Γ-超半群的(m,n)擬超理想

翟孟麗，顏鳳，謝祥云

（1.五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020；（2.羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育系，廣東 羅定 527200）

Γ-超半群的(m,n)擬超理想

翟孟麗1，顏鳳2，謝祥云1

（1.五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020；（2.羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育系，廣東 羅定 527200）

引入Γ-超半群的(m,n)擬超理想、m-左超理想和一個n-右超理想的概念，給出Γ-超半群任何一個非空子集生成(m,n)擬超理想的生成表示.證明任何(m,n)擬超理想可以分解為一個m-左超理想和一個n-右超理想的交，同時證明Γ-超半群的一個極小(m,n)擬超理想是極小的當(dāng)且僅當(dāng)它是某個極小m-左超理想和某個極小n-右超理想的交.最后給出了(m,n)擬單超Γ-超半群的刻畫.

Γ-超半群；(m,n)擬超理想，m-左超理想，n-右超理想，(m,n)擬單超Γ-超半群

O152.7

A

1　引言與預(yù)備知識

一個滿足結(jié)合律的代數(shù)系統(tǒng)稱為半群，半群代數(shù)理論是在算子理論、拓?fù)鋵W(xué)、概率論等學(xué)科結(jié)合滲透和計算機(jī)科學(xué)的強(qiáng)烈推動發(fā)展起來的，自19世紀(jì)中期開始，許多數(shù)學(xué)家對半群做了深入研究[1-5].1956年，Steifeld給出了半群擬理想的定義[6]，自此引起眾多數(shù)學(xué)家的廣泛研究[7-12].1986年，Sen等將半群的概念泛化，給出了Γ-半群的概念[2].作為一般半群的推廣，半群中的很多重要結(jié)論都能在Γ-半群中找到了類似物[7-9].近十幾年來，越來越多的數(shù)學(xué)家投入到Γ-半群的研究[11-14]，Γ-半群理論不斷得到完善.

隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，超結(jié)構(gòu)思想在這些數(shù)學(xué)領(lǐng)域的交叉發(fā)展中孕育而生.1934年，法國數(shù)學(xué)家F.Marty提出了超結(jié)構(gòu)[15]的概念，作為經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)的泛化.印度數(shù)學(xué)家M.K.Sen則將半群代數(shù)理論和超結(jié)構(gòu)完美結(jié)合，并研究了模糊超半群的相關(guān)理論.1999年，伊朗數(shù)學(xué)家B.Davvaz等在Γ-超半群的基本理論的建立，如Γ-超半群的雙理想、素理想、格林關(guān)系、同余等上做了一些基礎(chǔ)工作[11-14,16-23].1985年，Li Hongxing引入了HX-群[24]，Zhang Zhenliang 在1997年給出了進(jìn)一步的討論[5]，2003年以后詹建明教授的研究團(tuán)隊和筆者團(tuán)隊在超半群，F(xiàn)uzzy超半群，序超半群的理想、同余等上取得了進(jìn)一步的研究成果[19-22].

本文引入Γ-超半群的(m,n)擬超理想、m-左超理想和一個n-右超理想的概念，給出了Γ-超半群任何一個非空子集生成(m,n)擬超理想的生成表示.證明任何(m,n)擬超理想可以分解為一個m-左超理想和一個n-右超理想的交，同時證明Γ-超半群的一個極小(m,n)擬超理想是極小的當(dāng)且僅當(dāng)它是某個極小m-左超理想和某個極小n-右超理想的交.

定義1[15,22]映射°:H×H→P(H)稱為H上的一個超運(yùn)算，其中H是非空集，P*(H)是H的不包含空集的H的所有子集集.如果“°”H上的一個超運(yùn)算，則(H,°)是一個超結(jié)構(gòu).

定義2[18]對超結(jié)構(gòu)(H,°)，若滿足(?x,y,z∈H)(x°y)°z=x°(y°z)，即∪u∈x°yu°z=∪v∈y°zx°v，則(H,°)是一個超半群.

定義3[9]設(shè)S={x,y,z,…}，Γ={α,β,γ,…}是兩個非空集合.集合S是一個Γ-超半群，若S滿足下列條件：

1）(?α∈Γ)(?x,y∈S)xα y?S；

2）(?α,β,γ∈Γ)(?x,y,z∈S)(xα y)βz=xα(yβ z).

設(shè)(S,°)是一個超半群，Γ為一個非空子集.定義映射

容易看出S是一個Γ-超半群.因此一個超半群可以看作為一個Γ-超半群.

簡單起見，對S的任意非空子集A，B，記：AΓB=∪γ∈ΓAγ B=∪{aγ b|a∈A,b∈B,γ∈Γ}；Am=AΓA?！，A0ΓSΓB0=S A0ΓSΓBn=SΓBn，AmΓSΓB0=AmΓ S，A0ΓB=BAΓB0=A，其中m,n為任意的非負(fù)整數(shù).

Γ-超半群S的一個非空子集K是S的子超半群，若滿足KΓK?Κ.Γ-超半群S的一個非空子集I是S的左超理想，若滿足SΓI?I.對偶地，若滿足IΓS?I，則非空子集I稱為S的右超理想.

我們再給一個Γ-超半群的例子.

例1 設(shè)(S,≤)是一個全序集，Γ是S的非空子集合.對于任意的x,y∈S，δ∈Γ，我們定義S上的二元Γ超運(yùn)算如下：xδ y={z∈S|z≤min{x,δ,y}}.則S為一個Γ-超半群.

文中出現(xiàn)但沒有定義的相關(guān)概念詳見文獻(xiàn)[1-18].

2　(m,n)擬超理想

結(jié)合超理想和(m,n)擬理想的概念定義Γ-超半群上的(m,n)擬超理想.

定義4 若對Γ-超半群S的任意一個非空子集Q，有SΓQ∩QΓS?Q，則Q是S的一個擬超理想.

定義5 若對Γ-超半群S的任意一個非空子集Q，有SΓQm∩QnΓS?Q，則Q是S的一個(m,n)擬超理想.

注1：當(dāng)n=1，m=1時，相應(yīng)的(m,n)擬超理想是S的一個擬超理想；對于任意的k≥m和l≥n，若Q是S的一個(m,n)擬超理想，由SΓQk∩QlΓS=SΓQk-mΓQm∩QnΓQl-nΓS?SΓQm?SΓQm∩QnΓS?Q，可得，Q是S的一個(k,l)擬超理想.

例2 設(shè)S=(0,1)是一個實(shí)數(shù)集的開區(qū)間，Γ是非空集合.對于任意的x,y∈S，γ∈Γ，定義S上的二元Γ超運(yùn)算如下：xγ y={xy/2k|0≤k ≤1}.則S為一個Γ-超半群.取Q=(0,1/2).Q是S一個Γ-超子群且為S的(m,n)擬超理想.

定理1 設(shè)A是Γ-超半群S的一個子超半群，Q是S的一個(m,n)擬超理想，若A∩Q≠?，則A∩Q是A的一個(m,n)擬超理想.

證明 由A∩Q≠?和A∩Q?A可得：

則AΓ(A∩Q)m∩(A∩Q)nΓA?A∩Q .因此A∩Q是A的一個(m,n)擬超理想.

定理2 設(shè){Qi}i∈N是S的一個(m,n)擬超理想簇.若∩i∈NQi≠?，則∩i∈NQi是S的一個(m,n)擬超理想.

故有，Q是S的一個(m,n)擬超理想.

例3 定理2中∩i∈NQi≠?是一個必要條件.例如，假設(shè)S=N+，即S是非負(fù)正整數(shù).Qi={k∈N+|k≥i}和Γ={γ}，定義xγ y=x+y+5N+(?x,y∈S).則S是一個Γ-超半群，Qi為N+的一個(2,3)擬超理想，但有∩i∈NQi≠?.

定義6 S的一個(m,n)擬超理想Q是S的一個極小(m,n)擬超理想，若Q不真包含S的任何(m,n)擬超理想.

設(shè)A為Γ-超半群S的一個非空子集，Q(m,n)為S的全體(m,n)擬超理想集，記是S的一個包含A的(m,n)擬超理想}.則由定理2，為S的一個由A生成的(m,n)擬超理想.若A={a}，記(a)q(m,n)=({a})q(m,n)為S的一個由a生成的主(m,n)擬超理想.

進(jìn)而給出由A生成的(m,n)擬超理想的刻畫.

定理3 設(shè)A是Γ-超半群S的一個非空子集，則有

證明 設(shè)Q=(A∪SΓAm)∩(A∪AnΓS).顯然A?Q，因

故Q是S的一個包含A的(m,n)擬超理想.

下證Q是S的包含A的一個極小的(m,n)擬理想，設(shè)Q1是S的包含A的任意一個(m,n)擬超理想，則有

因此A∪(SΓAm∩AnΓ S)?Q1，故(A)q(m,n)=(A∪SΓAm)∩(A∪AnΓS)?Q1，所以，Q是S的包含A的一個極小的(m,n)擬超理想.

注2 當(dāng)n=1，m=1時，相應(yīng)的(m,n)擬超理想是Γ-超半群S一個擬超理想；由QΓQ?SΓQ∩QΓS?Q，可得Γ-超半群S的擬超理想Q是S的子超半群.

3　m-左超理想和n-右超理想

定義7 若對Γ-超半群S的任意一個非空子集A，有SΓAm?A，則A是S的一個m-左超理想.對偶地，若有AnΓS?A，則A是S的一個n-右超理想.

類似定理1的證明，可以得到

定理4 設(shè)S是一個Γ-超半群，則有

i）若{Ai}i∈N是S的一個m-左超理想簇且{Ai}i∈N≠?，則∩i∈NAi是S的一個m-左超理想；

ii）若{Bi}i∈N是S的一個n-左超理想簇且{Bi}i∈N≠?，則∩i∈NBi是是S的一個n-左超理想.S的一個m-左超理想L是S的一個極小m-左超理想，若L不真包含S的任何m-左超理想.

是S的一個包含A的m-左超理想}，則

(A)l(m)=∩L∈L(m)L是S的一個由A生成的m-左超理想.

對偶地，可以得到S的一個由A生成的n-右超理想(A)r(n)的定義.類似定理3的證明，可以得到：

定理5 設(shè)A是Γ-超半群S的一個非空子集，則有

i）(A)l(m)=A∪SΓAm；

定理6 設(shè)A和B分別是Γ-超半群S的m-左超理想和n-右超理想，則A∩B是S的一個的(m,n)擬超理想.

證明 由A和B的性質(zhì)可知，BnΓAm?SΓAm∩BnΓS?A∩B .因此A∩B≠?，且(A∩B)nΓS?BnΓ S?B，SΓ(A∩B)m?SΓAm?A .故有

所以，A∩B是S的一個的(m,n)擬超理想.

推論1 設(shè)S是一個Γ-超半群且a∈S，則下列結(jié)論成立：

i）SΓam是S的一個m-左超理想；

ii）anΓS是S的一個n-右超理想；

iii）SΓam∩anΓS 是S的一個(m,n)擬-超理想.

證明 i）由SΓ(SΓam)m?SΓ(SΓam)?SΓam，可得SΓam是S的一個m-左超理想.

類似的可以得到ii）.由i）和ii）及定理6易知iii）成立.

設(shè)A和B分別是Γ-超半群S的一個m-左超理想和n-右超理想，Q是具有(m,n)交性的，若有Q=A∩B.

定理7 對Γ-超半群S的任意(m,n)擬超理想Q有Q=A∩B，即Q是具有(m,n)交性的.

證明 設(shè)Q是S的任意(m,n)擬超理想，令A(yù)=SΓQm∪Q，B=Q∪QnΓS .則

故A是S的一個m-左超理想.類似地可得，B是S的一個n-右超理想.

由SΓQm∩QnΓ S?Q 可得：

定理8 Γ-超半群S的一個(m,n)擬超理想Q是S的極小(m,n)擬超理想的充分必要條件是Q能表示為S的一個極小m-左超理想A和一個極小n-右超理想B的交.

證明 充分性.設(shè)Q是Γ-超半群S的一個極小(m,n)擬超理想，a∈Q，由推論1可得SΓam、 anΓS和SΓam∩anΓS 分別是S的m-左超理想、n-右超理想和(m,n)擬超理想.

又SΓam∩anΓS?SΓQm∩QnΓ S?Q 且Q是S的極小(m,n)擬超理想，則有SmΓa∩aΓSn=Q .

下證SΓam是S的一個極小m-左超理想.設(shè)A是Γ-超半群S的一個包含于SΓam的m-左超理想，則A∩anΓS?SΓam∩anΓS=Q .又A∩anΓS是S的一個(m,n)擬超理想且Q是極小的，則A∩anΓ S=Q .故得Q?A.又SΓam?SΓQm?SΓAm?A，則A=SΓam.因此，SΓam是S的一個極小m-左超理想.類似地可得anΓS是S的一個極小n-右超理想.

必要性.設(shè)A和B分別是使得Q=A∩B的S的一個極小m-左超理想和極小n-右超理想，則Q?A且Q?B.設(shè)Q1是S的一個包含于Q的一個(m,n)擬-超理想.由推論1可知，和ΓS分別為S的m-左超理想和n-右超理想.又?SΓQm?SΓAm?A 且ΓS?QnΓ S?BnΓS?B，由A和B的極小性可得，=A 且ΓS=B.故由Q=A∩B=∩ΓS?Q1得Q=Q1.因此，Q是S的一個極小(m,n)擬超理想.

注3 并非任何Γ-超半群都包含一個極小(m,n)擬-超理想.例如S=N+，Γ={γ}，xγ y=x+y+ 5N+(?x,y∈S,γ∈Γ)，則S是一個Γ-超半群.若S有一個極小(m,n)擬超理想Q，則Q是一個無限集.設(shè)k是Q中的最小正整數(shù)，顯然Q的真子集Q′=Q{k}是S的一個(m,n)擬超理想.這與Q是Γ-超半群S的極小(m,n)擬超理想矛盾，故S不存在極小(m,n)擬超理想.

定理9 設(shè)S是一個Γ-超半群，則有

i）S的m-左超理想A是極小m-左超理想當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈A，有SΓam=A；

ii）S的n-右超理想B是極小n-右超理想當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈B，有anΓS=B；

iii）S的(m,n)擬超理想Q是極小(m,n)擬-超理想當(dāng)且僅當(dāng)對任意a∈Q，有SΓam∩anΓS=Q .證明 i）充分性.設(shè)SΓam=A，A′是Γ-超半群S的一個包含于A的m-左超理想且x∈A′，則有x∈A且SΓxm=A .又A=SΓxm?SΓA′m?A′，故A=A′.因此A是S的一個極小m-左超理想.

必要性.設(shè)A是S的極小m-左超理想，a∈A，則有SΓam?SΓAm?A，由推論1得，SΓam是S的一個m-左超理想.由A得極小的性得SΓAm=A .

類似可得ii）和iii）成立.

4　(m,n)擬單超Γ-超半群

定義8 Γ-超半群S是(m,n)擬單超Γ-超半群，若S不存在任何非平凡的(m,n)擬超理想.

若S不存在任何非平凡的m-左超理想，則S是m-左單超Γ-超半群.對偶地，可以得到n-右單超Γ-超半群的定義.

定理10 設(shè)S是一個Γ-超半群，則有

i）S是一個m-左單超Γ-超半群當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈S，有SΓam=S .

ii）S是一個n-右單超Γ-超半群當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈S，有SΓam=S.

iii）S是一個(m,n)擬單超Γ-超半群當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈S，有SΓam∩anΓS=S .

證明 i）充分性.設(shè)對任意的a∈S都有SmΓa=S，由定理9 i）可得，SmΓa=S是S的極小m-左超理想.所以，S不存在任何非平凡的m-左超理想，S是一個m-左單超Γ-超半群.

必要性.設(shè)S是一個m-左單超Γ-超半群，則S只有一個m-左超理想S.由定理9 i）可得，對任意的a∈S，有SmΓa=S.

類似可得ii）和iii）成立.

定理11 設(shè)S是一個Γ-超半群，則有

i）若S的一個m-左超理想A是一個m-左單超Γ-超半群，則A是S的一個極小m-左超理想；

ii）若S的一個n-右超理想B是一個n-右單超Γ-超半群，則B是S的一個極小n-右超理想；

iii）若S的一個(m,n)擬超理想Q是一個(m,n)擬單超Γ-超半群，則Q是S的一個極小(m,n)擬超理想；

證明 i）設(shè)A是一個m-左單超Γ-超半群，則由定理9 i）可得，對任意a∈A，有AΓ am=A .又A=AΓam?SΓam?A，則SmΓa=A.故由定理9 i）可得，A是S的一個極小m-左超理想.

類似可得ii）和iii）成立.

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[責(zé)任編輯：韋 韜]

On (m,n) Quasi-hyperideals of Γ-semihypergroups

ZHAI Meng-li1,YAN feng2,XIE Xiang-yun1
(1.School of Mathematics and Computation Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China; 2.Department of Education,Luoding Polytechnic,Luoding 527200,China)

In this paper,we introduce the concepts (m,n) quasi-hyperideals,m-left hyperideals and n-right hyperideals of Γ-semihypergroups.We give the representation theorems of (m,n) quasi-hyperideals by means of any nonempty subset of a Γ-semihypergroup,and we also prove that any (m,n) quasi-hyperideal of Γ-semihypergroups can be expressed as the intersection of a m-left hyperideal and a n-right hyperideal.Moreover,any (m,n) quasi-hyperideal of Γ-semi-hypergroups is minimal if and only if (m,n) it can be expressed as the intersection of a minimal m-left hyperideal and a minimal n-right hyperideal of Γ-semi-hypergroups.Finally,we get the characterizations of (m,n) quasi simple Γ-semi-hypergroups by (m,n) quasi hyperideals.

Γ-semi-hypergroups; (m,n) quasi-hyperideal; m-left hyperideal; n-right hyperideal; (m,n) quasi-simple Γ-semi-hypergroup

1006-7302（2016）01-0001-07

2014-08-12

國家自然科學(xué)基金資助項目（11361027，11271040）；廣東省自然科學(xué)基金資助項目（2014A030313625）；廣東省教育廳省級重大項目（自然科學(xué)類）（2014KZDXM055）.

翟孟麗（1990—），女，河南襄城人，在讀碩士生，主要研究方向為半群的代數(shù)理論.顏鳳，講師，碩士，通信作者，研究方向為模糊代數(shù).