排列組合問題的解題技巧與策略

周玉梅

解決排列組合問題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列（有序）還是組合（無序），還是排列與組合混合問題.其次，抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利用兩個基本原則進(jìn)行分類與分步.加法原理的特征是分類解決問題，分類必須滿足類與類必須互斥（不相容），總類必須完備（不遺漏）；乘法原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不干擾并確保連續(xù)性.分類與分步是解決排列組合問題的最基本思想策略.本文就排列組合問題的常用解題技巧與策略，做一例釋.

一、特殊元素的優(yōu)先安排法

對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排.操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先”，有時“位置優(yōu)先”.

例1.用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（ ）

二、相鄰問題的捆綁法

對于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看做一個元素再與其他元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排.

例2.2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）

A.60 B.48 C.42 D.36

解：從3名女生中任取2人“捆”在一起記做A，（A共有6種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記做甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端.則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求），此時共有6×2=12種排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以共有12×4=48種不同排法.

三、不相鄰問題的插空法

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可.

例3：馬路上有編號為1、2、3…9的9盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)兩端的路燈，則滿足要求的關(guān)燈方法有幾種？

解：由于問題中有6盞亮3盞暗，又兩端不可暗，故可在6盞亮的5個間隙中插入3個暗的即可，有種.

四、順序固定問題的選位不排法

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù).或先在總位置中選出順序一定元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列.也可先放好順序一定元素，再一一插入其他元素.

例4：5人參加百米跑，若無同時到達(dá)終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？

六、分排問題的直排法

把n個元素排成若干排的問題，若沒其他的特殊要求，可用統(tǒng)一排成一排的方法處理.

例6：7個人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，則有種排法.

解：7個人，可以在前后兩排隨意就座，沒有其他的限制條件，故兩排可以看成一排處理，所以不同的坐法有.

七、允許重復(fù)排列的住店法

解決允許重復(fù)排列的問題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可重復(fù)，另一類元素不能重復(fù).把不能重復(fù)的元素看著“客”，能重復(fù)的元素看著“店”，再利用分步計數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店法”.

例7：7名學(xué)生爭奪五項冠軍，獲得冠軍的可能種數(shù)是多少種.

解：因同一學(xué)生可同時奪得n項冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將7名學(xué)生看成7家“店”，五項冠軍看成5名“客”，每個客有7種住宿方法，由分步計數(shù)原理得N=八、分配問題的先分堆再排列法

對于不同的元素放入幾個不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于2個元素時，不可分批進(jìn)入，必須先分堆再排入.

例8.將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有？搖？搖 ？搖？搖種（用數(shù)字作答）.