運(yùn)籌帷幄，培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力

王基合 冷慧穎

數(shù)學(xué)幾何推理與證明的能力是數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要表現(xiàn)，是要求學(xué)生必備的數(shù)學(xué)解題能力. 對(duì)學(xué)生能更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容而如何在幾何課中培養(yǎng)學(xué)生的推理與證明的能力是需要認(rèn)真探索的.

作為教師首先要嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)律，正確運(yùn)用思維形式，作出示范，潛移默化地影響學(xué)生；其次，幾何離不開(kāi)圖，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)圖、畫(huà)圖、分析圖形，正確的把圖形認(rèn)識(shí)清楚，從圖形中找條件和結(jié)論，從而解決實(shí)際問(wèn)題.

一、逐步培養(yǎng)學(xué)生的推理與證明的能力

（一）培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力

主要是通過(guò)幾何初步中直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段、角幾部分的教學(xué)來(lái)培養(yǎng). 要求學(xué)生在搞清概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)圖形直觀能有根據(jù)地作出判斷，如“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”、“兩直線(xiàn)相交，只有一個(gè)交點(diǎn)”等. 學(xué)生從“數(shù)”的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)入對(duì)“形”的研究是有很大變化的，而對(duì)形的學(xué)習(xí)開(kāi)始又接觸較多的概念，學(xué)生難以適應(yīng). 解決的辦法，主要是注意從感性到理性認(rèn)識(shí)，即從感性認(rèn)識(shí)出發(fā)，充分利用幾何的直觀性，再提高到理性認(rèn)識(shí)，從特殊的具體的直觀圖形抽象出一般的本質(zhì)屬性. 并注意用生動(dòng)形象的語(yǔ)言講清基本概念，如在學(xué)過(guò)“角的概念”后，可讓學(xué)生回答：直線(xiàn)是平角嗎？射線(xiàn)是周角嗎？在學(xué)習(xí)“互為余角、互為補(bǔ)角”的概念后，可以問(wèn)：∠α與90° - ∠α互為余角嗎？∠β與180° - ∠β互為補(bǔ)角嗎？并要求用“因?yàn)椤?，所以……，根?jù)……”的模式回答，這能使掌握線(xiàn)與角、角與角的聯(lián)系和區(qū)別的同時(shí)，熟悉推理誰(shuí)論證的日常用語(yǔ)，逐步養(yǎng)成科學(xué)判斷的習(xí)慣.

（二）培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單推理論證的能力

主要是通過(guò)定義、定理、平行線(xiàn)、全等三角形幾部分的教學(xué)來(lái)培養(yǎng)，要求學(xué)生能正確地辨別條件和結(jié)論，掌握證明的步驟和書(shū)寫(xiě)格式. （1）分步寫(xiě)好證明過(guò)程，讓學(xué)生的括號(hào)內(nèi)注明每一步的理由；教師在教學(xué)中要重視它的作用，并強(qiáng)調(diào)推理論證中的每一步都有根據(jù)，每一對(duì)“∵，∴”都是有定義、定理、公理做保證的. 既掌握證明方法步驟和書(shū)寫(xiě)格式，也清楚證題的來(lái)龍去脈和編寫(xiě)意圖. （2）讓學(xué)生論證一些寫(xiě)好了已知、求證并附有圖形的證明題，先是一兩步推理，然后逐漸增加推理的步數(shù)，主要是模仿證明；（3）讓學(xué)生自己寫(xiě)出已知、求證、并自己畫(huà)出圖形來(lái)證明，每步都注明理由. 另外通過(guò)例題、練習(xí)向?qū)W生總結(jié)出推理的規(guī)律，簡(jiǎn)單概括為“從題設(shè)出發(fā)，根據(jù)已學(xué)過(guò)的定義、定理用分析的方法尋求推理的途徑，用綜合的方法寫(xiě)出證明過(guò)程.

（三）培養(yǎng)學(xué)生對(duì)較復(fù)雜證明題的分析能力

要求學(xué)生對(duì)題中的每個(gè)條件，包括求證的內(nèi)容，要一個(gè)一個(gè)地思考，按照定義、公理或定理把已知條件一步步推理，得出新的條件，延伸出盡可能多的條件，避免忽視有些較難找的條件，同時(shí)不要忽視題中的隱含條件，比如圖形中的“對(duì)頂角”、“三角形內(nèi)角和”、“三角形外角”“平角180°”等等. 教師的示范作用是關(guān)鍵的，常給學(xué)生講“我是怎么想的”，鼓勵(lì)學(xué)生多想“我應(yīng)該怎么做”.

二、狠抓幾何語(yǔ)言訓(xùn)練和養(yǎng)成規(guī)范的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣.

語(yǔ)言是思想的直接現(xiàn)實(shí)，每門(mén)學(xué)科都有自己的語(yǔ)言藝術(shù)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言要通過(guò)一些符號(hào)和字母來(lái)表達(dá)，它抽象精確、簡(jiǎn)便，要跨入幾何的大門(mén)，首先就要過(guò)好“語(yǔ)言關(guān)”，要求學(xué)生理解和熟記幾何常用語(yǔ). 幾何教材開(kāi)始就明確地給了一些常用語(yǔ)，如“直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)A”、“直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C”，讓學(xué)生熟記“幾何常用語(yǔ)”，提高他們的口頭表達(dá)能力. 由基本語(yǔ)句畫(huà)出圖形，加深學(xué)生熟記語(yǔ)句，如延長(zhǎng)線(xiàn)段AB到D使BD = AB，在線(xiàn)段AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)C，使AC = AD等等. 將定義、定理等翻譯成符號(hào)語(yǔ)言，并畫(huà)出圖形，符號(hào)語(yǔ)言能將文字語(yǔ)言與圖形結(jié)合起來(lái)，有利于學(xué)生理解幾何概念，也為文字證明打下基礎(chǔ)，如點(diǎn)M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，翻譯成符號(hào)語(yǔ)言：AM = BM或BM = AB或AB = 2AM = 2BM等，也可用填充形式來(lái)訓(xùn)練學(xué)生證題的書(shū)寫(xiě)格式和邏輯推理過(guò)程，使書(shū)寫(xiě)規(guī)范，推理有理有據(jù)，形成規(guī)范的書(shū)寫(xiě)：如延長(zhǎng) 到點(diǎn) ，使 = . 學(xué)生在潛移默化中轉(zhuǎn)入了獨(dú)立書(shū)寫(xiě)的規(guī)范過(guò)程當(dāng)中.

三、教學(xué)中時(shí)刻注意幾何的學(xué)習(xí)方法

幾何概念往往是抽象的，引入概念或定理教學(xué)時(shí)，盡可能從實(shí)際事例、模型或?qū)W生已有的知識(shí)引入，結(jié)合分析圖形的特征得出幾何概念和圖形性質(zhì)，并用文字定義把概念表述出來(lái)，使學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)有實(shí)際模型作基礎(chǔ)，對(duì)概念的理解有幾何圖形作依據(jù)，能夠真正抓住幾何概念所反映的幾何圖形的本質(zhì)屬性. 使用定義時(shí)，運(yùn)用概念進(jìn)行思維或者在口頭上或書(shū)面中表述的時(shí)候，在頭腦中能呈現(xiàn)出相應(yīng)的圖形，以及基本特征，而不是機(jī)械模仿，硬背概念的字句. 幾何定理是解答和論證幾何問(wèn)題的重要依據(jù)，教學(xué)中，除了重視定理的引入和證明外，還特別著重講清怎么樣應(yīng)用定理. 定理研究完畢之后，除正面給學(xué)生舉一些滿(mǎn)足定理的例子外，同時(shí)也給出那些因不具備條件而有適合定理的反例，使學(xué)生懂得定理在各方面的應(yīng)用信息，使其心中有數(shù)才能對(duì)定理運(yùn)用自如. 總之講幾何概念或定理時(shí)，讓學(xué)生多觀察、多思考、多動(dòng)手，千方百計(jì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力.

幾何是一門(mén)邏輯性比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，因此要求學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)風(fēng)與科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生課前預(yù)習(xí)，上課認(rèn)真聽(tīng)講，獨(dú)立思考的習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生先復(fù)習(xí)，后作業(yè)，先審題，找思路，后解題，認(rèn)真完成作業(yè)的良好習(xí)慣. 推理與證明能力的培養(yǎng)并不是完全不可捉摸的，培養(yǎng)學(xué)生推理與證明的能力，要有一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，不能操之過(guò)急，必須有意識(shí)、有計(jì)劃的從簡(jiǎn)單到復(fù)雜循序漸進(jìn)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)推理論證的方法.