力學(xué)問題和光學(xué)問題的關(guān)聯(lián)：由懸鏈線和海市蜃樓說起

趙　虎，王　棋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京　100875)

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力學(xué)問題和光學(xué)問題的關(guān)聯(lián)：由懸鏈線和海市蜃樓說起

趙虎，王棋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京100875)

首先簡要介紹了懸鏈線和海市蜃樓問題的數(shù)學(xué)模型和傳統(tǒng)解法，隨后討論了如何利用折射定律求解懸鏈線方程和利用拉氏量來描述海市蜃樓的形成.在分析二者之間的數(shù)學(xué)模型相關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，重新強(qiáng)調(diào)了在大學(xué)物理教學(xué)中重視哈密頓原理與費(fèi)馬原理之間密切聯(lián)系的必要性.

懸鏈線；哈密頓原理；海市蜃樓；費(fèi)馬原理

懸鏈線問題曾經(jīng)是經(jīng)典力學(xué)中著名的難題，因伽利略、伯努利等人的推崇而聞名于世；海市蜃樓則是幾何光學(xué)中的一種典型現(xiàn)象，可以用地表附近空氣折射率的變化進(jìn)行理論解釋.乍看起來，二者之間似乎風(fēng)馬牛不相及.本文采取不同常規(guī)的數(shù)學(xué)手段，利用光學(xué)方法解出懸鏈線方程，又利用力學(xué)方法求解海市蜃樓，揭示了隱藏在力學(xué)問題和光學(xué)問題之間的一條“捷徑”.

1　懸鏈問題

懸鏈問題是雅可比·伯努利在1690年提出來的，他的原話是：“現(xiàn)在提出這樣一個(gè)問題：找到一條兩端懸掛于固定點(diǎn)的松弛的弦所形成的曲線.”也就是：一段長度確定的繩子，兩端固定，在重力場下讓其自然下垂，求繩子的曲線方程，我們把這個(gè)曲線方程稱為懸鏈線方程.雅可比·伯努利提出此問題的第二年，萊布尼茲、惠更斯與約翰·伯努利用3種不同的數(shù)學(xué)方法各自得到了正確答案.以下我們給出分析力學(xué)的一般解法.

首先我們考慮一條均勻、柔軟的懸鏈(即線質(zhì)量密度為ρ)，處在豎直方向上的Oxy坐標(biāo)系(即y軸沿重力加速度g的反方向)中，并假設(shè)重力加速度恒定，記在這個(gè)體系中重力勢能零點(diǎn)高度的縱坐標(biāo)為h，則其勢能可以表達(dá)為

W=∫ρg[y(s)+h]ds

(1)

其中y(s)為以曲線弧長s為自變量的函數(shù).將上述公式轉(zhuǎn)化為為橫坐標(biāo)的積分，我們進(jìn)而得到該系統(tǒng)的拉格朗日量為

(2)

上式中y′表示對x求導(dǎo).根據(jù)拉格朗日-歐拉方程

(3)

可以得到懸鏈線方程：

(4)

滿足該方程的懸鏈其勢能最小.

2　海市蜃樓問題

海市蜃樓是光線經(jīng)過密度不均勻的空氣層時(shí)，因折射而不沿直線傳播，軌跡發(fā)生彎曲，把遠(yuǎn)處景物顯示在空中或地面的一種光學(xué)現(xiàn)象.在文獻(xiàn)[1]中，曾經(jīng)刊登過用線性變折射率模型解釋海市蜃樓[1]的文章，作者假設(shè)地面附近大氣折射率隨高度y線性地變化，即有

n=n0(1-ky)

(5)

(6)

將式(5)代入式(6)可以得到海市蜃樓滿足的光線方程：

(7)

3　利用折射定律求解懸鏈線方程

密度為ρ的懸鏈線系統(tǒng)的拉氏量為

(8)

n(x)=y(x)+h

(9)

圖1　懸鏈線模型

現(xiàn)在我們假設(shè)懸鏈線上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)兩段的無窮小區(qū)域內(nèi)的情況如圖2所示，等效為折射現(xiàn)象，

圖2　　懸鏈線的光學(xué)求解模型

記入射角與折射角分別為θ1與θ2，由圖2可得：

(10)

容易驗(yàn)證此微分方程的解即為雙曲余弦函數(shù)解.

4　海市蜃樓問題的力學(xué)方法求解

根據(jù)折射定律，入射光線與折射光線處在同一平面內(nèi).因而可以直接考慮空氣折射率函數(shù)在一個(gè)平面內(nèi)變化的情形.設(shè)大氣對光的折射率為

N(x，y，t)=n(x，y)T(t)

(11)

當(dāng)形成持續(xù)的、較為穩(wěn)定的海市蜃樓現(xiàn)象時(shí)，大氣的折射率變化范圍很小，可以忽略不計(jì)，因此折射率函數(shù)中的時(shí)間演化項(xiàng)可以表達(dá)為一個(gè)常數(shù)，為了與此前的推導(dǎo)保持一致，我們把這個(gè)常數(shù)記為1/c.

在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy，其中x軸沿水平方向，y軸沿豎直向上方向.此時(shí)，上式應(yīng)被寫作

當(dāng)我們準(zhǔn)備將一個(gè)光學(xué)問題轉(zhuǎn)化為力學(xué)問題來求解時(shí)，為了直觀上更容易讓人接受，設(shè)想這樣一種場景：一條均勻的懸鏈處在一個(gè)力場中，懸鏈微元所受到的力在空間中的變化函數(shù)可以用f(x，y)來表示，懸鏈兩端固定，求解懸鏈在力場中的形狀函數(shù).

由上文的設(shè)定可知，系統(tǒng)的等效拉氏量L為坐標(biāo)與速度的函數(shù)，此時(shí)光程即可理解為系統(tǒng)的等效勢能，滿足最小等效勢能的軌跡即滿足最短光程.為了簡化計(jì)算過程，把勢能表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)等效到力場函數(shù)內(nèi)，繼續(xù)用y(x)表示懸鏈的曲線軌跡函數(shù).這樣，系統(tǒng)勢能表達(dá)式可以寫作

(12)

等效拉氏量為

(13)

寫出系統(tǒng)的拉格朗日-歐拉方程[2]：

(14)

因此只要給定了力場函數(shù)f(x，y)的形式我們就可以求出懸鏈的曲線形狀函數(shù)，從而得到光線傳播軌跡的曲線方程.

根據(jù)重力勢能隨高度y變化的規(guī)律，在考慮遠(yuǎn)距離光線傳播途中重力的變化時(shí)，我們可以假設(shè)力場函數(shù)為

(15)

這里的n0為稠密空氣的折射率，即，當(dāng)r→∞時(shí)，n0=1，因而n0為y=0處空氣的折射率.

此時(shí)系統(tǒng)的等效拉氏量為

(16)

整理得到系統(tǒng)的歐拉-朗格朗日方程為

(17)

結(jié)合物理意義得到方程可能的解為

(18)

令r=2，C1=1，得到滿足等效最小勢能函數(shù)的光線傳播路徑如圖3所示.

圖3　折射率(力場函數(shù))隨高度y變化時(shí)的拉氏方程解

一般情況下我們需要考慮溫度、高度對折射率的影響，假設(shè)大氣在局部區(qū)域內(nèi)處于一個(gè)熱平衡狀態(tài)時(shí)，則空氣的密度隨高度的變化滿足玻爾茲曼分布.設(shè)地面處空氣的密度為ρ0，高度為y處空氣密度為

ρ=ρ0e-Mgy/RT

(19)

其中M為空氣的平均摩爾質(zhì)量，R為普適氣體常量，且R=8.314 J/(mol·K)，g為重力加速度(在這里我們不考慮重力加速度隨高度的變化)，T為高度y處的溫度.由此我們可以設(shè)力場函數(shù)為

f=n0e-Mgy/RT

(20)

寫出系統(tǒng)的拉氏量為

(21)

(22)

令t=1、2、3，C1=0，C2=1，可以得到隨著溫度和摩爾質(zhì)量的比值變化時(shí)滿足拉格朗日-歐拉方程的光線傳播路徑如圖4所示.

圖4　不同t取值下光傳播路線圖

圖4中的幾條曲線分別表示給t賦值不同時(shí)所得到的函數(shù)圖像，越下邊的曲線所對應(yīng)的t值越大，當(dāng)光線傳播的起始點(diǎn)與結(jié)束點(diǎn)確定時(shí)總的傳播路徑長度也越短，光線在傳播過程中由于吸收與散射所造成的損失也就越小；同時(shí)光線傳播所經(jīng)過的高度變化也越小，這樣的情況更符合我們在計(jì)算中所做的假設(shè)——不考慮重力加速度隨高度的變化.這就說明了在溫度越高、水汽越重的地方(水汽重的地方大氣的平均分子質(zhì)量較大)越容易出現(xiàn)海市蜃樓.

5　懸鏈和海市蜃樓問題的數(shù)學(xué)模型對比

對于懸掛于A、B長度為L密度為ρ的勻質(zhì)懸鏈線，通過變分法使其重力勢能最小，即

(23)

比較式(4)和式(23)，我們可以清楚地得到二者的數(shù)學(xué)模型具有一致性.

6　總結(jié)：重溫哈密頓原理與費(fèi)馬原理的內(nèi)在聯(lián)系

通過以上對于懸鏈線和海市蜃樓問題的討論，我們可以清楚地看到靜力學(xué)問題和光學(xué)問題的在數(shù)學(xué)模型上的相似性，進(jìn)一步加深對于哈密頓-拉格朗日原理和費(fèi)馬原理存在緊密聯(lián)系的認(rèn)識(shí).追述物理學(xué)的發(fā)展歷史，很多杰出的物理學(xué)家都非常敏銳地認(rèn)識(shí)到了這點(diǎn)并由此發(fā)展出了卓越的理論，他們其中的代表人物就是薛定諤[3]和費(fèi)恩曼，薛定諤方程和路徑積分理論就是這兩大原理相互融合后的結(jié)晶.

由于目前物理領(lǐng)域的精細(xì)劃分，不少教科書往往注重以專業(yè)領(lǐng)域來區(qū)分和描述相應(yīng)的模型，比如在光學(xué)中僅僅會(huì)提到費(fèi)馬原理，而在理論力學(xué)中介紹哈密頓-拉格朗日原理時(shí)，較少甚至完全沒有提及費(fèi)馬原理.同樣不少教師也往往會(huì)忽略這兩種原理之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，

本文通過懸鏈線和海市蜃樓問題求解過程的對照，揭示了不同表象的物理問題可以有相同的數(shù)學(xué)模型來解釋，希望藉此能夠喚起大家在教學(xué)時(shí)對于物理學(xué)基本理論及內(nèi)在關(guān)聯(lián)的重視.

[1]王忠純. 用線性變折射率模型解釋海市蜃樓[J]. 大學(xué)物理， 2001，20 (9): 24-27.

[2]盧圣治，管靖.理論力學(xué)基本教程[M].2版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007: 60-77.

[3]E·薛定諤.薛定諤講演錄[M].范岱年，胡新和，譯.北京：北京大學(xué)出版社，2007：25-88.

The connections between optical and mechanical problems:by talking about catenary and mirage

ZHAO Hu， WANG Qi

(Department of Physics， Beijing Normal University， Beijing 100875， China)

. The mathematical model and conventional solution of catenary and mirage are briefly introduced at first.Then,the catenary equation is discussed in terms of Snell’s Law，and the forming of a mirage is described on the basis of Lagrangian. Based on the analysis of the relations between these two mathematical models,the value of the connections between Hamilton’s principle and Fermat’s principle is re-emphasized for the physics education at university.

2015-11-18；

2016-01-04

趙虎(1969—)，男，河北景縣人，北京師范大學(xué)物理系副教授，博士，主要從事基礎(chǔ)物理教學(xué)和多體理論研究工作.

O 316;O 435

A

1000- 0712(2016)08- 0025- 04