你能找到一個(gè)合適的形表示這個(gè)加法算式的意思嗎？

生21：我用一個(gè)正方形表示的。正方形的一半是

圖4

師：這個(gè)形很生動(dòng)地解釋了這個(gè)結(jié)果。同學(xué)們可以大膽地想象，加的數(shù)越多，這個(gè)結(jié)果越接近1。除了正方形，你還能想到別的形嗎？

生：長方形！圓形！線段！

師：（課件相機(jī)出示，如圖5）有道理！雖然形各不相同，但說明的數(shù)理是一樣的。而且我們不難發(fā)現(xiàn)，像這樣比較復(fù)雜的問題，畫圖的確是個(gè)解決問題的好方法！

圖5

教學(xué)意圖：這一片段的設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合中以形助數(shù)的一般特征和解題優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題中數(shù)與形的溝通，使學(xué)生初步了解了數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，掌握了數(shù)與形進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法，提升了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維的靈活性。

片段二：

師：孩子們，在前面的學(xué)習(xí)中，大家都有了不起的表現(xiàn)。在形的幫助下我們解決了有關(guān)數(shù)的難題（板書：以形助數(shù)）。其實(shí)，數(shù)與形真是一對(duì)好朋友，數(shù)形結(jié)合除了以形助數(shù)外，數(shù)對(duì)形的幫助也同樣重要。這節(jié)課我們一起研究以數(shù)解形（板書：以數(shù)解形）。研究從一道有意思的數(shù)學(xué)題開始。（課件出示圖6）如圖，長方形ABCD被線段EG和FH分割成4個(gè)小長方形，其中長方形BEOF的面積為30平方厘米，長方形CGOF的面積為20平方厘米，長方形DGOH的面積為12平方厘米，求長方形AEOH的面積。

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后同桌交流再匯報(bào)。

生1：我們覺得要求長方形AEOH的面積，就需要找到它的長和寬，但是題目只給了另外幾個(gè)長方形的面積，并且這幾個(gè)長方形的長和寬都沒有確定，我們沒有找到解決問題的辦法。

師：你們雖然沒有找到解決問題的辦法，但清楚地表達(dá)了自己思考問題的過程以及困惑，也不錯(cuò)。

生2：我們覺得面積是30平方厘米的①號(hào)長方形和面積是20平方厘米的②號(hào)長方形有一條公共的邊，這條邊的長度應(yīng)該是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，所以是10厘米，另外兩條邊分別是3厘米、2厘米，而這個(gè)3厘米和2厘米同時(shí)也是④號(hào)長方形和③號(hào)長方形的一條邊長，③號(hào)長方形的另一條邊的長度是6厘米，也是④號(hào)長方形的一條邊長，這樣，④號(hào)長方形的面積就是3×6=18（平方厘米）。（如圖7所示）

師：這位小老師很有范兒，一邊表達(dá)自己組的觀點(diǎn)，一邊用數(shù)描繪了這個(gè)長方形面積的計(jì)算過程，你們對(duì)他的發(fā)言有什么意見嗎？

生3：他講得好像有點(diǎn)道理，但是①號(hào)和②號(hào)長方形的那條公共邊的長度一定是它們的最大公因數(shù)嗎？

師：這問題提得非常有價(jià)值！是啊，如果這條公共邊不是最大公因數(shù)，還有可能是哪些數(shù)呢？

生4：可能是2，也有可能是5！生5：還有可能是1呢！

生6：說不定是個(gè)小數(shù)呢。

師：要不你們各自選一個(gè)可能的數(shù)，算一算④號(hào)長方形的面積吧。

圖6

圖7

學(xué)生獨(dú)立運(yùn)算后交流。

生7：我把①號(hào)和②號(hào)長方形的公共邊看成5厘米，算出④號(hào)長方形的面積仍然是18平方厘米。（如圖8所示）

生8：我把①號(hào)和②號(hào)長方形的公共邊看成2厘米，算出④號(hào)長方形的面積仍然是18平方厘米。（如圖9所示）

師：問題研究到這里，你們有什么疑問嗎？

生9：看上去，只要是已知的3個(gè)長方形的面積不變，邊的長短不影響問題的結(jié)果，這是為什么呢？

師：會(huì)提問題的小朋友一定是最會(huì)思考的！是啊，這是為什么呢？

學(xué)生再一次陷入沉思。

生10：我想，既然邊的長短與問題的結(jié)果沒有關(guān)系的話，我們用字母表示應(yīng)該也可以啊，這個(gè)字母想代表幾都是可以的。

師：你說的有道理，下面我們把OE，OF，OG，OH的長度分別記作a，b，c，d（如圖10所示），算一算這些長方形的面積，你又

發(fā)現(xiàn)了什么？

圖8

圖9

圖10

生11：從圖形中我們可以看出a×b=30（1），b×c=20（2），c×d=12（3），問題是求a×d=？這里的a和d在算式（1）和算式（3）中，而且要算乘積，我們可以把算式（1）和算式（3）乘起來，a×b×c×d=30×12=360，其中b×c是20，那a×d就是360÷ 20=18！

師：多么了不起的研究！用字母表示數(shù)，解開了一個(gè)大謎團(tuán)！事實(shí)上，在一個(gè)乘法算式里，在積不變的情況下，一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大幾倍，另一個(gè)因數(shù)一定會(huì)縮小幾倍。④號(hào)長方形的面積就是由兩個(gè)這樣的因數(shù)相乘得來的，面積難怪總是固定的。

生12：老師，上面的算式（1）和（3）

相乘的結(jié)果就是①號(hào)和③號(hào)長方形的面積的積，是a×b×c×d，其實(shí)②號(hào)和④號(hào)長方形的面積的積也是a×b×c×d！

師：你發(fā)現(xiàn)了對(duì)角線上的兩個(gè)長方形的面積的乘積相等，真了不起！

生13：早知道這樣，我們只要用①號(hào)和③號(hào)長方形的面積之積除以②號(hào)長方形的面積就可以算出④號(hào)長方形的面積了！

師：真是茅塞頓開??！在解決這個(gè)問題的過程中，邊長和面積對(duì)應(yīng)的數(shù)給了我們那么多的啟發(fā)。在這些數(shù)的幫助下，我們深入地研究了這幾個(gè)長方形面積，發(fā)現(xiàn)了這幾個(gè)長方形之間的奇妙聯(lián)系。我們不得不說，數(shù)形結(jié)合百般好?。?/p>

教學(xué)意圖：這一片段的設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合中以數(shù)解形的一般特征和工具性作用，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題中數(shù)與形的溝通。學(xué)生初步了解了數(shù)在對(duì)形的本質(zhì)屬性探究中的意義，認(rèn)識(shí)到相對(duì)于以形助數(shù)的技巧性，以數(shù)解形具有更強(qiáng)的工具性和普遍性。特別值得一提的是，在教學(xué)過程中，教師從學(xué)生思考問題最自然的路徑出發(fā)，滲透了從特殊到一般的思想方法，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的歸納推理過程。

四、不得不說的后話

數(shù)與形的教學(xué)，當(dāng)然要關(guān)注數(shù)形結(jié)合，而數(shù)形結(jié)合離不開以形助數(shù)與以數(shù)解形這兩個(gè)方面。既然作為一個(gè)專題出現(xiàn)在“數(shù)學(xué)廣角”版塊，如果只滲透以形助數(shù)的方法，我們認(rèn)為是不全面的。教師通過對(duì)教材的理解，開發(fā)出能夠體現(xiàn)這兩個(gè)方面的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)方面都有所了解，為后繼學(xué)習(xí)（特別是中學(xué)階段的解析幾何的學(xué)習(xí)）鋪路是很有必要的。為此，我們對(duì)教材作了以下幾方面的處理。

1.教材中的學(xué)習(xí)材料強(qiáng)調(diào)了對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行研究，從不同的角度分析它、計(jì)算它，就可能得到新的結(jié)論（數(shù)學(xué)家富比尼稱之為“算兩次”）。比如，從1開始連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)之和恰好是一個(gè)自然數(shù)的平方。這當(dāng)然是研究問題的重要方法。但問題是，學(xué)生如何理解“為什么要對(duì)同一幅圖算兩次”呢？為了讓學(xué)生思考問題有更自然的路徑，我們補(bǔ)充設(shè)計(jì)了“給一組數(shù)據(jù)找規(guī)律”的問題。學(xué)生在教師的引領(lǐng)下嘗試從不同角度觀察同一圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的奇妙聯(lián)系，然后呈現(xiàn)教材中的幾個(gè)學(xué)習(xí)材料，學(xué)生對(duì)形之于數(shù)的作用就有了深入的理解。

3.片段二的學(xué)習(xí)材料是教材中沒有的，我們之所以利用它來教學(xué)，源于這么幾個(gè)思考。一是這個(gè)材料的確能讓學(xué)生體會(huì)到以數(shù)解形的工具性，隨著學(xué)生假設(shè)的數(shù)據(jù)不斷呈現(xiàn)，規(guī)律慢慢地被揭示。這種發(fā)現(xiàn)的驚喜應(yīng)該是學(xué)生思考獲得的獎(jiǎng)賞。二是這個(gè)材料的選取具有開放性。在對(duì)問題的討論中，當(dāng)結(jié)論集中指向一點(diǎn)時(shí)，學(xué)生在不經(jīng)意間經(jīng)歷了由特殊到一般的歸納推理過程。而在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想與方法是我們一直以來的追求。事實(shí)上，學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中情緒飽滿，始終處于“火熱的數(shù)學(xué)思考”中，課堂也因此成為讓思考發(fā)生的樂園。

數(shù)形結(jié)合在小學(xué)階段更多地表現(xiàn)為以形助數(shù)，用字母表示數(shù)的內(nèi)容較少，故往往難以滿足以數(shù)解形教學(xué)的需要。事實(shí)上，隨著學(xué)生思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)知識(shí)的積累，以數(shù)解形在中學(xué)階段將大放異彩。尤其在學(xué)習(xí)了函數(shù)、解析幾何等知識(shí)后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才真正進(jìn)入以數(shù)解形的快車道。那么，如何讓小學(xué)生體會(huì)到這一點(diǎn)，尋找以幾何內(nèi)容為出發(fā)點(diǎn)，因形尋數(shù)，將直觀的圖形與抽象的代數(shù)語言結(jié)合起來，并容易被小學(xué)生所接受的素材成為我們研究的新問題。（本文系湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題（課題批準(zhǔn)號(hào)：XJK014CZXX041）《以小課題研究促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的研究》的階段性成果）

（執(zhí)筆：王麗燕、謝加文、劉碩鵬、唐紅霞、肖石堅(jiān)、徐旺、李闖）