圓錐曲線特征點(diǎn)和線的若干性質(zhì)

玉炳圖

（廣南縣第一中學(xué)，云南 廣南 663399）

圓錐曲線特征點(diǎn)和線的若干性質(zhì)

玉炳圖

（廣南縣第一中學(xué)，云南 廣南 663399）

圓錐曲線焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線和類準(zhǔn)線是圓錐曲線的主要特征點(diǎn)和主要特征線，根據(jù)它們之間的關(guān)系，應(yīng)用線到線的角公式，推導(dǎo)出一組重要的有趣的不等式，為解決相關(guān)問題提供解借鑒。

焦點(diǎn)；頂點(diǎn)；準(zhǔn)線；離心率

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0，所以θ為銳角，由基本不等式得

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0，所以θ為銳角，由基本不等式得

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

以下同定理1的證明。

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

由假設(shè)y>0，c>b及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

三個(gè)幾何量a，b，c中，對(duì)于橢圓，a最大，對(duì)于雙曲線，c最大，從而由橢圓的特征線聯(lián)想到雙曲線的特征線進(jìn)行研究，則得：

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

則得

由假設(shè)y>0及上式知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

如果聯(lián)想到統(tǒng)一的圓錐曲線，進(jìn)行研究，則得：

定理12P是圓錐曲線準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)，A是和l相應(yīng)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，e是離心率，P是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為H，F(xiàn)PA=θ，則θ為銳角且（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）。

證明不妨以有向直線HAF所在直線為x軸，F(xiàn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則得F(0, 0)，設(shè)M(x,y)是圓錐曲線上的一點(diǎn)，M到準(zhǔn)線l∶x=-p的距離為d，則由圓錐曲線定義知|MF|=ep由此可得圓錐曲線為令y=0，并注意到xA<0解得點(diǎn)不妨設(shè)P (-P, y)在x軸上方，即y>0，則由線到線的角公式得

由假設(shè)y>0知tanθ>0所以θ為銳角，由基本不等式得

Some Properties of Feature Points and Lines of Conic Curve

YU Bingtu
(No.1 Middle School, Guangnan Yunnan 663399, China)

Focus, vertex, directrix and eccentricity are major feature points and lines of conic curve. The paper deduces a set of important and interesting inequalities based on their relations and using angle formula from line to line, which provides reference for solving concerning problems.

focus; vertex; directrix; eccentricity

O123.2

A

1674 - 9200（2016）03 - 0045 - 06

（責(zé)任編輯劉常福）

2015 - 05 - 27

玉炳圖，男，云南廣南人，云南省特級(jí)教師，全國(guó)模范教師，云南省委聯(lián)系專家，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解析幾何研究。