試論導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用

張秀蘭

【摘要】 導(dǎo)數(shù)對(duì)于我們而言并不陌生，因?yàn)樗鼤r(shí)時(shí)刻刻出現(xiàn)在我們的身邊，它對(duì)于我們的實(shí)際生活有著無與倫比的作用，它產(chǎn)生于生活，實(shí)踐于生活.

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù)；實(shí)際問題；利潤最大化

一、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于優(yōu)化解決社會(huì)生活實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注意

第一，看清題意，找出正確的變量，當(dāng)變量數(shù)量多時(shí)，應(yīng)注意理清，寫出正確的關(guān)系式；

第二，看清題意，確定正確的自變量的取值范圍；

第三，一定要根據(jù)問題的實(shí)際情況得到相應(yīng)的結(jié)果，不要答非所問；

第四，要做到具體問題具體分析.

二、導(dǎo)數(shù)實(shí)例分析

（一）怎樣實(shí)現(xiàn)利益最有化

案例1 制作襯衫的公司，其產(chǎn)品的級(jí)別是不一樣的，依據(jù)品質(zhì)可以分為12個(gè)等級(jí)，最次的產(chǎn)品每一件可以獲利12元錢，之后產(chǎn)品的檔次提升一級(jí)，獲利就多出7元錢，但是會(huì)在同樣的時(shí)間里少制作3件，如果時(shí)間是同樣的，最次的產(chǎn)品能夠制成100件. 那么在同樣的時(shí)間里，制作哪個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品獲利最大？有多少？

思維指引 大家平日里常常會(huì)遇到類似于“最大面積”“費(fèi)料最少”“獲利最優(yōu)”“速度最大”“強(qiáng)度最高”等歸類于求算一個(gè)函數(shù)的最值得情況，這時(shí)，通過求導(dǎo)的方式算出函數(shù)的最大或最小值就行，不過計(jì)算時(shí)函數(shù)一定要符合規(guī)定的范圍.

解 設(shè)相同的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第 x（x∈N*，1 ≤ x ≤ 12）標(biāo)準(zhǔn)的襯衫利潤y最大.根據(jù)題意，得

y = [12 + 7（x - 1）][100 - 3（x - 1）] = 25（x + 1）（21 - x）對(duì)其上式求導(dǎo)數(shù)，可解得y′ = 30 × （x - 12），令y′ = 30 × （x - 12） = 0，解得x = 12. 因x = 12∈[1，12]，y 只有一個(gè)極值點(diǎn)，且比較閉區(qū)間上端點(diǎn)兩端的函數(shù)值可知，x = 12是最值點(diǎn)，也就是說，在相同的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第12標(biāo)準(zhǔn)的襯衫利潤最大，最大利潤為3788元.

（二）怎樣使費(fèi)料與用錢最少

案例2 一個(gè)制造易拉罐的工廠，在其產(chǎn)品的容量特定時(shí)，需要如何設(shè)定產(chǎn)品的高、底、半徑，以達(dá)到費(fèi)料最少的目的？

解 我們現(xiàn)在設(shè)該圓柱的高為h，底半徑為R，則易拉罐表面積S = 2πRh + 2πR2.

根據(jù)，V=πR2h，可以得到h = v/πR2，可得S（R） = 2πR/πR2 + 2πR2 = 2RV + 2πR2，對(duì)上式求導(dǎo)可得，S′（R）=4πR - 2πR2 = 0.

解得：h=2R.

由于S（R）的極值是唯一的，因此最小的值是它.

答：要想使用最少的材料，必須讓罐的高和罐底的直徑數(shù)值一樣.

總結(jié) 如果易拉罐的表面面積一定，為S時(shí)，需要如何設(shè)置罐子的高和罐子的底面半徑長，才可以達(dá)到費(fèi)料最少的目的.

案例3 在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？

思路一：設(shè)箱底邊長為x cm，則箱高h(yuǎn) = cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數(shù)：r（x） = x2h= （0 < x < 60），從求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰好是原正方形邊長的，這個(gè)結(jié)論是否具有一般性？

變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個(gè)無蓋的箱子，箱子的高是這個(gè)正方形邊長的幾分之幾時(shí)，箱子容積最大？

提示：V（x） = x（a - 2x）20 < x < .

答案：x = .

評(píng)注 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識(shí)求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及較高的技能技巧. 而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡單，對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，或它們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值. 可見，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.

（三）怎樣用最短的時(shí)間追擊

案例4 小陳在下公交后，發(fā)現(xiàn)有物品丟在車上，這個(gè)時(shí)候車子已經(jīng)在十字路口停下，他追車子的速度是6 m/s，當(dāng)綠燈亮?xí)r，他距車子20 m，車子的速度在增加，為a = 2m/s2，小陳可以趕上車子嗎？如果沒有趕上，那么他距車子最少多少米.

分析 需要利用物理上有關(guān)的位移表達(dá)式創(chuàng)建模型，通過導(dǎo)數(shù)計(jì)算出最值.

設(shè)小陳在t秒后能夠趕上汽車，那么小陳走過的位移為S = at2 = ，結(jié)合題目的內(nèi)容可得，-t2 + 6t = 20，對(duì)其化簡可得，t2 - 10 t + 40 = 0.

由于判別式△ < 0，該方程無解，因此小陳不能趕上汽車. 小陳未能成功趕上汽車，在t秒后，汽車與小陳的相距為：f（t） = s2 + 20 - S1 = at2 t2 - 10t + 40 = 0，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得，t = 8，所以，小陳在t = 8的時(shí)候與車的距離最短，為12米.

總結(jié)，此道題是求追趕時(shí)的最小值，換個(gè)角度，其實(shí)是求算二次函數(shù)的最值. 在運(yùn)算時(shí)，不僅可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)而且通過配方、圖像、頂點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)也可以算出.

結(jié) 論

此文通過列舉人們較為陌生的案例，希望人們重新學(xué)習(xí)與了解使用導(dǎo)數(shù)工具性的范圍.