數(shù)形結(jié)合在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

程國祥

客觀世界是一個普遍聯(lián)系的整體，任何事物都不是孤立存在的，而是通過各種方式與其他事物相互依賴、相互作用、相互制約.數(shù)學(xué)研究的兩類基本對象——數(shù)與形，亦是如此.在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以把有些數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)問題或者把有些圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系問題來研究，即以“形”助“數(shù)”或以“數(shù)”賦“形”.數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是將形象直觀的圖形與抽象的數(shù)學(xué)語言符號聯(lián)系起來，將形象思維和抽象思維結(jié)合起來，從而通過形象直觀的圖形實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，達到化難為易、化繁為簡的目的.

一、數(shù)形結(jié)合在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”可見，數(shù)形結(jié)合對數(shù)學(xué)研究的重要性.中職教材（江蘇省職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教材編寫組編的《數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)模塊）中的每一章教學(xué)內(nèi)容都可以用到數(shù)形結(jié)合的方法.

在《集合》教學(xué)中，數(shù)集可借助于數(shù)軸，點集可借助于平面直角坐標系，集合與集合的關(guān)系可借助于維恩圖，這樣把抽象的問題具體化，以形助數(shù).例如：某職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組有13名學(xué)生，計算機興趣小組有12名學(xué)生，已知這兩個興趣小組共有20名學(xué)生，請問：有多少名學(xué)生同時參加了這兩個興趣小組？此題借助于維恩圖，不難得到答案：13+12-20=5.

在《函數(shù)》的教學(xué)中，由于函數(shù)內(nèi)容本身具有抽象性，而中職生在抽象思維水平方面存在不足，因此在本章的教學(xué)中可采取“直觀領(lǐng)路，抽象跟進”的教學(xué)思路.用圖像、表格等形式讓學(xué)生認識函數(shù)，對函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的研究應(yīng)當基于對直觀圖像的分析.例如：判斷函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間、奇偶性.可先畫出該函數(shù)的圖像，從圖像上可直觀地得出其單調(diào)區(qū)間、奇偶性.

在《三角函數(shù)》教學(xué)中，讓學(xué)生畫角理解正角、負角、零角；通過三角形的相似說明三角函數(shù)值與角終邊上的點的位置關(guān)系無關(guān)；三角函數(shù)的定義域、值域反映了圖像在直角坐標平面內(nèi)展開的范圍，單調(diào)性反映了圖像的升降，奇偶性反映了圖像關(guān)于y軸或原點的對稱，周期性反映了圖像沿x軸方向每隔一定距離重復(fù)出現(xiàn)；通過單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、比較大小、解三角不等式、討論方程實根的個數(shù)，推導(dǎo)誘導(dǎo)公式等.例如：判斷方程sinx=lgx解的個數(shù).此題畫出函數(shù)y=sinx與y=lgx的圖像（如圖1，注意兩個圖像的相對位置關(guān)系）.觀察圖像的交點，可得出結(jié)論：3個.

在《平面向量》教學(xué)中，平面向量集數(shù)、形于一體，具有代數(shù)與幾何的“雙重身份”，是數(shù)形結(jié)合的橋梁.向量的加法、減法、數(shù)乘都具有幾何意義，用平行四邊形法則、三角形法則說明向量的加減法；在直角坐標系中用坐標表示平面向量，用坐標判斷向量與向量間的平行（共線）、相等、相反關(guān)系，用直角坐標運算的規(guī)律進行向量的加法、減法、數(shù)乘運算，用向量起點、終點的坐標表示向量的坐標.例如：已知平行四邊形ABCD的頂點A（-2，-1），B（3，0），C（2，3），求第4個頂點D的坐標.本題的解法之一，就是構(gòu)造向量的相等，通過向量的坐標運算解決.

在《直線與圓的方程》教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法在本章教學(xué)中得到很好的體現(xiàn)，是貫穿于本章教學(xué)始終的重要方法，是突破本章教學(xué)難點的重要方法，是解決本章問題的基本思想方法.從兩點間距離公式、中點公式，直線的傾斜角、斜率，到討論直線、圓的方程，以及它們之間的位置關(guān)系都應(yīng)該做到數(shù)形結(jié)合，這樣能讓學(xué)生更好地理解本章教學(xué)內(nèi)容.例如：判斷直線x+y-4=0與x+y=9圓的位置關(guān)系.本題可以用圓心到直線的距離與半徑的大小比較判斷.

在《立體幾何》教學(xué)中，棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等立體幾何圖形中描述其相關(guān)特征的量都是用符號表示的，在求它們的全面積、體積時要將公式中符號所表示的幾何特征與圖形對應(yīng)起來.例如：已知圓錐的母線長為5，底面半徑為3，求其體積.先作圖，不難得到圓錐的母線長、高、底面半徑三者間的關(guān)系，由勾股定理可求得高為4，最后代入體積公式中可求出其體積.

在《概率統(tǒng)計》教學(xué)中，用維恩圖表示隨機事件的關(guān)系，借助于幾何圖形的性質(zhì)輔助解決概率問題；利用頻率分布直方圖對總體分布規(guī)律進行估計；利用散點圖直觀體現(xiàn)兩個變量之間的線形相關(guān)關(guān)系.例如：甲乙兩人約定于下午2點至下午3點在某地會面，先到者等20分鐘后離去，求兩人能會面的概率.假設(shè)甲乙兩人到達的時刻分別2點x分，2點y分，當|x-y|≤20能會面（即圖3中的陰影部分）.用陰影面積除以正方形面積即為所求概率.

二、數(shù)形結(jié)合的作用

通過教學(xué)實踐證明，在教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，對中職生是大有裨益的

1.激發(fā)中職生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。愛因斯坦認為：“興趣是最好的老師.”通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)美，讓中職生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，從而使中職生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生深厚情感、濃厚的興趣和強烈的求知欲；讓中職生消除對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的恐懼心態(tài)，讓中職生從“要我學(xué)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)數(shù)學(xué)”.

2.提高中職生的思維能力。人的左、右半腦的功能各有特征，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，右半腦功能則偏重于形象思維，如果互相補充就會使大腦功能更健全和發(fā)達.數(shù)形結(jié)合就同時運用了左、右半腦的功能，促進了中職生的形象思維能力、邏輯思維能力的同步發(fā)展.能夠促進中職生多層次、多角度、全方位地思考問題，讓中職生養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣.同時也提高中職生對數(shù)學(xué)知識的記憶和理解.

三、運用數(shù)形結(jié)合的思想方法注意點

1.在解決數(shù)學(xué)問題時，是選擇用代數(shù)方法還是選擇用幾何方法，還是選擇用數(shù)形結(jié)合方法，是取決于用哪種方法更簡便、容易讓學(xué)生接受，而不要刻意用數(shù)形結(jié)合.

2.數(shù)形結(jié)合時，幾何問題與代數(shù)問題的轉(zhuǎn)換要是等價的，否則就很有可能會出現(xiàn)漏洞.并且，由于圖形的局限性，圖形的性質(zhì)只是直觀而淺顯的說明，而不能完整地表現(xiàn)數(shù)的特性.

3.在數(shù)形結(jié)合時，既要進行代數(shù)抽象的分析，又要進行幾何直觀的分析，兩者是相輔相成的，不能僅對幾何問題進行代數(shù)分析，或者僅對代數(shù)問題進行幾何分析.

4.數(shù)形結(jié)合時畫圖要基本準確，切忌隨意畫圖.

5.要合理運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，就要熟練掌握某些概念、運算的幾何意義和常見圖形的代數(shù)特征，做到胸中有圖，見數(shù)想圖.

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