一種2自由度高速并聯(lián)機(jī)械手的軌跡規(guī)劃方法

王 喆，曾 俠，劉松濤，宋 濤，梅江平

（1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 辰星（天津）自動(dòng)化設(shè)備有限公司技術(shù)部，天津 301701）

一種2自由度高速并聯(lián)機(jī)械手的軌跡規(guī)劃方法

王 喆1，曾 俠1，劉松濤2，宋 濤2，梅江平1

（1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 辰星（天津）自動(dòng)化設(shè)備有限公司技術(shù)部，天津 301701）

以一種平面2自由度高速并聯(lián)機(jī)械手為研究對(duì)象，研究其高速搬運(yùn)作業(yè)的操作空間和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃策略．通過(guò)關(guān)鍵路徑點(diǎn)設(shè)置，定義針對(duì)點(diǎn)到點(diǎn)的典型搬運(yùn)作業(yè)軌跡．針對(duì)操作空間，以運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型為基礎(chǔ)，利用3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)特征（角度、速度和加速度）關(guān)于操作空間運(yùn)動(dòng)特征的函數(shù)映射．針對(duì)關(guān)節(jié)空間，以運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型為基礎(chǔ)，利用5次非均勻B樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立操作空間運(yùn)動(dòng)特征關(guān)于關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)特征的函數(shù)映射．給定相同的關(guān)鍵路徑點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，以一組參數(shù)為例，對(duì)比分析在兩種不同軌跡規(guī)劃方法下末端參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征，并進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．結(jié)果表明：基于5次非均勻B樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃在降低系統(tǒng)功耗和抑制機(jī)構(gòu)殘余振動(dòng)方面具有顯著優(yōu)勢(shì)．

并聯(lián)機(jī)械手；軌跡規(guī)劃；5次非均勻B樣條；殘余振動(dòng)；系統(tǒng)功耗

近年來(lái)為滿足食品、電子、醫(yī)藥和日化等行業(yè)高速搬運(yùn)作業(yè)的需求，一類可以完成高速抓取和放置作業(yè)的并聯(lián)機(jī)械手［1-3］得到學(xué)術(shù)界和工程界的普遍關(guān)注．該類機(jī)械手的伺服驅(qū)動(dòng)裝置可安裝在固定支架上且運(yùn)動(dòng)桿件可采用輕質(zhì)細(xì)桿制作而成，故特別適合實(shí)現(xiàn)平面或空間內(nèi)的高速搬運(yùn)作業(yè)．目前，圍繞該類高速并聯(lián)機(jī)械手的研究主要涉及兩方面內(nèi)容：①性能評(píng)價(jià)［4-5］，研究合理的運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)，評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和控制性能的優(yōu)劣；②尺度綜合［6-7］，以所定義的運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)，研究如何獲得最優(yōu)尺度參數(shù)，充分發(fā)揮機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能．顯然，上述研究均僅從描述機(jī)構(gòu)特性的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，未進(jìn)一步探討機(jī)械手在真實(shí)作業(yè)狀態(tài)下性能的優(yōu)劣．考慮到該類機(jī)械手主要用于高速完成點(diǎn)到點(diǎn)的目標(biāo)物搬運(yùn)作業(yè)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程具有高速和高加速特性，因此評(píng)價(jià)真實(shí)作業(yè)過(guò)程中其性能的優(yōu)劣主要有兩方面：①在保證高速和高加速性能的同時(shí)，是否可以實(shí)現(xiàn)低功耗；②在高速和高加速運(yùn)動(dòng)特性下，是否可以有效降低振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的點(diǎn)到點(diǎn)定位．在利用運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)分析優(yōu)化確定合理的尺度和工作空間參數(shù)后，合理的軌跡規(guī)劃［8］是保證真實(shí)作業(yè)時(shí)機(jī)械手性能優(yōu)劣的關(guān)鍵．然而，目前軌跡規(guī)劃多數(shù)在機(jī)械手的操作空間［9-10］完成，即根據(jù)任務(wù)需求，采用S曲線［11］、修正梯形［12］及正弦等運(yùn)動(dòng)規(guī)律實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃，其缺陷是一般只能實(shí)現(xiàn)2個(gè)路徑點(diǎn)之間的軌跡規(guī)劃，如若需要實(shí)現(xiàn)多個(gè)路徑點(diǎn)之間的連續(xù)軌跡規(guī)劃，需分段插補(bǔ)，會(huì)導(dǎo)致電機(jī)力矩變化不平滑，產(chǎn)生機(jī)構(gòu)振動(dòng)，影響機(jī)構(gòu)定位精度和使用壽命．為解決操作空間軌跡規(guī)劃存在的問(wèn)題，文獻(xiàn)［13］提出了基于修正梯形運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法，其易于實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)和終點(diǎn)的約束，然而對(duì)于有避障需求的軌跡規(guī)劃實(shí)施困難且計(jì)算復(fù)雜．文獻(xiàn)［14-15］采用三次樣條曲線的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法，可以滿足多路徑點(diǎn)規(guī)劃的需要，但是其僅能保證位置、速度和加速度連續(xù)，而不能保證加加速度的連續(xù)．因此，針對(duì)高速并聯(lián)機(jī)械手的真實(shí)作業(yè)需求，研究在保證其真實(shí)作業(yè)性能的前提下實(shí)現(xiàn)低功耗和低振動(dòng)的軌跡規(guī)劃方法，對(duì)于進(jìn)一步提高機(jī)械手運(yùn)動(dòng)性能，推廣其在實(shí)際工程中的應(yīng)用具有重要意義．

本文以天津大學(xué)發(fā)明的2自由度高速并聯(lián)機(jī)械手［16］（以下簡(jiǎn)稱Diamond機(jī)械手）為研究對(duì)象，在Adept Motion（bw=305 mm ，hw=25 mm ，符號(hào)含義見第3節(jié)）軌跡下最快抓取次數(shù)為120次/min．首先，針對(duì)典型的搬運(yùn)作業(yè)需求，設(shè)置關(guān)鍵路徑點(diǎn)，作為軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)．其次，在分析機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解模型的基礎(chǔ)上，一方面，利用3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律，研究操作空間的軌跡規(guī)劃方法；另一方面，利用5次非均勻B樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)律，研究關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法．最后，以一組參數(shù)為例，通過(guò)對(duì)比兩種軌跡規(guī)劃方法下機(jī)械手關(guān)節(jié)空間和操作空間的運(yùn)動(dòng)特征，表明在操作空間開展軌跡規(guī)劃存在的缺陷，并通過(guò)對(duì)比試驗(yàn)，驗(yàn)證基于5次非均勻B樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃在降低功耗和抑制殘留振動(dòng)方面的顯著作用．

1　系統(tǒng)描述

Diamond機(jī)械手（如圖1所示）主體結(jié)構(gòu)由靜平臺(tái)、2條運(yùn)動(dòng)支鏈和動(dòng)平臺(tái)構(gòu)成．每條運(yùn)動(dòng)支鏈均由主動(dòng)臂、從動(dòng)臂、肘架、姿態(tài)保持短桿和姿態(tài)保持長(zhǎng)桿構(gòu)成，各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件間均通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接．利用由主動(dòng)臂、靜平臺(tái)、肘架和姿態(tài)保持短桿構(gòu)成的一組平行四邊形機(jī)構(gòu)與由從動(dòng)臂、動(dòng)平臺(tái)、肘架和姿態(tài)保持長(zhǎng)桿構(gòu)成的一組平行四邊形機(jī)構(gòu)約束動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)的二維平動(dòng)．運(yùn)動(dòng)支鏈中的主動(dòng)臂與減速器輸出端固定連接，且通過(guò)與減速器輸入端固定連接的伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)，使得2條主動(dòng)臂均可完成獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)，從而驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．由于運(yùn)動(dòng)支鏈中的主動(dòng)臂和從動(dòng)臂均可采用輕質(zhì)桿件制作而成，故該機(jī)械手特別適用于完成運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)高速搬運(yùn)作業(yè)．

圖1 Diamond機(jī)械手三維模型Fig.1 3D model of Diamond manipulator

2　運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

Diamond機(jī)械手僅在平面內(nèi)做二維平動(dòng)，故可將原系統(tǒng)簡(jiǎn)化為圖2所示的平面5桿鉸接機(jī)構(gòu)．其中，動(dòng)平臺(tái)被視為質(zhì)點(diǎn)P，在坐標(biāo)系Oxy下點(diǎn)P的位置矢量r=（xy）T可表示為

圖2 Diamond簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic of Diamond

將ui=（（sgni）cosθ11sinθ12）T代入式（2），并整理為三角函數(shù)式，得

根據(jù)機(jī)構(gòu)的裝配模式，化簡(jiǎn)式（3），可得位置逆解模型為

位置正解模型為

根據(jù)式（4）或式（5）可確定wi，即

將式（1）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得

式中：v為參考點(diǎn)P的速度矢量，v =（x.y.）T；θ.1i、θ.2i分別為第i條運(yùn)動(dòng)支鏈中主動(dòng)臂的角速度和從動(dòng)臂的角速度．

將式（8）寫成矩陣形式，可得速度逆解模型為

速度正解模型為

將式（7）關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，得

式中a為點(diǎn)P的加速度矢量．

履行與速度分析相仿的手續(xù)，可得加速度逆解模型為

加速度正解模型為

3　軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃涉及兩方面內(nèi)容：運(yùn)動(dòng)路徑規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)規(guī)律優(yōu)選．根據(jù)機(jī)械手的真實(shí)作業(yè)狀態(tài)設(shè)置其末端通過(guò)的關(guān)鍵路徑點(diǎn)，是進(jìn)行運(yùn)動(dòng)路徑規(guī)劃的前提．因Diamond機(jī)械手主要用于完成點(diǎn)到點(diǎn)的搬運(yùn)作業(yè)，設(shè)置路徑關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)一般有如下考慮：①避開位于路線中的障礙物；②抓放軌跡簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)；③無(wú)不必要的時(shí)間損耗；④相鄰路徑點(diǎn)間過(guò)渡平緩，無(wú)沖擊．

根據(jù)上述考慮，可設(shè)置圖3所示路徑關(guān)鍵點(diǎn)Pi（i=1～7）．坐標(biāo)系O′ x′ y′位于工作空間中，其中x′軸平行于x軸，y′軸與y軸重合，原點(diǎn)O′在Oxy中的坐標(biāo)為（0，hs-H-h），則圖3所示各關(guān)鍵路徑點(diǎn)在Oxy坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為

圖3 關(guān)鍵路徑點(diǎn)設(shè)置Fig.3 Critical path points of trajectory

3.1操作空間軌跡規(guī)劃

在操作空間中，給定運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從單一運(yùn)動(dòng)方向出發(fā)，利用運(yùn)動(dòng)的分解與合成原理，完成軌跡規(guī)劃．圖3所示機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡由上升段—平移段—下降段構(gòu)成．設(shè)定完成上升段/下降段（即沿y軸提升/下降hw）所需時(shí)間為T1，完成平移段（即沿x軸平移bw）所需時(shí)間為T2，為了平滑地由上升段/下降段過(guò)渡到平移段，具體路徑規(guī)劃策略如表1所示．

考慮機(jī)械手真實(shí)作業(yè)呈現(xiàn)頻繁的加減速狀態(tài)且依據(jù)表1所示路徑規(guī)劃策略，選定操作空間運(yùn)動(dòng)規(guī)律為3-4-5次多項(xiàng)式，則任意時(shí)刻沿任意不相關(guān)方向運(yùn)動(dòng)滿足關(guān)系

式中：s（t）、v（t）、a（t）分別為t時(shí)刻目標(biāo)物在規(guī)劃方向上的位移、速度和加速度；T為完成規(guī)劃方向運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間；amax為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大加速度，a=5.7735S/ T2，S為在規(guī)劃方向上的總位移；λ=t/ T ．

表1 路徑規(guī)劃策略-操作空間Tab.1 Path planning strategy-operating space

依據(jù)式（15）和表1，操作空間所規(guī)劃軌跡上各點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的運(yùn)動(dòng)特征見表2和表3．將表2和表3中末端軌跡特征通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型并除以減速機(jī)的減速比即可求得驅(qū)動(dòng)主動(dòng)臂所需的伺服的角位移、角速度和角加速度，將其輸入控制系統(tǒng)中，即可驅(qū)動(dòng)機(jī)械手按照上述運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律完成所需的點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．依據(jù)3-4-5次多項(xiàng)式的特征，P2y、P3x、P5x、P6y為

表2 各軌跡點(diǎn)x向運(yùn)動(dòng)特征Tab.2Movement characteristics of each track point in x direction

表3 各軌跡點(diǎn)y向運(yùn)動(dòng)特征Tab.3Movement characteristics of each track point in y direction

3.2 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

（1）采用累積弦長(zhǎng)參數(shù)化方法對(duì)時(shí)間節(jié)點(diǎn)tj進(jìn)行歸一化，求得5次非均勻B樣條軌跡曲線的定義域節(jié)點(diǎn)向量

其中

（2）由節(jié)點(diǎn)向量U計(jì)算求得5次非均勻B樣條基函數(shù)Nf，5（u）（f=0，1，…，n +9），有

（3）由德布爾遞推公式計(jì)算5次非均勻B樣條曲線上的位置點(diǎn)p（u），即

式中：dε（ε=0，1，…，n +4）為控制頂點(diǎn)；Nτ，5（u）（τ= 0，1，…，n+4）為5次規(guī)范B樣條基函數(shù)．

將曲線定義域［u5，un+5］內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值依次代入方程，得到滿足插值條件的n+1個(gè)方程，即

對(duì)于5次非均勻B樣條曲線，還需增加關(guān)節(jié)起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)速度、加速度4個(gè)邊界條件給定的附加方程，附加方程通過(guò)切矢邊界條件得到，即

聯(lián)立方程（22）和（23）可以求出5次非均勻B樣條的控制頂點(diǎn)dε．

（4）在確定控制頂點(diǎn)dε后，根據(jù)式（19）和（20），則可求出5次非均勻B樣條關(guān)節(jié)插補(bǔ)軌跡任意時(shí)刻的位置、速度、加速度，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型即可求得動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)P的位移、速度和加速度．此外，為了進(jìn)行操作空間與關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法的對(duì)比，依據(jù)圖3關(guān)鍵路徑點(diǎn)設(shè)置與操作空間軌跡的時(shí)間規(guī)劃，在相同時(shí)間內(nèi)進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，故設(shè)定關(guān)節(jié)角位移-時(shí)間序列如表4所示．

表4 關(guān)節(jié)角位移-時(shí)間序列設(shè)定Tab.4 Joint angular displacement-time series set

4　實(shí)例分析

設(shè)定機(jī)械手的尺度參數(shù)、工作空間參數(shù)、關(guān)鍵路徑點(diǎn)參數(shù)［17］如表5所示．

表5 機(jī)械手與工作空間尺度參數(shù)Tab.5 Parameters of manipulator and its workspace m

考慮機(jī)械手的一般工作狀態(tài)，設(shè)定T1=0.1s ，T2=0.2 s ．圖4所示為基于3-4-5次多項(xiàng)式操作空間軌跡規(guī)劃與基于5次非均勻B樣條關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃所得末端參考點(diǎn)P的軌跡對(duì)比．觀察發(fā)現(xiàn)2種軌跡規(guī)劃方法所得到的軌跡近似，因此2種軌跡規(guī)劃方法均可滿足機(jī)械手點(diǎn)到點(diǎn)的搬運(yùn)作業(yè)需求．

圖4 機(jī)械手動(dòng)平臺(tái)軌跡曲線Fig.4 Trajectory curves of manipulator moving platform

圖5 關(guān)節(jié)角度曲線Fig.5 Curves of joint angle

圖5～圖7所示為2種軌跡規(guī)劃方法下關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)特征（角度、速度和加速度）隨時(shí)間的變化情況．觀察易知：①基于3-4-5次多項(xiàng)式的操作空間運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃相比于基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃，其速度峰值增大約35%，加速度峰值增大約45%，即在同等慣性條件下，完成同樣運(yùn)動(dòng)過(guò)程，前者所需功耗更高；②基于3-4-5次多項(xiàng)式的操作空間運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃所得關(guān)節(jié)加速度曲線存在尖點(diǎn)，即導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，易導(dǎo)致機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生振動(dòng)．基于5次非均勻B樣條軌跡規(guī)劃方法得到的關(guān)節(jié)速度和加速度曲線均可導(dǎo)，理論上能夠降低機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的振動(dòng)．為了驗(yàn)證上述分析的正確性，基于表5數(shù)據(jù)開發(fā)出了Diamond機(jī)械手物理樣機(jī)（見圖8），用于進(jìn)行力矩試驗(yàn)和振動(dòng)試驗(yàn)．

圖6 關(guān)節(jié)速度曲線Fig.6 Curves of joint velocity

圖7 關(guān)節(jié)加速度曲線Fig.7 Curves of joint acceleration

圖8 Diamond試驗(yàn)樣機(jī)Fig.8 Diamond experiment prototype

首先，沿機(jī)械手坐標(biāo)系，在其動(dòng)平臺(tái)上固定x向、y向和z向加速度傳感器，利用LMS振動(dòng)測(cè)試儀采集加速度傳感器信號(hào)，利用NI數(shù)據(jù)采集卡由伺服驅(qū)動(dòng)器采集各關(guān)節(jié)電機(jī)力矩信號(hào)．依據(jù)表1所示仿真軌跡參數(shù)設(shè)定，分別利用上述兩種軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行試驗(yàn)，得到伺服電機(jī)力矩曲線和x向、y向、z向加速度傳感器數(shù)據(jù)曲線，分別見圖9和圖10，圖10中左側(cè)虛線為機(jī)械手運(yùn)動(dòng)開始時(shí)刻，右側(cè)虛線為運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)刻．觀察圖9和圖10，可得結(jié)論如下．

（1） 完成相同的運(yùn)動(dòng)，基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法所需驅(qū)動(dòng)力矩值更小，便于在電機(jī)選型時(shí)選用額定力矩較低的電機(jī)，降低功耗且節(jié)省成本，與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析所得結(jié)論相吻合．

（2） 基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的末端各向加速度峰值和振動(dòng)均更低．

圖9 關(guān)節(jié)實(shí)際力矩曲線Fig.9 Curves of joint actual torque

（3） 基于Diamond機(jī)械手z向相對(duì)于x向和y向剛度明顯偏低，因此z向殘余振動(dòng)對(duì)機(jī)械手殘余振動(dòng)的影響遠(yuǎn)大于x向和y向．基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法，圖10（a）、圖10（b）分別顯示x向、y向殘余振動(dòng)降低，圖10（c）顯示z向殘余振動(dòng)降低了37%，．所以該方法在控制機(jī)械手殘余振動(dòng)方面具有明顯優(yōu)勢(shì)．

圖10 各運(yùn)動(dòng)方向加速度曲線Fig.10 Acceleration curves in each moving direction

5　結(jié) 論

（1） 針對(duì)點(diǎn)到點(diǎn)的高速搬運(yùn)作業(yè)，設(shè)定了同時(shí)適用于操作空間和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的關(guān)鍵路徑點(diǎn)，將該類機(jī)械手在不同空間的軌跡規(guī)劃統(tǒng)一在了同一框架下．

（2） 以關(guān)鍵路徑點(diǎn)為基礎(chǔ)，系統(tǒng)研究了該類機(jī)械手操作空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的策略和實(shí)施方法．針對(duì)操作空間，提出了一種基于3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的軌跡規(guī)劃方法；針對(duì)關(guān)節(jié)空間，提出了一種基于5次非均勻B樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)律的軌跡規(guī)劃實(shí)施方法．

（3） 通過(guò)對(duì)比分析和試驗(yàn)表明：基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法在降低機(jī)械手系統(tǒng)功耗、過(guò)程及殘余振動(dòng)方面具有顯著優(yōu)勢(shì)．

［1］ Choi Hee-Byoung，Konno Atsushi，Uchiyama Masaru.Design，implementation，and performance evaluation of a 4DOF parallel robot ［J］. Robotica，2010，28（1）：107-118.

［2］ Chen Zhengsheng，Kong Minxiu，Liu Ming，et al. Dynamic modelling and trajectory tracking of parallel manipulator with flexible link ［J］. International Journal of Advanced Robotic Systems，2013，10（1）：328.

［3］ Yu Yueqing，Du Zhaocai，Yang Jianxin，et al. An experimental sudy on the dynamics of a 3-RRR flexible parallel robot ［J］. IEEE Transactions on Robotics，2011，27（5）：992-997.

［4］ 王殿君，馮玉倩，高錦宏，等. 并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及仿真［J］. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2013（6）：155-157. Wang Dianjun，F(xiàn)eng Yuqian，Gao Jinhong，et al. Parallel robot mechanism and control system design ［J］. Machinery Design & Manufacture，2013（6）：155-157（in Chinese）.

［5］ 胡俊峰，張憲民. 兩自由度高速并聯(lián)機(jī)械手的彈性動(dòng)力學(xué)分析［J］. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，37（11）：123-128. Hu Junfeng，Zhang Xianmin. Elastodynamic analysis of a novel 2-DOF high-speed parallel manipulator［J］. Journal of South China University of Technology：Natural Science Edition，2009，37（11）：123-128（in Chinese）.

［6］ 張利敏，梅江平，趙學(xué)滿，等. Delta機(jī)械手動(dòng)力尺度綜合［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（3）：1-7. Zhang Limin，Mei Jiangping，Zhao Xueman，et al. Dynamic dimensional synthesis of Delta robot ［J］. Journal of Mechanical Engineering，2010，46（3）：1-7（in Chinese）.

［7］ 李玉航，梅江平，劉松濤，等. 一種新型4自由度高速并聯(lián)機(jī)械手動(dòng)力尺度綜合［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014，50（19）：32-40. Li Yuhang，Mei Jiangping，Liu Songtao，et al. Dynamic dimensional synthesis of a 4-DOF high-speed parallel manipulator ［J］. Journal of Mechanical Engineering，2014，50（19）：32-40（in Chinese）.

［8］ Chen Changliang，Hu Shengsun，He Donglin，et al. An approach to the path planning of tube-sphere intersection welds with the robot dedicated to J-groove joints ［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2012，29（4）：41-48.

［9］ 高東強(qiáng)，楊 磊，韓 昆，等. SCARA機(jī)械手的軌跡規(guī)劃及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［J］. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2015（1）：269-272. Gao Dongqiang，Yang Lei，Han Kun，et al. The kinematics analysis and trajectory planning of SCARA manipulator ［J］. Machinery Design & Manufacture，2015（1）：269-272（in Chinese）.

［10］ 林仕高，劉曉麟，歐元賢. 機(jī)械手笛卡爾空間軌跡規(guī)劃研究［J］. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2013（3）：49-52. Lin Shigao，Liu Xiaolin，Ou Yuanxian. The study of trajectory planning of manipulator in Cartesian space ［J］. Machinery Design & Manufacture，2013（3）：49-52（in Chinese）.

［11］ 劉承立，欒 楠. 關(guān)節(jié)空間樣條的連續(xù)點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)規(guī)劃算法［J］. 機(jī)械與電子，2014（8）：74-78. Liu Chengli，Luan Nan. Continuous point-to-point motion planning algorithm based on splines in joint space［J］. Machinery & Electronics，2014（8）：74-78（in Chinese）.

［12］ Fahham H R，F(xiàn)arid M，Khooran M. Time optimal trajectory tracking of redundant planar cable-suspended robots considering both tension and velocity constraints［J］. Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，2010，133（1）：10-19.

［13］ 張 斌. 基于多約束的機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47（21）：1-6. Zhang Bin. Joint-space trajectory planning for robots under multiple constraint ［J］. Journal of Mechanical Engineering，2011，47（21）：1-6（in Chinese）.

［14］ Piazzi A，Visioli A. Global minimum-time trajectory planning of mechanical manipulators using interval analysis ［J］. International Journal of Control，1998，7l（4）：631-652.

［15］ Bazaz S A，Tondu B. Minimum time on-line joint trajectory generator based on low order spline method for industrial manipulators ［J］. Robotics and Autonomous Systems，1999，29（4）：257-268.

［16］ Huang Tian，Li Zhanxian，Li Meng，et al. Conceptual design and dimensional synthesis of a novel 2-DOF translational parallel robot for pick-and-place operations ［J］. Journal of Mechanical Design，2004，126（3）：449-455.

［17］ Huang Tian，Liu Songtao，Mei Jiangping，et al. Optimal design of a 2-DOF pick-and-place parallel robot using dynamic performance indices and angular constraints［J］. Mechanism and Machine Theory，2013，70（6）：246-253.

（責(zé)任編輯：金順愛）

Trajectory Planning Method for a 2-DOF High-Speed Parallel Manipulator

Wang Zhe1，Zeng Xia1，Liu Songtao2，Song Tao2，Mei Jiangping1
（1．School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2．Technical Department，Chenxing（Tianjin）Automation Equipment Limited Company，Tianjin 301701，China）

Taking a 2-DOF translational parallel manipulator as the research object，a space trajectory planning strategy for operating and joint spaces was presented in high-speed handling operations．The typical point-to-point handling operation trajectory was defined through the setting of critical path points．Based on the establishment of the robot inverse kinematics model in operating space，the function mapping of motion characteristics（angle，velocity and acceleration）from operating space to joint space was obtained according to the 3-4-5 polynomial motion law．On the basis of forward kinematics model in joint space，the function mapping of motion characteristics from joint space to operating space was obtained according to quintic non-uniform B-spline motion law．The movement characteristics of the end reference point in two different trajectory planning methods were analyzed under the same critical path points and time．In addition，the comparison experiment was carried out．The result shows that the trajectory planning of joint space based on quintic non-uniform B-spline motion law has significant advantages in reducing the system power consumption and restraining mechanism residual vibration．

parallel manipulator；trajectory planning；quintic non-uniform B-spline；residual vibration；system power consumption

TH112；TP242

A

0493-2137（2016）07-0687-08

10.11784/tdxbz201507100

2015-07-30；

2015-11-03.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51475320）；天津市人才引進(jìn)與科技合作項(xiàng)目（13RCHZGX01118）.

王 喆（1969— ），男，博士，副教授，wzwhm@126.com.

劉松濤，st2060@126.com.

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-11-11. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20151111.1736.004.html.