內(nèi)含報酬率的求解及多解問題分析

冀聰慧

摘要：內(nèi)含報酬率（IRR）作為投資項目評價的重要指標，應用比較廣泛。傳統(tǒng)求解IRR的方法計算復雜、精確度不高；而財務中常用的軟件Excel操作簡單、結(jié)果準確，但對于多解問題沒有比較普及的求解方法。文章分別介紹了常規(guī)項目和非常規(guī)項目的IRR在Excel中的求解方法，并在非常規(guī)項目IRR的多解問題上，從其經(jīng)濟內(nèi)涵出發(fā)提出了排除方法。

關(guān)鍵詞：內(nèi)含報酬率 Excel 多解問題

中圖分類號：F234 文獻標識碼：A 文章編號：1002-5812（2016）15-0087-02

內(nèi)含報酬率（IRR）是項目投資決策中一個重要的動態(tài)評價指標，將它與資金成本率比較，可以反映出該項目的可行性，相比于一些絕對量指標更能直觀地評價投資項目；另外，內(nèi)含報酬率在不需要基準折現(xiàn)率的情況下就能求解出來，其值的大小不受外部參數(shù)的影響而完全取決于項目本身的現(xiàn)金流量，因此在財務領(lǐng)域被廣泛應用。眾所周知，內(nèi)含報酬率是指投資項目的凈現(xiàn)值等于零時的貼現(xiàn)率，計算公式為：

其中：IRR為內(nèi)含報酬率，CFt為第t年的現(xiàn)金流量，n為項目的存續(xù)期。對于單一的投資方案，若求得的內(nèi)含報酬率高于企業(yè)的資金成本率，則可以接受該投資方案，否則，應該拒絕該投資方案；在進行多個互斥的投資方案決策時，應該選擇內(nèi)含報酬率最大的投資方案。

一、傳統(tǒng)求解方法的缺陷

對于內(nèi)含報酬率的求解，傳統(tǒng)方法為插值法，若要使計算結(jié)果貼近IRR的真值，必須使所取的插值區(qū)間盡可能地小，所以確定插值區(qū)間是插值法的關(guān)鍵。確定插值區(qū)間的一般做法是：當投資項目每年的現(xiàn)金流量相等時，采用“查表法”，計算出投資項目的年金現(xiàn)值系數(shù)，查年金現(xiàn)值系數(shù)表，找出對應的折現(xiàn)率區(qū)間即為插值區(qū)間；當每年的現(xiàn)金流量不相等時，采用“逐次測試法”，通過試誤，找到使凈現(xiàn)值出現(xiàn)一正一負的兩個值。

然而，傳統(tǒng)方法在應用過程中存在明顯的缺陷。其一，在確定插值區(qū)間時，“查表法”要求投資項目每年的現(xiàn)金流量相等，條件苛刻，這樣的投資項目在現(xiàn)實生活中幾乎不存在；若采用“逐次測試法”，計算復雜、手工計算量大，尤其當各期凈現(xiàn)金流的數(shù)量較多時，若第一次測試用的折現(xiàn)率遠離目標利率，還會增加測試工作量。其二，“插值法”本身準確度不高，它是一種“以直代曲，按比例計算”的方法，無法得出準確的值，由于凈現(xiàn)值曲線是與水平線漸近的曲線，確定直線的兩點分別在橫軸的兩側(cè)，所以用“插值法”計算出的內(nèi)含報酬率的近似值大于內(nèi)含報酬率的真實值，這種誤差如果不加以有效控制甚至可能影響決策的正確性，因此要提高內(nèi)部收益率評價的效果和準確性，就要尋求新的計算方法。

二、Excel求解方法

鑒于傳統(tǒng)求解方法的不足，下面對在Excel中求解IRR進行舉例說明：

（一）常規(guī)項目的IRR求解。

例1：假設(shè)某公司將200萬元用于某項六年期的投資，第1—6年的凈現(xiàn)金流量分別為45萬元、50萬元、60萬元、70萬元、65萬元、55萬元。試計算此方案的內(nèi)含報酬率。

1.IRR函數(shù)法。（1）選定一張Excel工作表，在A1—A7單元格依次輸入初始投資額及各年的現(xiàn)金流量，即： -200，45，50，60，70，65，50（注：初始投資額用負數(shù)表示）。（2）在單元格B1輸入“=IRR（A1∶A7）”，并“回車”，即可得到內(nèi)含報酬率的值：16.81%。

2.單變量求解法。（1）選定一張Excel工作表，在單元格A1輸入0，在單元格B1輸入凈現(xiàn)值NPV公式“=NPV（A1，45，50，60，70，65，50）-200”。（2）單擊“數(shù)據(jù)選項卡”→“模擬分析”→“單變量求解”，彈出“單變量求解”對話框。其中，“目標單元格”選擇“B1”，“可變單元格”選擇“A1”，目標值輸入0，點擊“確定”，顯示單變量求解狀態(tài)，當B1單元格值為0時，A1單元格的值16.81%就是解。操作過程如圖1所示。

例1是一個常規(guī)項目，常規(guī)項目是指投資發(fā)生在初期、以后各年發(fā)生連續(xù)的凈現(xiàn)金流入的項目。對于常規(guī)項目來說，IRR最多有一個解；而非常規(guī)項目的現(xiàn)金流符號變化兩次或兩次以上，根據(jù)笛卡爾關(guān)于高次方程的符號規(guī)則：系數(shù)為實數(shù)的高次多項式，其正實根的數(shù)目不會超過其系數(shù)序列符號的變更次數(shù)，當凈現(xiàn)金流量序列有兩次或者多次符號變化時，可能出現(xiàn)多個正值的內(nèi)部收益率，這時按照前面的求解步驟不能求出所有的IRR值，下面對非常規(guī)項目的IRR求解原理進行分析并說明其步驟。

（二）非常規(guī)項目的IRR求解。

例2：某公司初始投資額為900萬元，第1—5年的凈現(xiàn)金流量分別為1 200萬元、987萬元、-1 600萬元、200萬元、100萬元。試計算該項目的內(nèi)部收益率。

1.IRR函數(shù)法。若按前面常規(guī)項目的求解過程操作，得出的解為5.80%，但實際上該現(xiàn)金流序列存在兩個解：5.80%、17.01%。IRR函數(shù)之所以不能求出所有的解是因為它求出IRR的一個解后就返回結(jié)果停止工作，IRR函數(shù)的原型為IRR（Values，[Guess]），其中Guess是對IRR結(jié)果的估計值，默認值為0.01，Excel使用迭代法計算，從Guess=0.01開始，不斷修正計算結(jié)果，找到解后停止；如果IRR運算20次，仍未找到結(jié)果，則返回錯誤值#NUM！。在例2中若要找到另一個解就要改變Guess值，具體步驟為：在IRR函數(shù)中加入?yún)?shù)Guess，將其值從0.01開始逐漸遞加，當加到0.12時，IRR的值變?yōu)?7.01%，此為IRR的第二個解。

2.單變量求解法。在單變量求解法中，具體步驟為：求出第一個解5.80%后，改變A1單元格的初始值為1，再執(zhí)行單變量求解法的第二個步驟，求得IRR為17.01%。因為Excel中的單變量求解，只能得出一解，可以通過改變可變單元格的初始值找到另外的解，可變單元格的初始值在使內(nèi)含報酬率的值有意義的區(qū)間：0—1范圍內(nèi)改變。

三、內(nèi)含報酬率多解問題分析

同時出現(xiàn)多個內(nèi)含報酬率的投資方案，必定是非常規(guī)方案，但并不是每一個非常規(guī)方案都會同時出現(xiàn)多個內(nèi)含報酬率。按照財務管理的理論，如果有一個方案出現(xiàn)了多個IRR而不能排除，則內(nèi)含報酬率不再適用于該投資方案的評價，因此遇到這種情況時有效進行IRR的排除是投資決策中關(guān)鍵的程序。

（一）多解問題的排除原理。通過計算得出的IRR都符合其定義，但是它們并不一定符合內(nèi)含報酬率的經(jīng)濟內(nèi)涵。在非常規(guī)項目中應用內(nèi)含報酬率的公式計算時實際上隱含了再投資假設(shè)，再投資假設(shè)解決的是若存在再投資機會，公司利用較早獲得的現(xiàn)金流入量進行再投資，其投資報酬率至少是多少的問題。觀察內(nèi)含報酬率的公式很容易看出它所假設(shè)的再投資報酬率為內(nèi)含報酬率，這樣，內(nèi)含報酬率法按照內(nèi)含報酬率評估再投資機會，但實際上這種做法欠妥，非常規(guī)項目的凈現(xiàn)金流出現(xiàn)負值很可能是由分期投資或滾動投資造成的，此時合理的貼現(xiàn)率應該是資本成本。在常規(guī)項目中，只存在一個內(nèi)含報酬率，除了初始投資的凈現(xiàn)金流為負，以后各年現(xiàn)金流符號都為正，投資是在整個投資年限末才收回的，因此不存在再投資假設(shè)。對例1來說，其投資回收期內(nèi)現(xiàn)值累計變化計算如表1，在16.81%的內(nèi)含報酬率下，初始投資在1—5年都存在未收回的金額，只有在項目投資期末才完全收回，不存在再投資問題。

筆者認為，要使非常規(guī)項目的內(nèi)含報酬率能客觀評價該項目，就要去除內(nèi)含報酬率計算過程中所隱含的不合理的再投資假設(shè)對結(jié)果的影響，使投資項目中不存在再投資收益率問題，在非常規(guī)項目存在多個內(nèi)部收益率時根據(jù)下述規(guī)則進行排除：按合理的IRR計算，投資項目在整個壽命期內(nèi)必須始終處于投資回收狀態(tài)，各年均存在未收回投資額。也就是說，使投資回收期內(nèi)出現(xiàn)正的累計現(xiàn)值的內(nèi)含報酬率應該被排除掉。當非常規(guī)投資項目有多個正實數(shù)根時，須經(jīng)過檢驗，符合經(jīng)濟涵義的根才是項目的內(nèi)部收益率；如果只有一個正實數(shù)根，同樣需要檢驗。

（二）排除決策舉例。依然沿用例2，根據(jù)兩個內(nèi)含報酬率：5.80%、17.01%計算出的投資回收期內(nèi)各年累計現(xiàn)值變化如表2，可以看出投資項目并非始終處于未回收狀態(tài)，而是在第1年和第2年出現(xiàn)了局部盈余，現(xiàn)值累計為正值，與上述規(guī)則不符，所以5.80%和17.01%不符合投資項目內(nèi)部收益率的經(jīng)濟涵義，可以排除。

四、結(jié)論

對于常規(guī)項目，運用Excel中的IRR函數(shù)法或單變量求解法即可準確簡便地求出內(nèi)含報酬率；對于非常規(guī)項目，仍可在兩種方法的基礎(chǔ)上稍作改動求出它的多個解：IRR函數(shù)法通過不斷修改Guess值求出多解，單變量求解法通過改變可變單元格的初始值求出多解。但是，用Excel求出的非常規(guī)項目的一個或多個IRR不一定符合內(nèi)含報酬率的經(jīng)濟內(nèi)涵，應該去除不合理假設(shè)的再投資報酬率的影響，根據(jù)各年的現(xiàn)值累計有效地進行排除。

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