含碰撞的平面摩擦系統(tǒng)半解析半數(shù)值算法研究

王曉筍，巫世晶

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含碰撞的平面摩擦系統(tǒng)半解析半數(shù)值算法研究

王曉筍，巫世晶

(武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，湖北武漢，430072)

利用含平面庫(kù)侖摩擦力系統(tǒng)的解析解結(jié)果，通過碰撞邊界條件和時(shí)間的隱式關(guān)系，獲得精確的碰撞時(shí)刻，由此確定從當(dāng)前時(shí)刻到碰撞發(fā)生時(shí)的步長(zhǎng)及平面上的碰撞位置。結(jié)合滑移/黏滯轉(zhuǎn)換時(shí)位置和時(shí)刻的解析解，引入布爾變量定義系統(tǒng)的狀態(tài)，建立一種求解含碰撞的平面摩擦系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值算法。研究結(jié)果表明：該算法能夠求解滑移/黏滯轉(zhuǎn)換、碰撞以及平面滑移運(yùn)動(dòng)存在方向劇烈變化拐點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)，并有效地提高了系統(tǒng)響應(yīng)的精度。

平面摩擦系統(tǒng)；碰撞；滑移/黏滯轉(zhuǎn)換；精確解；數(shù)值算法

相互接觸的2個(gè)部件發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)誘發(fā)的摩擦行為對(duì)載荷傳遞和動(dòng)態(tài)響應(yīng)都會(huì)產(chǎn)生重要影響，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片根部粗糙接觸表面間的摩擦滑移消耗葉片系統(tǒng)振動(dòng)能量而產(chǎn)生的干摩擦阻尼是降低葉片振動(dòng)、延長(zhǎng)發(fā)動(dòng)使用壽命的關(guān)鍵因素[1]。摩擦力還能夠引起局部剛度發(fā)生變化，誘發(fā)出現(xiàn)共振峰隨激勵(lì)量級(jí)增大而向低頻移動(dòng)的“頻率漂移”典型非線性現(xiàn)象[2?3]。而非接觸的2個(gè)部件由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)在接觸瞬間引發(fā)的碰撞能夠使系統(tǒng)出現(xiàn)周期倍化序列、擦邊分岔和混沌等一系列強(qiáng)非線性現(xiàn)象。雖然人們對(duì)于摩擦和碰撞進(jìn)行了大量研究，但對(duì)于同時(shí)具有摩擦和碰撞的系統(tǒng)研究較少。通常在機(jī)械系統(tǒng)中，摩擦和碰撞往往是同時(shí)存在的，而且兩者之間存在相互影響[4]。STRONGE[5]通過研究發(fā)現(xiàn)若摩擦因數(shù)過大，則在碰撞結(jié)束時(shí)直接進(jìn)入黏滯狀態(tài)。碰撞與摩擦都是強(qiáng)非線性因素，因此，含碰撞的摩擦系統(tǒng)具有大量非線性現(xiàn)象[6]，如CONE等[7]采用數(shù)值法研究了帶干摩擦的單自由度雙面沖擊振子, 結(jié)果表明系統(tǒng)存在周期倍化序列、擦邊分岔(grazing bifurcation)以及黏滑碰撞運(yùn)動(dòng)。VIRGIN等[8]描述了包含庫(kù)侖摩擦阻尼的雙邊諧激勵(lì)碰撞振子的全局動(dòng)力學(xué)，發(fā)現(xiàn)由于摩擦和碰撞誘發(fā)的擦邊分岔與吸引盆等非線性現(xiàn)象。張有強(qiáng)等[9?12]研究了同時(shí)含有摩擦和碰撞系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)較大的摩擦力使得系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定單周期碰撞運(yùn)動(dòng)，而摩擦力較小時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)多呈現(xiàn)為混沌行為。同時(shí)，摩擦力的幅值對(duì)全局分岔性態(tài)的影響比較復(fù)雜，尤其對(duì)混沌區(qū)和分岔點(diǎn)附近系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)影響明顯。目前，所有針對(duì)具有摩擦的碰撞系統(tǒng)的研究主要以研究其動(dòng)態(tài)特性為主，而往往忽略了其準(zhǔn)靜態(tài)特性。具有庫(kù)侖摩擦力的系統(tǒng)在外部載荷激勵(lì)下可能處于滑移、黏滯和滑移/黏滯轉(zhuǎn)換等不同狀態(tài)，顯然，含摩擦的碰撞系統(tǒng)在碰撞邊界內(nèi)部可能同時(shí)處于動(dòng)態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)。為此，沈煜年等[13]使用事件驅(qū)動(dòng)法求解碰撞響應(yīng)，并通過入射角、法向相對(duì)速度、切向接觸力與法向接觸力的比值等判斷碰撞、黏滯及滑移的開始和結(jié)束。錢震杰等[14]采用Hertz接觸模型和Coulomb摩擦光滑修正模型分別建立法向和切向碰撞模型，根據(jù)接觸對(duì)法向和切向距離建立碰撞/分離切換準(zhǔn)則，并采用變步長(zhǎng)計(jì)算，特別是對(duì)碰撞發(fā)生時(shí)的步長(zhǎng)接近10?7時(shí)進(jìn)行計(jì)算，由此提高系統(tǒng)的求解精度。顯然，數(shù)值求解方法的精度依賴于步長(zhǎng)，無法非常準(zhǔn)確地確定碰撞的位置和時(shí)刻，從而影響整個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)的求解精度并導(dǎo)致累積誤差不斷增大。同時(shí)，采用數(shù)值法求解含有摩擦的碰撞問題時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)黏滯/滑移轉(zhuǎn)換導(dǎo)致的位置漂移和準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)下的數(shù)值振蕩現(xiàn)象[15]。從目前對(duì)摩擦碰撞系統(tǒng)的研究發(fā)現(xiàn)，所建立的模型一般為一維模型，摩擦和碰撞僅限于1個(gè)方向，而工程實(shí)際中的摩擦碰撞往往是二維的，因此，采用傳統(tǒng)數(shù)值方法來判斷碰撞的發(fā)生和黏滯—滑移轉(zhuǎn)換條件會(huì)更加困難，也會(huì)產(chǎn)生更大誤差。最近，WANG[16]在路徑坐標(biāo)系下獲得外載荷恒定時(shí)二維庫(kù)侖摩擦力系統(tǒng)的精確解，準(zhǔn)確地建立了黏滯/滑移轉(zhuǎn)化的位置和時(shí)間?；谏鲜鼋馕鼋?，本文作者提出一種針對(duì)含摩擦的碰撞系統(tǒng)半解析半數(shù)值求解算法，不僅能夠確定高精度的黏滯滑移轉(zhuǎn)換位置與時(shí)間，而且能夠確定準(zhǔn)確的碰撞位置、速度與時(shí)間，可更加精確地分析摩擦碰撞系統(tǒng)動(dòng)態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)特性。

1 含碰撞的平面摩擦系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

含有碰撞的平面摩擦系統(tǒng)如圖1所示。質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)通過彈簧及阻尼與邊界連接，平面的外部激勵(lì)載荷為()=[F(),F()]T，質(zhì)點(diǎn)所受到的正壓力為()，摩擦因數(shù)為；()=[(),()]T表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置；為質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度；()為平面庫(kù)侖摩擦力，其定義為

本文研究的平面碰撞問題將碰撞邊界定義為2條垂直于方向的直線，質(zhì)點(diǎn)在平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，在方向上存在左邊界L和右邊界R。采用牛頓第二定律，可建立矩陣形式的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

其中：，和分別為質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣，diag[,],diag[c,c],=diag[k,k]。質(zhì)點(diǎn)的沖擊碰撞方程為[11]

2 黏滯滑移位置、時(shí)間的建立

滑移—黏附轉(zhuǎn)化發(fā)生的時(shí)刻t與對(duì)應(yīng)的位置u()=[x() ,y()]T可以表示為[16]

其中：0為初始速度；為外部激勵(lì)力、彈性力和阻尼力的合力，即

=()/()，為量綱一的外部載荷，表示摩擦力與切向荷載的比率；0為初始時(shí)刻0與的夾角。

3 碰撞位置、速度與時(shí)間的確定

由文獻(xiàn)[16]知該系統(tǒng)在恒定的外部激勵(lì)力和摩擦力作用下經(jīng)過時(shí)間后，作用時(shí)間和角度存在著下列隱式關(guān)系：

動(dòng)態(tài)響應(yīng)()=[(),()]T可以表示為[17]：

(10)

式(8)定義了作用時(shí)間與角度的關(guān)系，若已知時(shí)間，則能夠確定當(dāng)前時(shí)刻角度；反之，若已知當(dāng)前時(shí)刻角度，則可以確定當(dāng)前時(shí)刻。雖然本文所研究的平面摩擦碰撞系統(tǒng)的外部激勵(lì)力()是隨時(shí)間變化的，但若積分步長(zhǎng)足夠小，則在很短的時(shí)間內(nèi)，()可認(rèn)為近似恒定不變，因此，式(8)~(10)可以用于計(jì)算二維庫(kù)侖摩擦力系統(tǒng)滑移過程中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)在平面的滑移過程中在下一個(gè)時(shí)間步內(nèi)發(fā)生碰撞的條件為

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿正方向與右側(cè)邊界R發(fā)生碰撞，則碰撞時(shí)必然存在

可確定R與角度R。對(duì)于此超越方程，可采用Newton-Raphson迭代法求解R。求出R后，將R代入式(8)，可確定碰撞發(fā)生的時(shí)刻R，從而確定從當(dāng)前時(shí)刻到碰撞發(fā)生時(shí)系統(tǒng)的數(shù)值積分步長(zhǎng)DR=R?。再將R代入式(10)，則可計(jì)算出系統(tǒng)在碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)方向的位置。質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的速度可以描述為[16]

將R代入方程(13)則可以確定質(zhì)點(diǎn)與右端邊界條件碰撞瞬時(shí)的速度。根據(jù)沖擊碰撞方程(3)確定發(fā)生碰撞之后的瞬時(shí)速度。

機(jī)械正壓通氣用于重癥哮喘合并呼吸衰竭的患者急診搶救，可以顯著改善患者目前呼吸困難造成的缺氧情況，及時(shí)為患者提供持續(xù)的呼吸支持，從而改善患者組織缺氧、呼吸衰竭等情況。臨床治療搶救過程中，如發(fā)現(xiàn)該類患者呼吸衰竭進(jìn)行性加重，且患者進(jìn)行支氣管擴(kuò)張藥物和糖皮質(zhì)激素抗炎治療效果不佳，動(dòng)脈血?dú)夥治鲋囟群粑ソ?，兩肺布滿響亮的哮鳴音和濕羅音，則要考慮患者呼吸肌、支氣管痙攣沒有得到緩解，呼吸肌疲勞，可以及時(shí)采取機(jī)械通氣進(jìn)行搶救。

4 含碰撞平面摩擦系統(tǒng)的求解算法

含有摩擦力的系統(tǒng)在受到時(shí)變平面外部激勵(lì)力激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)可能處于滑移、黏滯和滑移/黏滯轉(zhuǎn)換等多種狀態(tài)。若再將碰撞邊界引入，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更加復(fù)雜。為此，首先引入1個(gè)布爾變量用于描述二維庫(kù)侖摩擦力系統(tǒng)的狀態(tài)：=1表示滑移狀態(tài)，=0表示黏滯狀態(tài)。碰撞是一個(gè)瞬態(tài)過程，碰撞必然發(fā)生在滑移狀態(tài)下，即碰撞時(shí)=1。

對(duì)于滑移狀態(tài)下的系統(tǒng)，可以采用定步長(zhǎng)積分算法確定步長(zhǎng)D，由此可以當(dāng)前狀態(tài)為初始條件，由式(8)確定+D時(shí)刻的角度，這樣可直接由式(9)和(10)計(jì)算系統(tǒng)在下一時(shí)刻的位置。若=1且＞1，則系統(tǒng)可能發(fā)生滑移/黏滯轉(zhuǎn)換進(jìn)入黏滯狀態(tài)。黏滯時(shí)刻可以通過式(4)求得。若步長(zhǎng)D＞t，則系統(tǒng)將會(huì)在+t時(shí)刻發(fā)生滑移/黏滯轉(zhuǎn)換。利用式(5)和(6)計(jì)算黏滯位置，同時(shí)重新設(shè)置布爾變量=0。若碰撞邊界條件成立，則此時(shí)質(zhì)點(diǎn)將與左/右邊界發(fā)生碰撞。通過式(13)確定碰撞時(shí)的角度R或L，從而進(jìn)一步確定碰撞發(fā)生的時(shí)刻(式(8))和方向的位置(式(10))。而若=0，則系統(tǒng)處于黏滯狀態(tài)，但當(dāng)=1時(shí)，會(huì)發(fā)生黏滯/滑移轉(zhuǎn)換，確定發(fā)生黏滯/滑移轉(zhuǎn)換的時(shí)間，重新設(shè)置布爾變量=1，系統(tǒng)進(jìn)入滑移周期。系統(tǒng)的算法如圖2所示。

圖2 算法程序流程圖

本文算法中的計(jì)算結(jié)果是在由外部激勵(lì)合力()定義的坐標(biāo)系(軸與外部激勵(lì)力()的方向正好相反)下獲取的，因此，該坐標(biāo)系隨著時(shí)間是動(dòng)態(tài)變化。利用上述算法求解獲得的響應(yīng)還需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，從而最終得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

5 算例分析

系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置如下，質(zhì)量=1，剛度系數(shù)k=k=10，c=c=0.1，碰撞邊界條件設(shè)置為L(zhǎng)=－0.02，R=0.02。外部激勵(lì)為

外部激勵(lì)表達(dá)式內(nèi)的參數(shù)設(shè)置為E=E=1.0，==1.0，=0.5，=0.4，=10.0，速度恢復(fù)系數(shù)=0.95，()=1.0。積分步長(zhǎng)設(shè)置為D=10?4。

采用本文所提出的求解算法獲得的系統(tǒng)響應(yīng)如圖3~14所示。其中，圖3~8所示分別為系統(tǒng)的和方向的位移和速度的時(shí)間歷程曲線。從圖3~8可以發(fā)現(xiàn)：摩擦力作用下的碰撞過程中能量消耗較大，系統(tǒng)在經(jīng)歷了短暫的瞬態(tài)響應(yīng)之后隨即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從圖4和圖6的方向位移及速度的局部放大圖可以發(fā)現(xiàn)：每個(gè)完整的碰撞周期均最終以發(fā)生黏滯結(jié)束；系統(tǒng)在發(fā)生最后1次碰撞之后隨即發(fā)生滑移—黏滯轉(zhuǎn)換[5]，但黏滯位置與碰撞位置之間并未重疊；若速度恢復(fù)系數(shù)更小或者摩擦因數(shù)更大，則碰撞過程會(huì)更快轉(zhuǎn)換進(jìn)入黏滯狀態(tài)。從圖7和圖8可見：方向每個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)4次滑移—黏滯轉(zhuǎn)換，而當(dāng)方向發(fā)生碰撞時(shí)，方向的響應(yīng)則保持滑移狀態(tài)不變。

圖3 x方向的位移時(shí)間歷程曲線

圖4 x方向的位移時(shí)間歷程曲線局部放大圖

圖5 x方向的速度時(shí)間歷程曲線

圖6 x方向的速度時(shí)間歷程曲線的局部放大圖

圖7 y方向的位移時(shí)間歷程曲線

圖8 y方向的速度時(shí)間歷程曲線

圖9所示為系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之后碰撞過程中相鄰碰撞點(diǎn)內(nèi)碰撞周期T的變化規(guī)律。從圖9可見：在庫(kù)侖摩擦力作用下，在1～32次碰撞之間(圖9所示的含有正方形的實(shí)線)，碰撞周期逐漸減小，頻率逐漸增高；在碰撞過程末段，從第33次碰撞開始(圖9所示含有圓圈的實(shí)線)，碰撞周期又逐漸增加，直至最終進(jìn)入黏滯狀態(tài)。

圖9 碰撞周期變化規(guī)律

質(zhì)點(diǎn)與碰撞邊界發(fā)生連續(xù)碰撞，是因?yàn)橥獠考?lì)力作用下始終迫使質(zhì)點(diǎn)朝碰撞邊界方向運(yùn)動(dòng)。碰撞之后瞬時(shí)速度矢量的角度和激勵(lì)力合力()的角度如圖10所示。從圖10可見：碰撞發(fā)生之前和()幾乎同向，接近于碰撞平面的法線方向，角度差別很小，第1次碰撞之后和()之間的角度接近p；隨著碰撞進(jìn)行，角度不斷減小，而角度則不斷增加，最終角度趨近于p/2，即質(zhì)點(diǎn)近似進(jìn)行垂直方向運(yùn)動(dòng)，而此時(shí)角度也接近p/2，和()在碰撞過程的末端再次接近同向，且都接近于碰撞平面的切線方向，因此，也導(dǎo)致圖9所示碰撞間距在起始階段較大，但每次碰撞之后初始角度會(huì)逐漸減小，因此，碰撞間距也隨著0的減小而變小。在碰撞末段，和()又接近同向，但碰撞和摩擦消耗了大量動(dòng)能導(dǎo)致此時(shí)起始速度很小，因此，碰撞時(shí)間間距在末段有輕微升幅。

1—速度的角度a；2—外力Q(t)的角度b。

圖11所示為本文計(jì)算的碰撞位置與理論碰撞位置之差的絕對(duì)值。從圖11可見：采用式(13)能夠精確地計(jì)算出碰撞位置及碰撞時(shí)間，而碰撞位置的精度接近10?10。若采用傳統(tǒng)的數(shù)值積分算法，則無法準(zhǔn)確地捕獲碰撞位置，導(dǎo)致碰撞數(shù)值積分獲取的碰撞位置在理論位置附近出現(xiàn)振蕩。本文算法所獲得的碰撞位置精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的數(shù)值積分算法所獲精度，體現(xiàn)了本文算法在求解碰撞問題響應(yīng)精度方面的優(yōu)越性。

圖11 碰撞瞬時(shí)計(jì)算碰撞位置與理論位置之差

圖12所示為從起始狀態(tài)開始直至最終進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的不同時(shí)間區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。從圖12可以發(fā)現(xiàn)：碰撞周期內(nèi)系統(tǒng)的軌跡在每次碰撞發(fā)生之后會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈變化，因此多次出現(xiàn)拐點(diǎn)，而這會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)的數(shù)值積分算法出現(xiàn)積分誤差，多次拐點(diǎn)的出現(xiàn)則使得傳統(tǒng)積分算法獲得的結(jié)果出現(xiàn)更大的累積誤差。本文所建立的求解算法能夠避免拐點(diǎn)處的數(shù)值積分誤差，從而提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的求解精度。而當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之后，隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)的軌跡曲線包括碰撞點(diǎn)和黏滯位置均反對(duì)稱于軸和軸，這是含碰撞的平面摩擦系統(tǒng)所具有的運(yùn)動(dòng)特性。

t/s: (a) 0~10；(b) 10~20；(c) 20~30；(d) 30~40

此外，在沒有碰撞邊界的條件下，式(14)所確定的外部激勵(lì)力會(huì)始終位于單位摩擦圓(已知()=1.0)的外部[17]，因此，系統(tǒng)會(huì)保持持續(xù)的滑移運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但引入碰撞邊界條件之后，在碰撞邊界所發(fā)生的多次碰撞與摩擦力一起誘發(fā)了極大的能量損耗，最終使得平面摩擦系統(tǒng)在碰撞結(jié)束之后發(fā)生滑移—黏滯轉(zhuǎn)換。

6 結(jié)論

1) 含碰撞的二維平面摩擦系統(tǒng)在碰撞周期末段均會(huì)發(fā)生滑移—黏滯轉(zhuǎn)換并最終進(jìn)入黏滯狀態(tài)，但黏滯的位置與碰撞邊界并不會(huì)完全重合，而是存在微小的偏差。碰撞的存在也誘發(fā)了相鄰滑移段內(nèi)的滑移—黏滯轉(zhuǎn)換。在碰撞開始階段，系統(tǒng)的軌跡多次出現(xiàn)劇烈的方向變化。

2) 建立了含碰撞的平面摩擦系統(tǒng)的滑移—黏滯轉(zhuǎn)換和碰撞的位置和時(shí)間的表達(dá)式，提出了一種半解析半數(shù)值的新算法。該算法在求解系統(tǒng)響應(yīng)的過程中能夠精確地獲取系統(tǒng)黏滯—滑移轉(zhuǎn)換及碰撞的位置和時(shí)刻，能夠克服傳統(tǒng)數(shù)值積分算法求解該類問題時(shí)存在的數(shù)值振蕩、跳躍等現(xiàn)象，并有效降低累積積分誤差，提高求解精度。

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Investigation of semi-analytical numerical algorithm for planar coulomb frictional system involving impacting

WANG Xiaosun, WU Shijing

(School of Power and Mechanical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

The time and position for impacting were determined by studying the implicated relationship between the impacting boundary conditions and the time, and the time step for impacting was accurately solved. The Boolean variableintroduced was used to indicate the slipping, sticking and impacting state, and a new numerical algorithm was proposed by combining the close form solution for position and time of slip/stick transition. The results show that the new algorithm can provide responses involving slip/stick transition, impacting and the slip compromising sharp bending corners in planner slip problems with higher precision.

planner frictional system; impacting; slip/stick transition; close form solution; numerical algorithm

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.013

TH117.1

A

1672?7207(2016)09?2997?08

2016?03?01；

2016?05?02

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(“973”計(jì)劃)項(xiàng)目(2014CB239203)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51575403，51375350，51005170) (Project(2014CB239203) supported by the National Basic Research Development Program (973 Program) of China; Projects(51575403, 51375350, 51005170) supported by the National Natural Science Foundation of China

王曉筍，副教授，碩士生導(dǎo)師，從事機(jī)電傳動(dòng)與智能控制技術(shù)、機(jī)械摩擦與磨損研究；E-mail: wxs@whu.edu.cn

(編輯 陳燦華)