始于湊數(shù)，經(jīng)歷調(diào)整， 建立模型

徐英飛

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版四年級下冊第103頁。

【課前思考】

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中，現(xiàn)被編排在人教版四年級下冊。筆者曾以“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有11個頭，從下面數(shù)，有28只腳。雞和兔各有幾只？”為例，做過兩次前測，一次是農(nóng)村小學(xué)的一個四年級班（39人，從未學(xué)過奧數(shù)），結(jié)果只有2人湊出了正確結(jié)果，另一次是城鎮(zhèn)小學(xué)的一個四年級班（43人），結(jié)果只有9人得出了正確結(jié)果（包括學(xué)過“假設(shè)法”的5人），這說明“雞兔同籠”問題真的很難。當(dāng)時也讓會假設(shè)法的學(xué)生給大家說一說，結(jié)果大家都聽不懂，但湊數(shù)法沒怎么說就明白了。因此，只有“湊數(shù)和調(diào)整”才是解決“雞兔同籠”問題最好的方法。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷“猜測、調(diào)整”的過程，建立“兔雞同籠”問題的解題模型。

2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

3.激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重點】

讓學(xué)生學(xué)會一種解決問題的策略“猜測、調(diào)整”。

【教學(xué)難點】

怎樣調(diào)才能一步到位。

【教學(xué)過程】

一、談話引入

師：（直接出示課題）同學(xué)們，今天這節(jié)課我們要研究“雞兔同籠”問題，你猜猜看，它可能要我們研究點什么？

二、探究新知

1.初步感知

課件出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有11個頭，從下面數(shù)，有30只腳。雞和兔各有幾只？

師：請同學(xué)們自主讀題，嘗試解決。

師：誰愿意匯報？

預(yù)設(shè)一：假設(shè)法，假設(shè)全部是雞或全部是兔。

預(yù)設(shè)二：湊數(shù)法（如右圖），先猜雞是5只，兔是6只，結(jié)果總結(jié)腳多了4只，于是又猜雞是6只，兔是5只，結(jié)果還是多2只，最后換成雞是7只，兔是4只，正確了。

師：有的同學(xué)用了“假設(shè)全部是雞或全部是兔”的方法，但我們都聽不懂，而另一種“先猜測再調(diào)整”的方法，卻讓我們一看就明白了，你愿意用這種方法試試嗎？

課件出示例2：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有14個頭，從下面數(shù)，有44只腳。雞和兔各有幾只？（讓學(xué)生用“猜測、調(diào)整”的方法嘗試）

組織展示和交流（不同的學(xué)生選擇的數(shù)據(jù)可能會不同，但本質(zhì)是一樣的：都是從不正確調(diào)整到正確。交流中可以滲透列表法和畫圖法，比如下圖）。

（設(shè)計意圖：通過例1，能讓學(xué)生初步感知“湊數(shù)法”，通過例2，可以讓學(xué)生初步運用“湊數(shù)法”，經(jīng)歷了“猜測與調(diào)整”之后，再去尋找“怎樣調(diào)才能一步到位”的規(guī)律，就容易多了。）

2.探究規(guī)律

課件出示例3：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有108只腳。雞和兔各有幾只？讓學(xué)生自主解答。

組織匯報和交流（學(xué)生的方法肯定很多，但因數(shù)據(jù)的原因，大多數(shù)方法調(diào)整起來比較麻煩）。

師：我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)大了，猜測的結(jié)果往往與正確結(jié)果相差比較大，這時候調(diào)整起來就比較麻煩。那么怎樣調(diào)才能一步到位呢？請同學(xué)們繼續(xù)探究。

師：誰愿意匯報一下自己的發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：（如右圖）假設(shè)雞有5只，兔有30只，則總腳數(shù)是130只，比正確數(shù)多22只，所以需要加雞減兔，因為一只兔換成一只雞會減少2只腳，所以要減少22只腳的話，可把11只兔換成11只雞。

師：11只是怎么得出來的？（22÷2=11）

師：請大家再完整地寫一寫算式。

預(yù)設(shè)：5×2+30×4=130（只）130-108=22（只）22÷2=11（只）5+11=16（只）30-11=19（只）

師：如果是猜20只雞，15只兔，你能一步調(diào)整到位嗎？請試一試。

預(yù)設(shè)：20×2+15×4=100（只），108-100=8（只），比正確數(shù)少8只，所以要減4只雞加4只兔。

師：通過剛才一系列研究，你們覺得可以怎樣解決“雞兔同籠”問題？

預(yù)設(shè)：只要總頭數(shù)正確，雞和兔的只數(shù)可以任意猜，然后再根據(jù)總腳數(shù)進行調(diào)整。

（設(shè)計意圖：通過這部分的教學(xué)，能讓學(xué)生經(jīng)歷多次的“猜測、調(diào)整”過程，既鞏固了解決“雞兔同籠”問題的方法，又發(fā)現(xiàn)了“怎樣調(diào)才能一步到位”的規(guī)律。）

3.溝通聯(lián)系

師：我們再回到例1，剛開始的時候，有同學(xué)用了“假設(shè)全部是雞或全部是兔”的方法?，F(xiàn)在你們能看懂嗎？

預(yù)設(shè)：假設(shè)全部是雞，其實就是猜雞11只，兔0只，所以總腳是（11×2）22只，比正確數(shù)少了（30-22）8只，因此要減4只雞加4只兔，即雞是7只，兔是4只。

師：所以假設(shè)“全部是雞或全部是兔”，也是“猜測、調(diào)整”的方法。

（設(shè)計意圖：經(jīng)歷了“猜測與調(diào)整”，再去看“假設(shè)法”的時候，就十分簡單了，再加上前面的“列表法”和“畫圖法”，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)所有的方法，殊途同歸。）

三、練習(xí)鞏固

1.自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

2.全班一共有38人，共租了8條船，每條小船坐4人，每條大船坐6人，每條船都坐滿了。大、小船各租了幾條？

（設(shè)計意圖：通過變式題的練習(xí)，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的很多問題都可歸結(jié)為“雞兔同籠”問題類型。通過這些問題的解決，既拓寬了思路，又鞏固了解題模型。）