反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

唐浩月

摘 要：反例和證明推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展， 在數(shù)學(xué)發(fā)展中具有同等重要的作用.利用反例可以發(fā)現(xiàn)原有理論的局限性， 推動(dòng)數(shù)學(xué)向前發(fā)展.在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)反例， 可加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握， 發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤， 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和良好的思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)中的反例，是指符合某個(gè)命題的條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子.說(shuō)得更簡(jiǎn)潔一點(diǎn)，反例就是一種指出某命題不成立的例子.這里，我們討論建立在數(shù)學(xué)上已證實(shí)的理論與邏輯推理基礎(chǔ)上，并且具有一定作用的反例.本文主要從以下幾個(gè)方面闡述反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

第一 通過(guò)反例教學(xué)可加深學(xué)生對(duì)基本概念和定理的理解.

概念是數(shù)學(xué)理論和方法的基礎(chǔ)， 只有準(zhǔn)確地理解和把握概念的內(nèi)涵， 掌握概念的本質(zhì)屬性， 才有可能正確掌握數(shù)學(xué)知識(shí).高等數(shù)學(xué)中具有若干新概念， 而要很好地理解這些新概念， 正面的例子可起到了解熟悉新概念的作用，而反例則可加深對(duì)新概念的理解.

在講授Lagrange 中值定理時(shí)，學(xué)生易將其理解為對(duì)一切可微函數(shù)均有效，其實(shí)它只適用于實(shí)分析.這時(shí)可構(gòu)造如下反例以加深學(xué)生對(duì)Lagrange 中值定理的理解.

例：設(shè) 不難驗(yàn)證 處處連續(xù)而且可微，但找不到一個(gè)區(qū) 在a與b之間存在某個(gè) ，使：

故， 由于不存在正數(shù) ，使得 ，因而矛盾，故式（1）不成立.究其原因是 的值域中含有虛數(shù)元，不屬于Lagrange 中值定理中所指實(shí)函數(shù)范疇.

第二 通過(guò)反例教學(xué)可加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解.

數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容除概念以外， 大量的是定理 性質(zhì)以及他們的應(yīng)用.每一個(gè)定理 性質(zhì)都有它各自成立的條件.講解定理性質(zhì)時(shí)， 必須促使學(xué)生注意這些條件， 理解和掌握他們的實(shí)質(zhì)，為推理論證及應(yīng)用計(jì)算打下良好的基礎(chǔ)， 在這個(gè)環(huán)節(jié)中， 正面的例題可使學(xué)生掌握定理性質(zhì)， 而反例則可加深學(xué)生對(duì)其的本質(zhì)理解， 以防止理解錯(cuò)誤，運(yùn)用不當(dāng).例如在微分中值定理的教學(xué)中， 為使學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握微分中值定理， 必須強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)成立的條件.又如因多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，它必然要保留一元函數(shù)的許多性質(zhì)，但由于自變量增多，也會(huì)產(chǎn)生本質(zhì)上的差別，因此，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的理論時(shí)，既要注意它與一元函數(shù)的聯(lián)系，也要弄清它們之間的本質(zhì)差別，比如學(xué)生在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的關(guān)系時(shí)，容易受到思維定勢(shì)的影響，不注意一元與多元的差異，錯(cuò)誤地把一元函數(shù)中可導(dǎo)必連續(xù)這一結(jié)論搬到多元函數(shù)中來(lái)，但這個(gè)問(wèn)題結(jié)論對(duì)多元函數(shù)是不成立的，為引起重視，可用如下反例加以說(shuō)明.

如 ，由偏導(dǎo)數(shù)定義 而 在 點(diǎn)卻不連續(xù).

又如 在 點(diǎn)連續(xù)，但在 點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在.

第三 通過(guò)反例教學(xué)可可以發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)習(xí)中存在的錯(cuò)誤.

教學(xué)過(guò)程是一個(gè)知識(shí)積累的過(guò)程， 同時(shí)也是不斷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤改正錯(cuò)誤的過(guò)程， 反例在辨析錯(cuò)誤中具有直觀 明顯 說(shuō)明力強(qiáng)等突出特點(diǎn).通過(guò)反例教學(xué)， 不但可以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的錯(cuò)誤和漏洞， 而且可以從反例中修補(bǔ)相關(guān)知識(shí)， 從而獲得正確結(jié)論或解答.在區(qū)分無(wú)界函數(shù)和無(wú)窮大量這兩個(gè)概念時(shí)， 不少學(xué)生認(rèn)為無(wú)界就一定是無(wú)窮大量.而通過(guò)下面的反例即澄清了錯(cuò)誤認(rèn)知.

在學(xué)習(xí)概率論中，同學(xué)們都知道不可能事件的概率為零，但是概率為零的事件不一定是不可能事件.通過(guò)一反例說(shuō)明.

第四 培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力， 通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播和思想方法的熏陶， 使學(xué)生形成良好的思維品質(zhì).這就要注重培養(yǎng)他們思維的靈活性、批判性、 嚴(yán)謹(jǐn)性及廣闊性.而反例在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的這幾個(gè)方面都可起到正面例題所不能起到的作用， 特別是在培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性方面尤為重要.

第五 通過(guò)反例教學(xué)， 可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

巧妙的一個(gè)反例便可否定似乎經(jīng)過(guò)嚴(yán)格“證明”的結(jié)論， 但實(shí)際上， 反例的構(gòu)造并不輕松.構(gòu)造反例并不像證明那樣有清晰可循的邏輯途徑，反而需要更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和勇于創(chuàng)新的能力.一般說(shuō)來(lái)， 許多反例的構(gòu)造并不惟一， 這就從另一方面給學(xué)生提供了培養(yǎng)創(chuàng)造性能力的多種途徑.因此在教學(xué)中， 除教師應(yīng)用反例教學(xué)外， 指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例， 使學(xué)生在構(gòu)造反例的過(guò)程中學(xué)會(huì)創(chuàng)新， 養(yǎng)成勤于探索， 不斷進(jìn)取的良好習(xí)慣.在教學(xué)中， 通過(guò)對(duì)陳題改造或挖掘定理 性質(zhì)的隱含條件以及針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤， 編制涉及構(gòu)造反例的題目，通過(guò)學(xué)生構(gòu)造反例的訓(xùn)練， 達(dá)到培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力的目的.

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)密的學(xué)科，他有自己獨(dú)特的思維方式和邏輯推理體系.在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)注重應(yīng)用反例，不但可使學(xué)生加深理解教材內(nèi)容，明確命題成立條件，克服對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏差，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用反例的能力.數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐證明，通過(guò)反例的列舉，對(duì)于理解概念和對(duì)整個(gè)理論的建立有著重要的借鑒作用，可以使學(xué)生澄清對(duì)某些概念和性質(zhì)的模糊認(rèn)識(shí)，加深理解教材內(nèi)容，搞清命題成立條件，克服對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏差，從而更深刻地理解知識(shí)，思維更加嚴(yán)謹(jǐn).可以這樣說(shuō)，學(xué)好數(shù)學(xué)就必須養(yǎng)成舉反例的習(xí)慣.而一般來(lái)說(shuō)，舉反例比給出證明更需要想像力和創(chuàng)造性.因此，教師在日常教學(xué)中一定要注重應(yīng)用反例教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成舉反例的習(xí)慣，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用反例的能力.在這一系列的過(guò)程中，不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力.