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    一類新p-群的自同構(gòu)群的最佳下界

    2016-10-29 00:47:31班桂寧王玉琪
    關(guān)鍵詞:自同構(gòu)廣西大學(xué)下界

    班桂寧,田 甜,王玉琪

    (廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西南寧 530004)

    一類新p-群的自同構(gòu)群的最佳下界

    班桂寧,田甜*,王玉琪

    (廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西南寧530004)

    本文得到了中心非循環(huán)且中心商同構(gòu)于p6階第十四家族的新的有限p-群結(jié)構(gòu),運用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明了新群的存在性,特別的,證明了此類群為LA-群。

    自同構(gòu)群;階;自由群;LA-群

    關(guān)于有限p-群的自同構(gòu)群階的最佳下界,目前并沒有得到最終的解決,但是與其息息相關(guān)的有一個著名的猜想,稱為LA-猜想:設(shè)G為有限非循環(huán)p-群,且稱滿足LA-猜想的群為LA-群。該猜想對于自同構(gòu)群階的最佳下界給出了較好的回答,許多群論學(xué)者也為此做了很多研究。Davitt在文獻(xiàn)[1]中提出滿足中心商小于等于p4的有限非循環(huán)p-群G是LA-群;后來,在文獻(xiàn)[2-7]中很多學(xué)者得到了中心商小于等于p5的有限非循環(huán)p-群G亦是LA-群。本文立足于前人的研究,選取文獻(xiàn)[8]中p6階群中第十四家族進(jìn)行研究,利用亞循環(huán)群的冪結(jié)構(gòu)公式,排除一些不存在群G,使得G/Z(G)?H的p6階群H;然后,給出存在中心商與十四家族群同構(gòu)的新的p-群的結(jié)構(gòu),并利用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明其存在性;最后,運用自同構(gòu)群的階的性質(zhì)證明其是滿足LA-猜想的群,進(jìn)而估算出新群的自同構(gòu)群階的最佳下界。

    本文中的p是奇素數(shù),PN-群是非交換的且沒有非平凡交換直積因子的 p-群,文中所給出的a(i,l),kl等參數(shù)如無具體說明均是正整數(shù),符號Φ14(222),Ac(G)等術(shù)語和其他符號都是標(biāo)準(zhǔn)的,詳細(xì)可以參考文獻(xiàn)[8]和[9]。

    1 相關(guān)引理

    引理1[1]設(shè)G/Z(G)=,如果群H包含元素h和生成子集S,使得S中的每個元素的某一個相同次冪都等于h,則不存在群G,使得G/Z(G)?H。

    引理2[7]設(shè)如果群H中包含元素h和生成子集S,使得S中的每個元素的某一個相同次冪都等于h,則[h,H]=1,h∈Z(G)。引理3[9]設(shè)G是群,a,b,c∈G,則

    引理4[8]設(shè)G是群,a,b∈G,且[a,b]∈Z(G),n為正整數(shù),則

    2 主要結(jié)果

    根據(jù)上述關(guān)系,利用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明定理中所給的群G是存在的并且滿足其定義關(guān)系。我們分下面兩步進(jìn)行:

    [1]Davitt R M.On the automorphism group of a finite p-group with a small central quotient[J].Canadian Journal of Mathematics,1980, 32(5):1168-1176.

    [2]俞曙霞,班桂寧.若干LA-群及相關(guān)定理[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1993,18(1):6-13.

    [3]俞曙霞,班桂寧.關(guān)于LA-群的一個定理[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1994,19(1):10-17.

    [4]俞曙霞,班桂寧.具有中心循環(huán)和小中心商的有限p-群[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1993,18(3):15-23.

    [5]Ban G N,Zhang J S,Yu S X.The lower bound for the order of the automorphism groups[J].Proceeding of the Royal Irish Academy,1996,96A(2):159-167.

    [6]張艷.關(guān)于Davitt一個重要結(jié)論的推廣及相關(guān)研究[D].南寧:廣西大學(xué),2012.

    [7]朱彩鳳.關(guān)于 LA-猜想的若干問題研究[D].南寧:廣西大學(xué),2012.

    [8]James R.The Groups Of Orderp6(pan odd Prime)[J].Mathematics of Computation,1980,34(150):613-637.

    [9]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上、下)[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2011.

    [10]Ban G N,Yu S X.Minimal Abelian groups that are not automorphism groups[J].Archivder Mathematik,1998,70(6):427-434.

    [11]劉海林.若干中心循環(huán)且中心商群的階為p6的LA-群[D].南寧:廣西大學(xué),2014.

    [12]班桂寧,俞曙霞.一類p-群的自同構(gòu)群的階[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1992,35(4):570-574.

    [13]Otto A.Central automorphisms of a finite p-group[J].Duke Mathematical Journal,1966,125:280-287.

    [14]Hummel K G.The order of the automorphism group of a central product[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1975,47:37-40.

    (責(zé)任編輯:曾晶)

    The Low Boundary of the Automorphism of A Class of New-group

    BAN Guining,TIAN Tian*,WANG Yuqi
    (School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning 530004,China)

    A new finite group was given,whose center is non-cyclic and the central quotient is isomorphic to which order is;then,the existence of the new group was proven by extension theory of group and free group theory;especially,the new group is LA-group was investigated.

    automorphism group;order;free group;LA-group

    O152.1

    A

    1000-5269(2016)01-0001-04DOI:10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.01.01

    2015-09-27

    國家自然科學(xué)基金(61074185);廣西自然科學(xué)基金(0832054)

    班桂寧(1962-),男,教授,博士,研究方向:群論,信息安全,控制論,Email:banguining101@sina.com.

    田甜,Email:ltnco@sina.com.

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