問題教學(xué)法在極限計(jì)算中的應(yīng)用

許宗文 謝煥鋼 張康明 王劍

【摘要】本文以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、高等數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況討論了問題教學(xué)法在極限計(jì)算中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】建構(gòu)主義;問題教學(xué);極限計(jì)算

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)者在以往各種形式的學(xué)習(xí)中已經(jīng)形成了相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對任何事情都有自己的看法，即使有些問題他們從來沒有接觸過，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn)可以借鑒，但是當(dāng)問題呈現(xiàn)在他們面前時(shí)，他們還是會(huì)基于以往的經(jīng)驗(yàn)，依靠自身的認(rèn)知能力，形成對問題的解釋，提出自己的假設(shè).教師不能無視學(xué)習(xí)者的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，簡單、強(qiáng)硬地從外部對學(xué)習(xí)者實(shí)施知識(shí)的“填灌”.

問題教學(xué)法的重點(diǎn)是“問題”，核心也是“問題”.教學(xué)過程中，教師應(yīng)該利用一定的問題情境，逐步引導(dǎo)學(xué)生自己提出有價(jià)值的問題，特別是針對教材提出疑問，并通過學(xué)生的多方面思考、討論，來解決問題.

高等數(shù)學(xué)是高校眾多教學(xué)科目中的一門基礎(chǔ)課程，它具有高度的抽象性，這勢必給教師的日常教學(xué)帶來一定的挑戰(zhàn).以我院為例，目前采用的教材是全國大部分高校正在使用的同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的第七版《高等數(shù)學(xué)》，知識(shí)點(diǎn)多，難度較大.從以往學(xué)習(xí)的情況來看，盡管大部分學(xué)生能夠解答一些相關(guān)的習(xí)題，但是對計(jì)算技巧后面所蘊(yùn)含的思維方法知之甚少，并不是太了解.當(dāng)一個(gè)綜合性的高等數(shù)學(xué)問題出現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，他們很難找到切入點(diǎn)，不知道如何思考.筆者在講解極限計(jì)算這一模塊時(shí)感觸頗深，極限計(jì)算的方法很多，幾乎貫串了高等數(shù)學(xué)教材上冊的整本內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)每種方法時(shí)，基本上能夠找到思路，但是當(dāng)教學(xué)大綱要求的極限內(nèi)容全部講授結(jié)束后，他們反而沒有思路了，這從側(cè)面說明了學(xué)生對知識(shí)掌握得不夠全面，對極限計(jì)算的相關(guān)問題理解得不夠深刻，也說明我們教師在教學(xué)方法上存在一定的弊端.基于以上考慮，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和極限計(jì)算的方法特點(diǎn)，本文針對問題教學(xué)法在極限計(jì)算中的應(yīng)用做了初步的研究和探討.

極限的計(jì)算方法多種多樣，細(xì)分則更多，其中有極限的定義、極限的四則運(yùn)算法則、夾逼準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小、洛必達(dá)法則、函數(shù)的連續(xù)性、Stolz定理和定積分等.既然計(jì)算極限的方法如此之多，那么學(xué)生自然會(huì)問，當(dāng)碰到一個(gè)具體的求解極限的例子時(shí)，我們該如何去解決？下面我們摘選極限計(jì)算中最常用的幾種方法進(jìn)行闡述.

1.利用四則運(yùn)算法則求極限

對和差積商形式的函數(shù)求極限，首先會(huì)想到極限的四則運(yùn)算法則，但是很多時(shí)候我們并不能直接運(yùn)用這些法則，為了能使用這些法則，往往需要對函數(shù)做某些恒等變形或化簡，那么我們會(huì)問，應(yīng)該進(jìn)行怎樣的變形與化簡呢？通過引導(dǎo)，學(xué)生自然會(huì)想到之前中學(xué)常用的分式約分或通分、分式的分解、分子或分母有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和公式與求積公式及變量替換等，然后利用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.例如，對于無理根式的極限，通常采用分子有理化或分母有理化進(jìn)行求解.比如計(jì)算極限limn→∞（n2+n-n2-n），只需分子有理化即可.運(yùn)算時(shí)極限號下面的極限過程是一致的，同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用.

2.利用夾逼準(zhǔn)則求數(shù)列極限

下面以夾逼準(zhǔn)則中的數(shù)列情形舉例說明，函數(shù)的情況類似.

利用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵是什么呢？從準(zhǔn)則的內(nèi)容我們可以看出，只需利用不等式的放縮法將所求極限的數(shù)列適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，使得放大或縮小的兩個(gè)新數(shù)列的極限值相等，則原數(shù)列的極限值存在且等于新數(shù)列的極限值.當(dāng)然，放縮時(shí)要特別注意把握尺度，放得過大或者過小，準(zhǔn)則都會(huì)失效.如極限

從這個(gè)例子可以看出，有時(shí)候，我們?yōu)榱藨?yīng)用這兩個(gè)重要極限，可根據(jù)原式的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)匾胄伦兞?，以替換原有的變量，使之符合其結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

4.利用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則是求解不定式極限的強(qiáng)有力工具.教材中關(guān)于洛必達(dá)法則的結(jié)論只有直接適用于0[]0，∞[]∞的未定式，那么對于其他未定式，諸如0·∞，∞-∞型，能否化作0 0 ，∞ ∞ 型呢？顯然，我們只需做些簡單的初等變形即可得到，而00，∞0，1∞型未定式通過取對數(shù)也可以化作00 ，∞∞ 型.此外，在使用洛必達(dá)法則時(shí)每步都要檢查是否符合洛必達(dá)法則的條件，計(jì)算過程中還應(yīng)注意及時(shí)化簡算式，把定式部分分離出來并求極限，再對未定式部分使用洛必達(dá)法則.數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是否可以使用洛必達(dá)法則呢？答案是顯然的.我們只需將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)極限，然后利用洛必達(dá)法則求解即可.

在使用洛必達(dá)法則時(shí)，所求極限相對比較復(fù)雜，往往不能直接應(yīng)用，那么這個(gè)時(shí)候該如何處理呢？此時(shí)可能需要用到前面的重要極限、等價(jià)無窮小代換等方法，以簡化過程.

5.競賽中的極限問題

一年一度的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（本文只針對非數(shù)學(xué)專業(yè)舉例說明）是對在校生的高等數(shù)學(xué)知識(shí)的全面考核，具有一定的難度，同時(shí)具備較強(qiáng)的技巧性.筆者通過分析歷年的真題發(fā)現(xiàn)，和極限相關(guān)的問題占比很大，并且這類題具有很強(qiáng)的綜合性.下面選擇幾道極限方面的競賽題進(jìn)行分析.

分析? 這是一道求和式極限的問題，最直接的方法就是先求出表達(dá)式的前n項(xiàng)和，然后對n取極限.稍做分析便可發(fā)現(xiàn)，表達(dá)式的前n項(xiàng)和無法計(jì)算.你可能會(huì)聯(lián)想到夾逼準(zhǔn)則，但是比較遺憾，上下限不好尋找.此外，你可能還會(huì)聯(lián)想到定積分的定義，初步分析發(fā)現(xiàn)，直接利用特殊的和式極限轉(zhuǎn)化為定積分的定義求解也不好處理.到此，該極限是否就無法計(jì)算了呢？我們再回到所求極限，發(fā)現(xiàn)其表達(dá)式的奇偶項(xiàng)是正、負(fù)交替出現(xiàn)的.我們猜測，能否將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開求解，然后驗(yàn)證兩者極限是否存在且相等？為了驗(yàn)證這一猜測，我們不妨試一試.

以上遴選了極限計(jì)算中幾種具有代表性的題型和方法，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，初步探討了教師在教學(xué)中應(yīng)該如何將內(nèi)容問題化，逐步引導(dǎo)學(xué)生在遇到新問題時(shí)多問幾個(gè)為什么，使學(xué)生養(yǎng)成勤于思考的習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

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