時(shí)空對(duì)稱性與守恒律(下篇)
——經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)

趙凱華

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京　100871)

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時(shí)空對(duì)稱性與守恒律(下篇)
——經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)

趙凱華

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京100871)

本文從時(shí)空對(duì)稱性導(dǎo)出經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中能量、動(dòng)量、角動(dòng)量三大守恒定律.

時(shí)空對(duì)稱性； 參考系； 守恒定律

內(nèi)特(E.N?ther)宣稱, 一種對(duì)稱性決定一條守恒律. 在本文上篇里[1]我們?cè)谂ｎD力學(xué)的框架內(nèi)從時(shí)空對(duì)稱性導(dǎo)出了能量、動(dòng)量、角動(dòng)量三大守恒定律.在那里，時(shí)空性質(zhì)由外場(chǎng)表示.本篇將討論電磁場(chǎng)和帶電粒子系統(tǒng)的守恒定律與時(shí)空對(duì)稱性的關(guān)系問(wèn)題. 經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的時(shí)空是閔可夫斯基的平直時(shí)空，具有平移、 轉(zhuǎn)動(dòng)等全部對(duì)稱性， 三大守恒定律都成立.要討論時(shí)空對(duì)稱性對(duì)守恒律的影響，需要假設(shè)時(shí)空度規(guī)對(duì)閔可夫斯基度規(guī)有所偏離.廣義相對(duì)論原理宣稱，物質(zhì)通過(guò)引力方程告訴時(shí)空怎樣彎曲，時(shí)空通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程告訴物質(zhì)怎樣運(yùn)動(dòng).即時(shí)空度規(guī)由物質(zhì)決定，又反過(guò)來(lái)控制物質(zhì)的運(yùn)動(dòng). 然而我們可以考慮宇宙中一個(gè)小系統(tǒng)，它本身對(duì)時(shí)空度規(guī)的影響可忽略不計(jì)，時(shí)空度規(guī)對(duì)閔可夫斯基度規(guī)的偏離完全由外部物質(zhì)決定. 這與我們的上篇里把時(shí)空性質(zhì)由外場(chǎng)表示的做法是一致的，在弱引力場(chǎng)的極限下時(shí)空度規(guī)的影響就表現(xiàn)為牛頓力學(xué)中的外場(chǎng).

1　基本方程

討論電磁系統(tǒng)的能量、動(dòng)量和角動(dòng)量的基礎(chǔ)是帶電粒子運(yùn)動(dòng)方程和電磁場(chǎng)的電動(dòng)力學(xué)方程.而時(shí)空的對(duì)稱性要用度規(guī)來(lái)描述.平直時(shí)空的閔可夫斯基度規(guī)是平庸的，在非平庸度規(guī)下寫出粒子運(yùn)動(dòng)方程和麥克斯韋方程，要靠廣義相對(duì)論. 廣義相對(duì)論的方程式都比較抽象，我們?cè)谝欢ǖ臈l件下將它們具體化，使之更接近我們通常熟悉的形式.這段工作主要依據(jù)的是朗道的《場(chǎng)論》書[2]，由于推導(dǎo)較長(zhǎng)，我們將它放在本文附錄里， 此處只把結(jié)果羅列出來(lái).

1.1在彎曲時(shí)空中守恒律公式的形式

設(shè)w是某個(gè)守恒量的密度， φ是其流密度， 則其守恒律應(yīng)具有如下微分形式：

(1)

式中γ是三維度規(guī)張量γαβ的行列式. 式(1)第二項(xiàng)是散度▽·φ.[散度的分量形式見附錄式(A.15).](如果守恒量是矢量， 則其流為張量.)若在三維空間里取一塊體積V做體積分，則體元為

(2)

(3)

(4)

Φ是單位時(shí)間里流出體積V表面S的該守恒量. 綜上所述，守恒律的積分形式表達(dá)成

(5)

1.2麥克斯韋方程[見附錄式(A.19)、(A.20)、(A.26)、(A.27).]

(按照朗道的《場(chǎng)論》書我們沿用高斯單位制. ) 式中的δ函數(shù)是密度函數(shù)，因?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)帶電粒子都是點(diǎn)粒子， 它們的密度表達(dá)式為[見附錄式(A.21)、(A.25).]

(10)

(11)

式中qa和ra分別是粒子a的電荷和位矢. 在下面討論的力學(xué)問(wèn)題中我們還需要質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度的概念:

(12)

(13)

此外， D和E、 B與H的關(guān)系如下[見附錄式(A.28)、(A.29)]：

D=G·E, B=G·H.

(14)

這里 G 是個(gè)張量， 其分量為

(15)

有關(guān)力學(xué)的方程我們將在下面各節(jié)用到時(shí)再引入.

2　時(shí)間平移不變與能量守恒定律

我們的出發(fā)點(diǎn)是帶電粒子在電磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)方程的時(shí)間分量.附錄中已將它導(dǎo)出[見式(A.44)]:

(16)

(17)

兩邊對(duì)a求和， 我們得到

(18)

(19)

wmech代表機(jī)械能密度, Smech代表機(jī)械能流密度. 于是

(20)

現(xiàn)在察看式(18)的右端. 因γ不顯含t：

(21)

上式右端第二項(xiàng)

而第三項(xiàng)

最后式(18)右端方括號(hào)里各項(xiàng)化為

(22)

(23)

(24)

wEM可詮釋為電磁場(chǎng)的能量密度， SEM相當(dāng)于坡印亭矢量，即電磁場(chǎng)的能流密度. 于是

(25)

左右端聯(lián)合，式(18)最后可以寫成

(26)

此式具有標(biāo)準(zhǔn)的守恒定律形式： 時(shí)導(dǎo)項(xiàng)加散度項(xiàng). 若寫成積分形式，時(shí)導(dǎo)項(xiàng)化為體積分的時(shí)導(dǎo)，代表在該體積內(nèi)某守恒量的時(shí)間變化率，散度項(xiàng)可利用高斯定理化為面積分，代表從該體積表面流出的此守恒量.式(26)很好的表達(dá)了由荷電物質(zhì)與電磁場(chǎng)組成的整個(gè)系統(tǒng)的能量守恒定律.

3　空間平移不變與動(dòng)量守恒定律

現(xiàn)在的出發(fā)點(diǎn)是帶電粒子在電磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)方程的空間分量[見式(A.45)]:

(27)

(28)

其中全部是度規(guī)對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)， 也等于0, 所以式(27)只剩下左右端各一項(xiàng).

(29)

(30)

我們得到

(31)

(32)

(33)

下面我們來(lái)改造式(31)的右端. 這里要用到兩個(gè)矢量恒等式.(這兩個(gè)公式都涉及并矢張量，通常不大見到.可采用分量形式的運(yùn)算來(lái)直接驗(yàn)證.)

(▽·D)E=▽·(DE)-(D·▽)E,

(34)

(D·▽)E+D×(▽× E)=(▽E)·D,

(35)

兩式結(jié)合起來(lái)，我們有

(▽·D)E=▽·(DE)+D×(▽× E)-(▽E)·D.

(36)

現(xiàn)在看上式右端最后一項(xiàng). 這里涉及并矢張量，我們采用分量形式來(lái)運(yùn)算.按照愛(ài)因斯坦約定，重復(fù)的傀標(biāo)意味著求和.(▽E)·D的α分量

(37)

上式最右端是矢量(▽D)·E的α分量. 這里用到了Gμν不顯含r和度規(guī)矩陣的對(duì)稱性質(zhì).上面這段推導(dǎo)表明

(38)

將式(38)代入式(35)，再將結(jié)果代入式(34)，我們得到

(39)

同理可得有關(guān)磁場(chǎng)的對(duì)應(yīng)公式：

(40)

對(duì)于電場(chǎng)， 將麥克斯韋方程式(7)代入式(39)得

(41)

對(duì)于磁場(chǎng)將▽·B=0代入式(40)得

(42)

將式(42)和式(43)代入式(32)，得

(43)

其中兩項(xiàng)

其協(xié)變?chǔ)练至繛閇矢量矢積的分量形式，見附錄式(A.14).]

式(43)中其余各項(xiàng)可歸并為一個(gè)張量T的散度：

(44)

(45)

T相當(dāng)于麥克斯韋脅強(qiáng)張量. 于是式(43)或者說(shuō)式(31)右端可以寫成

(46)

(47)

pEM可詮釋為電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度， FEM為電磁場(chǎng)的動(dòng)量流密度. 將式(31)左右端聯(lián)合起來(lái)，有

(48)

式(48)表達(dá)了由荷電物質(zhì)與電磁場(chǎng)組成的整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定律.

4　空間各向同性與角動(dòng)量守恒定律

本節(jié)中我們假定空間具有旋轉(zhuǎn)不變性.在沒(méi)有空間平移不變性的條件下轉(zhuǎn)動(dòng)不變性只能是對(duì)一個(gè)特定點(diǎn)O而言的，對(duì)于此點(diǎn)空間具有球?qū)ΨQ性. 我們?nèi)〈它c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，位矢r是從這點(diǎn)出發(fā)的，角動(dòng)量也是對(duì)此點(diǎn)而言的.此時(shí)真空介電張量退化為標(biāo)量： G={G(r,t)δαβ}， 與r的方向無(wú)關(guān),γ和g00也是如此.

仍從式(27)出發(fā), 從左邊以位矢r叉乘整個(gè)公式：

(49)

(50)

在空間球?qū)ΨQ時(shí)有可能選一種各向同性笛卡兒坐標(biāo)系[文獻(xiàn)[2], p.339]，在其中度規(guī)的空間分量gαβ是對(duì)角的, 且對(duì)角元都相等：

(51)

這樣一來(lái)，

(52)

上式括弧里第一項(xiàng)與第三項(xiàng)相消， 是因?yàn)樗鼈兊牟顒e只是傀標(biāo)不同.從式(52)可以看出， 矢量Γ正比于梯度▽g?， r×▽g?=0, r×Γ=0, 式(49)左端第三項(xiàng)消失.

(53)

故

(54)

式(53)左右兩端對(duì)a求和， 并在右端用相應(yīng)的麥克斯韋方程式將密度函數(shù)替換成電磁場(chǎng)量的導(dǎo)數(shù)，得

(55)

令

(56)

(57)

現(xiàn)在考慮式(55)右端. 再次利用恒等式(34)， 以r叉乘它：

(58)

先看上式右端第一項(xiàng):

故

(59)

現(xiàn)在看式(58)右端第三項(xiàng):

末項(xiàng)為0的理由是各向同性空間的▽G平行于r. 根據(jù)上式我們有

(60)

將式(59)和式(60)代入式(58)， 得

(61)

同理可得有關(guān)磁場(chǎng)的對(duì)應(yīng)公式：

(62)

對(duì)于電場(chǎng)， 麥克斯韋方程式(7)將式(61)改寫為

(63)

對(duì)于磁場(chǎng)，麥克斯韋方程▽·B=0 將式(62)改寫為

(64)

將式(63)和式(64)代入式(55)，得

(65)

(66)

令

(67)

(68)

這里L(fēng)EM是電磁場(chǎng)的角動(dòng)量密度， QEM應(yīng)詮釋為電磁場(chǎng)的角動(dòng)量流密度.

最后， 將式(55)左右端聯(lián)合起來(lái)，我們得到

(69)

式(69)表達(dá)了由荷電物質(zhì)與電磁場(chǎng)組成的整個(gè)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律.

5　一點(diǎn)評(píng)注

以上的推導(dǎo)沒(méi)有做任何近似. 實(shí)際上，除了在致密星體附近引力場(chǎng)都是很弱的.在最低級(jí)的近似下

(70)

(71)

上式括弧里第一項(xiàng)是靜質(zhì)能，第二項(xiàng)是動(dòng)能，第三項(xiàng)是引力勢(shì)能. 機(jī)械能流密度Smech的表達(dá)式也會(huì)有相應(yīng)的結(jié)構(gòu).靜質(zhì)能mac2是常數(shù)，它在能量守恒方程式(26)里是不出現(xiàn)的， 因?yàn)樵谠撌街写隧?xiàng)由于連續(xù)方程而消失. 所以此時(shí)力學(xué)就歸結(jié)為有引力場(chǎng)的牛頓力學(xué).

5　篇 后 語(yǔ)

本文(包括上篇)從時(shí)間的均勻性導(dǎo)出了能量守恒定律，從空間的平移不變性導(dǎo)出了動(dòng)量守恒定律，從空間的各向同性導(dǎo)出了角動(dòng)量守恒定律. 在這里對(duì)于我們考察的系統(tǒng)而言，時(shí)空的非均勻性是外部物質(zhì)引起的. 受外部物質(zhì)影響的系統(tǒng)都不是封閉系統(tǒng). 在上篇里，電磁場(chǎng)是外場(chǎng)，存在電磁場(chǎng)時(shí)，粒子系統(tǒng)的某些守恒定律不成立.在下篇里，把電磁場(chǎng)包括在系統(tǒng)之內(nèi)，如果忽略引力，時(shí)空是平直的，三大守恒定律都成立.如果把引力作為外場(chǎng)加進(jìn)來(lái)，時(shí)空度規(guī)便不是平庸的，則某些守恒定律就不成立了. 如果我們不忽略系統(tǒng)內(nèi)物質(zhì)的引力場(chǎng)，并且不施加外部引力場(chǎng)，系統(tǒng)是封閉的. 對(duì)于封閉系統(tǒng)，能量、動(dòng)量、角動(dòng)量總應(yīng)該守恒.[文獻(xiàn)[2] §96.] 這與時(shí)空對(duì)稱性有什么關(guān)系？ 一個(gè)系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律是用一組以時(shí)空坐標(biāo)為自變量的偏微分方程來(lái)表達(dá)的，而外部的影響與系統(tǒng)的時(shí)空坐標(biāo)有關(guān).對(duì)于封閉系統(tǒng)不存在外部影響，每個(gè)方程只含同一個(gè)世界點(diǎn)的物理量及其對(duì)時(shí)空坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)(除非有超距作用，但超距作用是不存在的)，因而系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)方程不顯含時(shí)空坐標(biāo).這樣一來(lái)，時(shí)空坐標(biāo)原點(diǎn)和空間坐標(biāo)取向的選取對(duì)運(yùn)動(dòng)方程都沒(méi)有影響，這就意味著對(duì)該系統(tǒng)而言時(shí)空具有完全的對(duì)稱性， 所以封閉系統(tǒng)的三大守恒律必成立.

在本文成文的過(guò)程中作者曾多次征求朱如曾教授的意見并進(jìn)行了修改，特此向他表示誠(chéng)摯的謝意.

【附 錄】 非均勻時(shí)空中的麥克斯韋方程與粒子的運(yùn)動(dòng)方程

在廣義相對(duì)論的框架里討論電動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，寫得最詳盡的非朗道的《場(chǎng)論》書[2]莫屬.我們就按照該書來(lái)介紹本文所需要的帶電粒子與電磁場(chǎng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程.

A基本概念和公式

四維的不變的時(shí)空間隔ds與度規(guī)gik的關(guān)系為

ds2=gikdxidxk=g00(dx0)2+2g0αdx0dxα+gαβdxαdxβ,

(A.1)

這里的拉丁字母i,k等(=0， 1， 2， 3)代表四維時(shí)空的維度指標(biāo)， 指標(biāo)0代表時(shí)間分量(x0=ct)， 希臘字母α，β等(= 1， 2， 3)代表空間分量. 指標(biāo)在上為逆變，在下為協(xié)變. 按照愛(ài)因斯坦約定，傀標(biāo)(在同一項(xiàng)里重復(fù)的指標(biāo))意味著求和.

從四維表示向三維表示轉(zhuǎn)換時(shí)還需要以下概念. dτ是沿粒子軌道同步的時(shí)鐘確定的固有時(shí)間隔， dl是空間間隔(距離)， dt=dx0/c是通常的時(shí)間間隔. 朗道的《場(chǎng)論》書中給出

(A.2)

(A.3)

三維空間的協(xié)變度規(guī)張量就是式(A.2)里的γαβ:

(A.4)

相應(yīng)的逆變張量為

γαβ=-gαβ

(A.5)

行列式為

γ=det(γαβ)

(A.6)

引入三維的速度矢量:

(A.7)

(A.8)

這些式子比較繁冗. 朗道的書中指出：[文獻(xiàn)[2] p.264.]“在任一個(gè)引力場(chǎng)中總是可以選擇這樣的參考系，使得g0α的三個(gè)值恒等于0, 進(jìn)而使得時(shí)鐘的完全同步成為可能.” 這就是說(shuō)，g0α≠0是參考系的特征，不是時(shí)空本身的特征.本文要討論的是時(shí)空的對(duì)稱性，而不是參考系是否具有某種對(duì)稱性，故我們下文都假設(shè)g0α=0 和時(shí)鐘同步以使表達(dá)式簡(jiǎn)化. 這樣一來(lái)， (A.4)式簡(jiǎn)化為

γαβ=-gαβ

(A.4′)

式(A.8)簡(jiǎn)化為

(A.8′)

四維速度ui,ui是無(wú)量綱量，在g0α=0 的情況下其定義及與三維速度的關(guān)系簡(jiǎn)化為：

(A.9)

B麥克斯韋方程組

電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程組為[文獻(xiàn)[2] p.284—285.]

(A.10)

(A.11)

這里Fik，F(xiàn)ik是電磁場(chǎng)張量，Ji是四維電流密度矢量,g=det(gik)<0．(按朗道《場(chǎng)論》書，我們沿用高斯單位制.) 下面將它轉(zhuǎn)換為三維形式，為此我們需要三維彎曲空間里矢量乘積和微分算符的表達(dá)形式.[文獻(xiàn)[2] p.281.]

(i)單位反對(duì)稱贗張量

(A.12)

(ii)標(biāo)積A·B=AαBα=AαγαβBβ

(A.13)

(A.14)

(A.15)

(A.16)

B.1 無(wú)源方程式(A.10)[文獻(xiàn)[2] p.286.]

四維電磁場(chǎng)張量與三維電場(chǎng)矢量E, D和磁場(chǎng)矢量H, B的關(guān)系為(希臘字母上下標(biāo)只取1， 2， 3.)

(A.17)

(A.18)

令式(A.10)中i=y,k=z,l=x, 則有

即▽·B=0

(A.19)

令式(A.10)中i=0,k=y,l=z, 則

(A.20x)

令式(A.10)中i=0,k=z,l=x, 則

(A.20y)

令式(A.10)中i=0,k=x,l=y, 則

(A.20z)

將(A.20x)、 (A.20y)、 (A.20z)三式寫成三維矢量式，則有

(A.20)

B.2有源方程式(A.11)[文獻(xiàn)[2] p.286.]

(A.21)

式中qa是粒子a的電荷，γ是三維空間度規(guī)的行列式[見式(A.6)], 而四維電流密度矢量為

(A.22)

Ji的分量為

(A.23)

(A.24)

還可以定義三維電流密度矢量為

(A.25)

注意到-g=g00γ， 令式(A.11)中i=0, 則有

即

▽·D=4πρq.

(A.26)

令式(A.11)中i=x, 則有

(A.27x)

同理，i=y,z時(shí)有

(A.27y)

(A.27z)

三式聯(lián)合起來(lái)， 有

(A.27)

B.3D、 E和B、 H的關(guān)系[文獻(xiàn)[2] p.286.]

式(A.17)和(A.28)中Fμν和Fμν是四維張量的空間分量，協(xié)變與逆變之間的轉(zhuǎn)換要用gik和gik度規(guī)張量來(lái)實(shí)現(xiàn)， 而Dα、Eα、Bα、Hα是三維矢量，協(xié)變與逆變之間的轉(zhuǎn)換要用γαβ和γαβ度規(guī)張量來(lái)實(shí)現(xiàn). 在gα0=0的情況下前者的空間部分與后者只差一個(gè)負(fù)號(hào).[見式(A.4′)和式(A.5).] 按式(A.17)

即

(A.28)

在g0α=0的情況下Fμν可看作是在度規(guī)γμν變換下的三維張量.又三維度規(guī)行列式γ和四維度規(guī)行列式g之間有-g=g00γ的關(guān)系式，[文獻(xiàn)[2] p.262頁(yè)式(84.10).]按式(A.20)之二，我們有

(A.29)

C帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程

在廣義相對(duì)論里一個(gè)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的協(xié)變形式是[文獻(xiàn)[2]p.273注①]

(A.30)

(A.31)

即式(A.30)作

(A.32)

對(duì)于多個(gè)點(diǎn)粒子的系統(tǒng)我們引進(jìn)質(zhì)量密度ρm和質(zhì)量密度流jm的概念：

(A.33)

(A.34)

(A.35)

計(jì)算時(shí)應(yīng)注意到δ(r-ra)=δ(x-xa)δ(y-ya)δ(z-za)，

式(A.35)得證. 于是式(A.34)左端第一大項(xiàng)可以寫成如下形式：

(A.36)

C.1式(A.34)左端第一大項(xiàng)

時(shí)間分量

(A.37)

空間分量

(A.38)

在這里我們可專門注意分析克里斯托夫符號(hào)和速度的乘積：

在gα0=0時(shí)其時(shí)間分量：

(A.39)

而空間分量

(A.40)

(A.41)

時(shí)間分量

(A．42)

空間分量

(A.43)

C.4式(A.34)左右端聯(lián)合

時(shí)間分量

(A.44)

空間分量

(A.45)

[1]趙凱華.時(shí)空對(duì)稱性與守恒律(上篇)——牛頓力學(xué)[J].大學(xué)物理，2016, 35(1):1-3

[2]朗道、栗弗席茲，場(chǎng)論[M].8版.北京：高等教育出版社， 2012.

[3]W.K.H.Panofsky&M.Phillips.ClassicalElectricityandMagnetism[M].ed.2.Addison-WesleyPub.Co.1962.

SpacetimeSymmetriesandConservationLaws(Ⅱ)——ClassicalElectrodynamics

ZHAOKai-hua

(SchoolofPhysics,PekingUniversity,Beijing100871,China)

Theconservationlawsofenergy,momentumandangularmomentuninclassicalelectrodynamicsarederivedfromthetranslationalandrotationalspacetimesymmetries.

spacetimesymmetries,frameofreference,conservationlaws

2016-04-15

趙凱華 ( 1930— )，男，浙江杭州人，北京大學(xué)物理學(xué)院教授，2008年獲教育部物理基礎(chǔ)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)和中國(guó)物理學(xué)會(huì)教學(xué)委員會(huì)頒發(fā)的“物理教學(xué)杰出成就獎(jiǎng)”.

教學(xué)研究

O 31

A

1000- 0712(2016)08- 0001- 13