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    拓展思維,簡潔直觀
    ——向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

    2016-10-31 08:52:51張菁
    新課程(下) 2016年8期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)直觀向量

    張菁

    (江蘇昆山陸家高級(jí)中學(xué))

    拓展思維,簡潔直觀
    ——向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

    張菁

    (江蘇昆山陸家高級(jí)中學(xué))

    向量法作為當(dāng)前全新的解題方法,適用于高中數(shù)學(xué)中多種類型的問題解答,具有較為廣闊的實(shí)際運(yùn)用范圍。其中,包括空間幾何、不等式、代數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),都可將其實(shí)際運(yùn)用。利用向量法解題具備有效提升解題速度、降低題目難度、增強(qiáng)學(xué)習(xí)效率等優(yōu)勢(shì),最大程度上減少對(duì)運(yùn)算能力需求、開闊學(xué)生的思維、拓展解題思路。教師在日常課堂教學(xué)中,需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生利用向量法進(jìn)行各類問題的解決,使其更好地掌握這種全新的解題方法。針對(duì)向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行探討,通過如何妙用向量法進(jìn)行不同類型的問題解答,促使學(xué)生拓展思維,并且簡潔而直觀地解決難題。

    向量法;高中數(shù)學(xué);例題運(yùn)用

    向量法作為如今高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分,利用其可快速進(jìn)行高中空間幾何、代數(shù)等具有較高解答難度的問題分析與解決,可促使學(xué)生有效深入向量知識(shí)之中,更好地掌握其實(shí)際運(yùn)用,也可全面提升學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解題思維與技巧。對(duì)此,就需要針對(duì)高中數(shù)學(xué)向量知識(shí)進(jìn)行更加全面的了解,重點(diǎn)分析向量法在高中空間幾何、平面幾何與三角函數(shù)等知識(shí)與問題的實(shí)際運(yùn)用,借此提升學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)題目的解答與向量知識(shí)的掌握。

    一、高中數(shù)學(xué)向量的基本內(nèi)容和作用

    向量知識(shí)在過去數(shù)百年間一直為無數(shù)物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家的主要研究項(xiàng)目,到了全新的時(shí)代中,向量已經(jīng)成為一項(xiàng)必須的數(shù)學(xué)知識(shí),在我國的數(shù)學(xué)教育歷史中,向量知識(shí)的引入已有數(shù)十年的歷史,這不僅作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的難點(diǎn)與重點(diǎn),也是高考知識(shí)中的一項(xiàng)重要組成部分。

    向量可以表示物體之間的位置所在,而包括立體幾何、空間幾何等知識(shí)的主要內(nèi)容都是針對(duì)物體的位置與形狀進(jìn)行探討,所以,向量知識(shí)也可從幾何學(xué)的角度進(jìn)行思考與學(xué)習(xí)。向量本身是用于描述長度的存在,可通過其進(jìn)行物體的了解,包括其面積、體積、高度、寬度等,這是一項(xiàng)重要的幾何知識(shí)基礎(chǔ)。向量具有方向特性,可利用其表示平面、直線等內(nèi)容的位置關(guān)系。在進(jìn)行代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中,涉及加、減、乘、除的運(yùn)算,也可將向量融入代數(shù)運(yùn)算的過程中,所以向量運(yùn)算可以解決代數(shù)問題。向量本身代表一段具有方向的線段,通過其可進(jìn)行實(shí)際位置的確定。在進(jìn)行幾何問題的解答時(shí),幾何圖形所具備的性質(zhì)、長度與角度的計(jì)算都需要具有方向的線段作為解題基礎(chǔ),同時(shí),針對(duì)角度、直角與三角函數(shù)等內(nèi)容的解答也需要使用向量知識(shí)作為運(yùn)算基礎(chǔ)。因此,使用向量法可以有效提升學(xué)生的解題效率與學(xué)習(xí)興趣,加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握,所以,只有真正掌握向量知識(shí)與其實(shí)際應(yīng)用,才能真正幫助學(xué)生更好地提升數(shù)學(xué)解題能力,不會(huì)在視數(shù)學(xué)為愁苦的科目,而是真正地喜歡上,并愿意為自主學(xué)習(xí)。

    二、向量法在立體幾何中的實(shí)際運(yùn)用

    向量法在立體幾何中的實(shí)際運(yùn)用,與平面幾何中的實(shí)際運(yùn)用方法是相同的,不過需要增加立體幾何的形態(tài)想象,也就是空間想象。這種想象會(huì)促使學(xué)生在進(jìn)行過去的幾何問題解決時(shí)產(chǎn)生一定難度與偏差,對(duì)此,需要通過向量法將立體幾何問題進(jìn)行簡化,降低難度,以便于快速找到問題解決方案。

    舉例:如下圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E作為DD1的中點(diǎn),而C1D1中是否存在F,可以促使B1F//A1BE,并進(jìn)行相應(yīng)的證明及解答。利用向量法進(jìn)行問題的解決。

    證明:利用點(diǎn)A作為坐標(biāo)原點(diǎn),構(gòu)建坐標(biāo)系,假設(shè)正方形的每條棱長為2,可得出A(10,0,2),B(12,0,2),B(2,2,0),E(0,2,1),=(-2,2,1),=(-2,0,2)。假設(shè)面BEA的法向量為=(x,y,

    1z),因此·=-2x+2y+z=0,而·=0。在棱CD中假設(shè)一點(diǎn)

    11

    1100=2x(x-2)+2x=2x[(x-2)+1]=0。因此,x=1,可證明CD中20220011存在點(diǎn)F,即B1F//A1BE。

    三、向量法在三角函數(shù)中的實(shí)際運(yùn)用

    通過向量法在三角函數(shù)中的實(shí)際運(yùn)用,可用其證明三角函數(shù)中正余弦的兩角和與差。

    舉例:假設(shè)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

    證明:假設(shè)(e1,e2)作為平面中的標(biāo)準(zhǔn)正交基,A、B作為平面中的單位向量,A與e1的夾角為α,B與e2的夾角為β,并且α>A向量位于(e1,e2)中的坐標(biāo)為(cosα,sinβ),向量B則位于(e1,e2)中的坐標(biāo)為(cosα,sinβ),則可說明|A|=|B|=1,因此,|A|·|B|·cos(α-β)= cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ可證明,在三角函數(shù)的題目中運(yùn)用向量法進(jìn)行問題的解決,可以令問題更加直觀與簡潔,促使學(xué)生更快更高效地完成題目的解決。

    利用向量法進(jìn)行解題,可增強(qiáng)解題思維與視角多元化,促使題目更加簡潔直觀,令學(xué)生可以在解題中簡化思維過程、最大限度地減少運(yùn)算量,可以說,這正是新課程改革的需要所在,也作為學(xué)生提升自身的重要基礎(chǔ)。同時(shí),向量法可以實(shí)際運(yùn)用的類型不僅限于上述內(nèi)容,也包括三角函數(shù)的正余弦定理、函數(shù)公式等內(nèi)容,都可利用向量法作為解題基礎(chǔ)進(jìn)行證明與解析,對(duì)此,教師更應(yīng)當(dāng)在日常教學(xué)中不斷活用向量法,進(jìn)行更多類型的題目講解與訓(xùn)練,令學(xué)生可以以最佳的狀態(tài)面對(duì)高考,也可減輕平日里學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),是一件真正有益于學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。

    [1]黃丹妹.構(gòu)造向量解一類幾何問題[J].廣西輕工業(yè),2007(6):130,139.

    [2]李紹波,覃羅江.淺議向量在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào),2007(S1):103-106.

    [3]劉八芝.向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].鎮(zhèn)江市高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2003(2):93-95.

    [4]王云華.滲透數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維:淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)新視角[J].學(xué)周刊,2011(19):173.

    [5]梁琳.試論數(shù)學(xué)教學(xué)中的“構(gòu)造向量法”解題[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2006(1):116-117.

    正方體

    ·編輯謝尾合

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