班桂寧,田 甜,王玉琪
(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西南寧 530004)
一類新p-群的自同構(gòu)群的最佳下界
班桂寧,田甜*,王玉琪
(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西南寧530004)
本文得到了中心非循環(huán)且中心商同構(gòu)于p6階第十四家族的新的有限p-群結(jié)構(gòu),運用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明了新群的存在性,特別的,證明了此類群為LA-群。
自同構(gòu)群;階;自由群;LA-群
關(guān)于有限p-群的自同構(gòu)群階的最佳下界,目前并沒有得到最終的解決,但是與其息息相關(guān)的有一個著名的猜想,稱為LA-猜想:設(shè)G為有限非循環(huán)p-群,且稱滿足LA-猜想的群為LA-群。該猜想對于自同構(gòu)群階的最佳下界給出了較好的回答,許多群論學(xué)者也為此做了很多研究。Davitt在文獻(xiàn)[1]中提出滿足中心商小于等于p4的有限非循環(huán)p-群G是LA-群;后來,在文獻(xiàn)[2-7]中很多學(xué)者得到了中心商小于等于p5的有限非循環(huán)p-群G亦是LA-群。本文立足于前人的研究,選取文獻(xiàn)[8]中p6階群中第十四家族進(jìn)行研究,利用亞循環(huán)群的冪結(jié)構(gòu)公式,排除一些不存在群G,使得G/Z(G)?H的p6階群H;然后,給出存在中心商與十四家族群同構(gòu)的新的p-群的結(jié)構(gòu),并利用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明其存在性;最后,運用自同構(gòu)群的階的性質(zhì)證明其是滿足LA-猜想的群,進(jìn)而估算出新群的自同構(gòu)群階的最佳下界。
本文中的p是奇素數(shù),PN-群是非交換的且沒有非平凡交換直積因子的 p-群,文中所給出的a(i,l),kl等參數(shù)如無具體說明均是正整數(shù),符號Φ14(222),Ac(G)等術(shù)語和其他符號都是標(biāo)準(zhǔn)的,詳細(xì)可以參考文獻(xiàn)[8]和[9]。
引理1[1]設(shè)G/Z(G)=,如果群H包含元素h和生成子集S,使得S中的每個元素的某一個相同次冪都等于h,則不存在群G,使得G/Z(G)?H。
引理2[7]設(shè)如果群H中包含元素h和生成子集S,使得S中的每個元素的某一個相同次冪都等于h,則[h,H]=1,h∈Z(G)。引理3[9]設(shè)G是群,a,b,c∈G,則
引理4[8]設(shè)G是群,a,b∈G,且[a,b]∈Z(G),n為正整數(shù),則
根據(jù)上述關(guān)系,利用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明定理中所給的群G是存在的并且滿足其定義關(guān)系。我們分下面兩步進(jìn)行:
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[3]俞曙霞,班桂寧.關(guān)于LA-群的一個定理[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1994,19(1):10-17.
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[7]朱彩鳳.關(guān)于 LA-猜想的若干問題研究[D].南寧:廣西大學(xué),2012.
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(責(zé)任編輯:曾晶)
The Low Boundary of the Automorphism of A Class of New-group
BAN Guining,TIAN Tian*,WANG Yuqi
(School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning 530004,China)
A new finite group was given,whose center is non-cyclic and the central quotient is isomorphic to which order is;then,the existence of the new group was proven by extension theory of group and free group theory;especially,the new group is LA-group was investigated.
automorphism group;order;free group;LA-group
O152.1
A
1000-5269(2016)01-0001-04DOI:10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.01.01
2015-09-27
國家自然科學(xué)基金(61074185);廣西自然科學(xué)基金(0832054)
班桂寧(1962-),男,教授,博士,研究方向:群論,信息安全,控制論,Email:banguining101@sina.com.
田甜,Email:ltnco@sina.com.