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    向量暗藏玄機(jī)利用向量確定二面角的大小

    2016-10-31 08:51:40梁仕權(quán)
    新課程(下) 2016年8期
    關(guān)鍵詞:息烽縣棱錐二面角

    梁仕權(quán)

    (貴州省息烽縣第一中學(xué))

    向量暗藏玄機(jī)利用向量確定二面角的大小

    梁仕權(quán)

    (貴州省息烽縣第一中學(xué))

    在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,求二面角是立體幾何的重要組成部分之一。確定二面角的大小是高考的重點(diǎn)。二面角問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為利用法向量夾角求解,它把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。本文將從利用法向量與平面之間的關(guān)系,通過(guò)實(shí)例分析怎樣利用法向量確定二面角大小。在確定二面角大小這一問(wèn)題上,利用向量的基本原理,往往是通過(guò)兩個(gè)半平面的法向量轉(zhuǎn)化為線線直線所成的角的方法可以求二面角大小,并能通過(guò)這種方法有效地解決對(duì)二面角難以求解的問(wèn)題,讓學(xué)生充分體會(huì)到向量法在高中立體幾何中的重要作用。但在求解立體幾何的二面角問(wèn)題時(shí),確定二面角大小,采取的常用方法:在二面角α-I-β內(nèi),設(shè)分別為平面α,β的法向量,則α,β的法向量夾角的余弦值為

    圖1

    二、利用向量法求解二面角的舉例

    例1.如圖2,棱棱P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。

    (1)證明AE垂直于平面PBC。

    (2)求二面角B-EC-D的平面角的余弦。

    在平面ECD內(nèi)取一點(diǎn)D,在平面BCE內(nèi)取B點(diǎn),

    例2.變式如圖2四棱錐P-ABCD的底面是正方形PA垂直平面ABCD。

    證明:無(wú)論四棱錐的高怎么變化,二面角B-PC-D總是大于90°。

    證明:因PA⊥ABCD且底面ABCD為正方形,所以A為原點(diǎn),建立如圖2所示的空間空間坐標(biāo)A-xyz,因底面為正方形ABCD,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)AD=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)

    設(shè)OP=a,(a>0),則P(0,0,a),∵BC⊥AB,PA⊥ABCD,BC⊥平面PAB,過(guò)A作AE垂直于PB,則AE⊥平面PBC,則有為平面PCB的一個(gè)法向量,且在平面PBA內(nèi),根據(jù)題意可設(shè)E(x,0,z)·=(1,0,-a)。

    因D、B分別是平面PBC和平面PCD內(nèi)的點(diǎn),

    李秀蘭.如何用空間向量求解二面角[J].數(shù)量化學(xué)習(xí):高中版,2011(3).

    ·編輯李建軍

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