基于彈性地基板理論的樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比及沉降計(jì)算

趙明華，劉猛，馬繽輝，龍軍

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基于彈性地基板理論的樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比及沉降計(jì)算

趙明華1，劉猛1，馬繽輝2，龍軍1

(1. 湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410082；2. 湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南湘潭，411201)

將樁網(wǎng)復(fù)合地基中的水平加筋墊層視為彈性薄板，墊層下的豎向樁體及樁間土體視為不同剛度的彈簧體系，基于Filonenko?Borodich雙參數(shù)彈性地基模型，考慮加筋墊層的抗彎、拉作用，根據(jù)靜力平衡建立薄板撓曲變形控制微分方程，并利用Bessel復(fù)變函數(shù)推導(dǎo)出相應(yīng)的撓度函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，考慮樁土變形協(xié)調(diào)，推導(dǎo)樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比及沉降的計(jì)算公式。為驗(yàn)證本文方法的可行性，對(duì)某工程算例進(jìn)行計(jì)算分析。最后，基于本文方法，探討分析加筋墊層復(fù)合彈性模量、筋材拉力、樁土剛度比等因素對(duì)樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比和沉降的影響。研究結(jié)果表明：計(jì)算與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合良好。樁土應(yīng)力比隨樁土剛度比、加筋墊層復(fù)合彈性模量及格柵拉力的增大而增大。

樁網(wǎng)復(fù)合地基；圓形薄板；雙參數(shù)地基模型；樁土應(yīng)力比；沉降

近年來(lái)，隨著我國(guó)高速公路、鐵路建設(shè)的興起，軟土地基問(wèn)題日益突出，地基承載力不足、沉降過(guò)大、不均勻沉降等問(wèn)題尤為嚴(yán)重。樁網(wǎng)復(fù)合地基作為由豎向樁體和水平加筋體構(gòu)成的新型軟基處理形式，對(duì)上述地基問(wèn)題的處置具有良好的效果，且該地基處理方法施工簡(jiǎn)單、進(jìn)度較快，在鐵路軟基處理中得到廣泛的應(yīng)用[1]。關(guān)于樁網(wǎng)復(fù)合地基的工作機(jī)理的研究，目前已取得了不少成果[2?4]，其中樁土應(yīng)力比與沉降作為反映樁網(wǎng)復(fù)合地基工作性狀的重要參數(shù)，其計(jì)算方法的研究也一直是該領(lǐng)域的熱點(diǎn)。其中，楊宇[5]利用螺旋線模擬墊層變形形狀，考慮了墊層的“網(wǎng)兜效應(yīng)”；陳昌富等[6]考慮加筋墊層抗拉作用，假設(shè)墊層變形后形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面，基于Winkler地基推導(dǎo)了樁土應(yīng)力比計(jì)算式；ABUSHARAR等[7]假設(shè)樁間土應(yīng)力均布，利用墊層變形的圓弧假定，提出了一種樁土應(yīng)力比的簡(jiǎn)易計(jì)算方法。對(duì)于相當(dāng)一部分工程，單層格柵并不能滿足工程需要，墊層中需設(shè)置土工格室或多層格柵，同時(shí)，HAN等[2]指出此類結(jié)構(gòu)不同于單層格柵的情況，加筋材料與所包含的散體填料可形成一“柔性筏板”，具有較強(qiáng)抗彎作用，顯然，上述基于薄膜理論所導(dǎo)出的方法因不能考慮抗彎作用并不適合于土工格室或多層格柵的情況。因此，饒為國(guó)等[8]為考慮“柔性筏板效應(yīng)”將加筋墊層假設(shè)為薄板，假定薄板變形后形狀為拋物線，推導(dǎo)了樁土應(yīng)力比計(jì)算式；鄭俊杰[9]則認(rèn)為此類墊層不僅具有“柔性筏板效應(yīng)”，同時(shí)也具有“拉膜效應(yīng)”，于是假定加筋墊層變形為重三角函數(shù)形式，并考慮其變形過(guò)程中的幾何非線性，從而獲得了兼顧墊層“柔性筏板效應(yīng)”與“拉膜效應(yīng)”的樁土應(yīng)力比及沉降計(jì)算方法。此外，由上述文獻(xiàn)可知，加筋體變形形狀是計(jì)算樁土應(yīng)力比以及沉降的前提和關(guān)鍵，不同的變形形狀所求得的樁土應(yīng)力比與沉降也不相同，所以越接近于加筋墊層實(shí)際變形所求得的樁土應(yīng)力比與沉降也就越準(zhǔn)確，而上述文獻(xiàn)均事先假定了加筋體的變形，不能真實(shí)反映加筋體的受力狀態(tài)，這導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的誤差較大。為此，譚慧明等[10]基于Winkler彈性地基矩形板理論推導(dǎo)出了三維情況下水平加筋體的撓曲函數(shù)，但受限于矩形板邊界條件的復(fù)雜性，難以考慮樁體沉降對(duì)于加筋墊層的影響；之后，趙明華等[11?12]以單樁影響范圍內(nèi)復(fù)合地基為研究對(duì)象，將樁土分別離散成不同剛度的彈簧系列，借助于彈性地基圓板理論與樁土界面處墊層的變形協(xié)調(diào)，導(dǎo)出了考慮樁土共同變形的加筋墊層的撓曲函數(shù)，在此基礎(chǔ)上提出了樁土應(yīng)力比的計(jì)算方法。而上述2種分析方法，依然只考慮了加筋墊層的“柔性筏板作用”，并未考慮筋材的“拉膜效應(yīng)”。由上述分析可知：在未假定加筋墊層變形情況下，綜合考慮墊層的“柔性筏板效應(yīng)”、“網(wǎng)兜效應(yīng)”與樁土共同變形，是準(zhǔn)確求解樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比及沉降的關(guān)鍵，為此，本文作者基于Filonenko?Borodich雙參數(shù)地基模型，綜合考慮加筋墊層的“柔性筏板效應(yīng)”與“網(wǎng)兜效應(yīng)”，同時(shí)考慮樁土變形，根據(jù)Bessel復(fù)變函數(shù)推導(dǎo)出加筋墊層的撓曲變形的解析函數(shù)，進(jìn)而得出樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比和沉降的計(jì)算表達(dá)式，以期進(jìn)一步完善樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比與沉降的計(jì)算方法。

1 計(jì)算模型及基本假設(shè)

取如圖1所示的單樁影響范圍內(nèi)的典型單元體進(jìn)行分析，樁體直徑為，中心距為d，單樁加固范圍直徑為e，正方形布樁時(shí)，e=1.13d，梅花形布樁時(shí)，e=1.05d。

圖1 樁網(wǎng)復(fù)合地基示意圖

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算進(jìn)行如下假定。

1) 樁網(wǎng)復(fù)合地基計(jì)算模型如圖2所示，將單樁加固范圍內(nèi)的加筋墊層視為置于Filonenko?Borodich雙參數(shù)地基模型[13]上的彈性圓薄板，其中筋材拉力可用下式求得：

其中：g為筋材平均應(yīng)變；g為加筋體的抗拉剛度。

2) 樁體對(duì)薄板的豎向支撐力p為均布力，根據(jù)文獻(xiàn)[6]，[10]及[11]，樁與樁間土變形均符合Winkler地基模型；

3) 不考慮差異沉降所引起的路堤荷載重分布的情況，即路堤荷載為均布荷載[7?8, 11]。

2 樁頂加筋體變形分析

令1()表示樁頂加筋體的撓曲函數(shù)，根據(jù)Filonenko?Borodich雙參數(shù)地基模型，在路堤荷載與樁頂反力p共同作用下，樁頂加筋體的控制微分方程為

式(2)所對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為

式中：J，Y分別為第一類和第二類階Bessel函數(shù)；1，2，3和4為待定常數(shù)。

均布荷載及支持力p作用下，式(2)的特解為，結(jié)合式(4)，因此樁頂薄板撓曲變形函數(shù)為

3 樁間土頂部薄板變形分析

令2()表示樁頂薄板的撓曲函數(shù)，在均布荷載與地基土支撐作用下，樁間土頂部薄板的控制微分方程為

式中：s為樁間土基床系數(shù)。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，令

式(6)所對(duì)應(yīng)的齊次方程可轉(zhuǎn)化為如下形式：

由式(7)可知：21與22根據(jù)2?4s的正負(fù)分為實(shí)數(shù)與虛數(shù)2種情況，而2種情況下方程(8)的解不同。下面就這2種情況進(jìn)行討論。

1) 當(dāng)2≥4s時(shí)，令

式(8)的通解為

式中：N為第二類階虛變量Bessel函數(shù)；5，6，7和8為待定常數(shù)。

均布荷載作用下，式(6)的特解為2*=/s，結(jié)合式(10)，可得2≥4s時(shí)，樁間土頂部薄板撓曲變形函數(shù)：

(11)

2) 當(dāng)2＜4s時(shí)，式(6)的通解可構(gòu)造[13]為

式中：u和v分別為階第一類Bessel函數(shù)的實(shí)數(shù)部分與Hankel函數(shù)的實(shí)數(shù)部分；f和g分別為階Bessel函數(shù)的虛數(shù)部分與Hankel函數(shù)的虛數(shù)部分。

4 待定系數(shù)求解

要最終確定薄板的撓曲函數(shù)，還要對(duì)式(5)，(11)和(12)中的未知參數(shù)1，2，…，8及p通過(guò)邊界及連續(xù)條件進(jìn)行求解。

由于圓板中心處(=0)的薄板轉(zhuǎn)角為0，可得2=3=0。

在樁土交界處，薄板撓度、轉(zhuǎn)角、徑向彎矩以及剪力的連續(xù)條件如下：

此外，根據(jù)假設(shè)(2)，樁土交界處圓板的撓度1(/2)為

樁頂反力p為上部路堤荷載與墊層向樁體轉(zhuǎn)移荷載之和，即

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，單元體=e/2處轉(zhuǎn)角與剪力邊界條件如下：

同時(shí)，根據(jù)薄板撓曲函數(shù)式(5)，(11)及(12)，可得薄板轉(zhuǎn)角、徑向彎矩、剪力表達(dá)式如下。

1) 在樁頂范圍內(nèi)，即0≤≤/2時(shí)，

2) 在樁間土范圍內(nèi)，即e/2≤≤/2時(shí)，分2種情況考慮。

①當(dāng)2≥4s時(shí)，

②當(dāng)2≥4s時(shí)，為簡(jiǎn)化表達(dá)，令，，根據(jù)歐拉公式可得

結(jié)合式(20)，可得

(21)

式中：Z()(其中=1，2，3，4)分別表示u()，v()，f()，g()。

根據(jù)上述分析，聯(lián)立方程(14)~(17)可求出1，4，…，8及p，從而得到板的撓度表達(dá)式。

5 樁土應(yīng)力比及沉降計(jì)算

由上述分析可知：如計(jì)算前已知筋材應(yīng)變，可直接利用式(1)計(jì)算筋材拉力，進(jìn)行待定系數(shù)求解。然而，多數(shù)工程中并未事先對(duì)筋材變形進(jìn)行測(cè)量，針對(duì)此類情況，曹新文等[4]通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，路堤荷載下筋材平均應(yīng)變與沉降近似成如下關(guān)系：

式中：和為相關(guān)擬合參數(shù)，可根據(jù)沉降計(jì)算位置，按文獻(xiàn)[4]中所列表格選取，試驗(yàn)中所采用的格柵抗拉剛度為50 kN/m。

根據(jù)上述研究成果，選取加筋體最大撓度2(e/2)作為式(22)中沉降，筋材拉力未知情況下，待定系數(shù)的求解步驟如下：

1) 假定初始拉力0(0可以取很小的值)，將其代入式(2)與式(6)中求解加筋墊層的撓曲函數(shù)，得到1(/2)與2(e/2)；

2) 將前一次得到2(e/2)作為，代入式(22)，并結(jié)合式(1)求得拉力，而后重新將代入式(2)與式(6)，求解加筋墊層的撓曲函數(shù)，得到1(/2)與2(e/2)；

3) 選定誤差，將所得到1(/2)和2(e/2)并與前一次的結(jié)果進(jìn)行比較，若比較結(jié)果均小于誤差，則停止計(jì)算，否則繼續(xù)按照?步驟2)和3)進(jìn)行迭代計(jì)算。

上述步驟流程如圖3所示。

圖3 計(jì)算流程示意圖

得到加筋墊層的撓曲函數(shù)以及p后，由圖2所示的計(jì)算模型可見(jiàn)，根據(jù)方向受力平衡，可得樁間土頂部平均豎向應(yīng)力s為

則樁土應(yīng)力比可按下式計(jì)算[14]：

文獻(xiàn)[8]認(rèn)為：在大面積堆載情況下，樁頂沉降較小，可將樁間土沉降作為地基沉降，則

6 相關(guān)參數(shù)確定方法

6.1 樁體變形剛度p

為綜合考慮樁體變形過(guò)程中的非線性，樁體變形剛度取樁基載荷試驗(yàn)?曲線上割線斜率。

6.2 樁間土基床系數(shù)s

同樣為綜合考慮樁間土體變形過(guò)程中的非線性，樁間土基床系數(shù)s取載荷試驗(yàn)?曲線上割線斜率，如無(wú)實(shí)測(cè)資料，也可遵照地區(qū)經(jīng)驗(yàn)取值，或按照下式確定：

式中：s為土體變形模量，多層土體按深度加權(quán)平均；s為土層厚度。

6.3 墊層計(jì)算厚度

從加筋材料與散體材料樁共同作用的角度出發(fā)，取加筋材料及其所包裹的填料所形成的復(fù)合結(jié)構(gòu)的厚度，若為多層格柵，即為頂層與底層格柵之間的距離作為薄板厚度；若為土工格室，則可直接取土工格室的厚度。

6.4 墊層復(fù)合彈性模量

對(duì)于格柵墊層，鄭俊杰等[9]給出了其復(fù)合彈性模量的確定方法，即取格柵彈性模量與墊層填料的變形模量的加權(quán)平均值；對(duì)于土工格室，楊明輝等[15]通過(guò)疊梁試驗(yàn)給出了不同型號(hào)土工格室配合各種常用填料所構(gòu)成的多種格室墊層的平均彈性模量。

7 算例及參數(shù)分析

7.1 算例1

遂渝鐵路DK10+320和DK10+336試驗(yàn)路段軟土地基按樁網(wǎng)復(fù)合地基技術(shù)處理[4]，樁體為粉噴樁，直徑=0.50 m，樁中心距d=1.0 m，梅花形布樁e= 1.05 m，粉噴樁樁頂鋪設(shè)雙層雙向抗拉剛度為50 kN/m的土工格柵，間距為30 cm。地基為第四紀(jì)洪積松軟土，基巖為泥巖，上部填土荷載重度s=20 kN/m3，路基填筑高度=10m，碎石墊層c=25 kN/m3。根據(jù)靜載試驗(yàn)，樁體變形剛度系數(shù)為p為2 000 kN/m。薄板厚度取0.3 m，復(fù)合彈性模量為52 MPa，泊松比為0.3，其他計(jì)算參數(shù)如表1所示。

表1 試驗(yàn)路段軟土地基部分計(jì)算參數(shù)

Table 1 Partial calculation parameters for soft foundation

路堤中心沉降及土工格柵加筋墊層下方樁土應(yīng)力比的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較見(jiàn)表2。

表2 算例1沉降與樁土應(yīng)力比計(jì)算結(jié)果

DK10+336試驗(yàn)段地基沉降隨路堤填土高度的變化如圖4所示。由表2及圖4可見(jiàn)：本文方法得出的雙層土工格柵樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比及沉降均與實(shí)測(cè)值較接近。

1—實(shí)測(cè)值；2—計(jì)算值。

7.2 算例2

湖南某高速公路軟土地基試驗(yàn)路段采用土工格室+攪拌樁復(fù)合地基進(jìn)行處理，攪拌樁直徑為0.50 m，樁間距d=1.2 m，梅花形布樁，樁頂填筑1層厚30 cm砂墊層，中心設(shè)置1層厚度為10 cm的土工格室。地基為淤泥質(zhì)黏土，上部填土荷載重度s= 20 kN/m3，試驗(yàn)路段路基填筑高度4 m。實(shí)測(cè)沉降為5.3 cm，樁土應(yīng)力比為。樁體變形剛度系數(shù)p為2 355 kN/m，處理后樁間土基床系數(shù)s為1 024 kN/m3，薄板厚度為0.10 m，復(fù)合彈性模量為40 MPa，復(fù)合泊松比取0.3。

經(jīng)計(jì)算樁土應(yīng)力比與沉降如表3所示。

表3 算例2沉降與樁土應(yīng)力比計(jì)算結(jié)果

Table 3 Results of settlement and pile-soil stress ratio for example 2

由表3可知：本文計(jì)算所得樁土應(yīng)力比較文獻(xiàn)[11]方法更為接近實(shí)測(cè)值，此外，沉降與實(shí)測(cè)值也較為接近。這是由于本文較文獻(xiàn)[11]方法，考慮了格室體的抗拉作用。

7.3 參數(shù)分析

為進(jìn)一步探討分析加筋墊層復(fù)合彈性模量、格柵拉力、樁土剛度比等對(duì)樁網(wǎng)復(fù)合地基沉降及樁土應(yīng)力比的影響，以算例2中參數(shù)為基礎(chǔ)，針對(duì)上述因素進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)分析。

7.3.1 樁土剛度比對(duì)沉降及樁土應(yīng)力比的影響

不考慮筋材拉力的影響，引入p=4p/(π2)，表征樁體變形剛度及置換率的綜合影響，其他參數(shù)不變。

沉降與樁土剛度比的關(guān)系如圖5所示。可見(jiàn)：樁土剛度比對(duì)沉降的影響隨著彈性模量的增大而增大。而且同一彈性模量時(shí)，復(fù)合地基的沉降隨樁土剛度比增大而減小。但當(dāng)樁土剛度比超過(guò)一定值時(shí)，繼續(xù)增大樁土剛度比，對(duì)沉降的減小作用不大。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

樁土應(yīng)力比與樁土剛度比的關(guān)系如圖6所示。由圖6可見(jiàn)：不同彈性模量時(shí)，樁土剛度比與樁土應(yīng)力比兩者關(guān)系呈非線性，且彈性模量越小，非線性現(xiàn)象越明顯。此外，彈性模量越大，樁土剛度比對(duì)樁土應(yīng)力比影響就越明顯。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

7.3.2 筋材拉力對(duì)沉降及樁土應(yīng)力比的影響

沉降和樁土應(yīng)力比與筋材拉力的關(guān)系分別如圖7和圖8所示。由圖7和8可見(jiàn)：對(duì)于同一彈性模量，沉降隨筋材拉力增大而減小，而樁土應(yīng)力比隨拉力增大而增大。此外，對(duì)兩者的影響隨的增大而逐漸減弱。由此可見(jiàn)，當(dāng)墊層材料的彈性模量較小時(shí)，采用級(jí)配材料，適當(dāng)增大界面摩阻力可有效增大樁土應(yīng)力比，減小沉降。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

E/MPa：1—40；2—80；3—120；4—160。

8 結(jié)論

1) 樁網(wǎng)復(fù)合地基沉降隨樁土剛度比、格柵拉力及加筋墊層復(fù)合彈性模量的增大而減小。樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比隨樁土剛度比、加筋墊層復(fù)合彈性模量及格柵拉力的增大而增大。當(dāng)加筋墊層抗彎剛度較小時(shí)，筋材抗拉作用對(duì)樁土應(yīng)力比、沉降的影響不能忽略。

2) 準(zhǔn)確測(cè)定墊層復(fù)合彈性模量、格柵應(yīng)變以及樁、土變形剛度是采用本文方法計(jì)算的關(guān)鍵。

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(編輯 趙俊)

Calculation of pile-soil stress ratio and settlement of pile-net composite foundation based on elastic foundation plate

ZHAO Minghua1, LIU Meng1, MA Binhui2, LONG Jun1

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. College of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

The horizontal reinforced mattress was regarded as a thin plate based on the Filonenko?Borodich double-parameter foundation model. Piles and the surrounding soils were simplified as springs with different rigidities. According to static equilibrium of the model, the governing differential equation was established with consideration of the bending and tension of the reinforced mattress and the deformation of the pile and the soil. Using Bessel complex-variables functions, a deformation function of horizontal reinforced mattress was deduced. Then according to the deformation compatibility conditions, the formulas of the pile-soil stress ratio and settlement of the composite foundation were deduced relatively. Finally, two existing cases were employed for calculation and analysis. The influences of the tension force and the pile-soil stiffness ratio on the behavior of the composite foundation were also discussed respectively based on the current solution. The results show that the analysis results of the current solutions has a good agreement with the test results. The pile-soil ratio increases with the increase of the pile-soil rigidity ratio, composite modulus of reinforced mattress and tensile force of geosynthetic.

pile-net composite foundation; post-buckling; double-parameter foundation model; pile-soil stress ratio; settlement

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.06.026

TU 470

A

1672?7207(2016)06?2007?08

2015?06?15；

2015?09?04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51078138，51308208)(Projects(51078138, 51308208) supported by the National Natural Science Foundation of China)

趙明華，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事樁基礎(chǔ)、軟土地基處理研究；E-mail：mhzhaohd@21cn.com