從一道中考題談相似三角形的單元試題命題

張先進(jìn)

2011年三明中考數(shù)學(xué)第23題：在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖①）.

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖②），求PC的長；

（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止.在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：

（1）tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；

（2）直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長.

中考是初中學(xué)生學(xué)習(xí)的終結(jié)性考試，近年來中考數(shù)學(xué)試題在關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能的考查的同時，也強(qiáng)調(diào)了在較復(fù)雜的幾何圖形中分解出簡單的基本圖形能力.有一些基本圖形，需要在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生觀察、思考、概括、提煉才能形成模型.下面我就以這道相似題為例談?wù)剬ο嗨迫切螁卧囶}命題的一些看法.

試題中第一問考什么呢？考相似三角形的判定.這在相似三角形單元教學(xué)中，是一個常見的基礎(chǔ)題.

荷蘭著名教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種‘再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生.”

一題多變可引導(dǎo)學(xué)生積極思考，可挖掘思維深度.我們可把這常見的題型進(jìn)行如下改變.

一、改變題目的形式

和全等三角形教學(xué)類比，有這樣一題：如圖②，∠B=90°，∠D=90°，C為BD上一點(diǎn)，且AB=CD，BC=DE，求證：AC=CE.

四、進(jìn)行變式訓(xùn)練

1.如下圖，小明為了測量一高樓MN的高，在離N點(diǎn)20m的A處放了一個平面鏡，小明沿NA后退到C點(diǎn)，正好從鏡中看到樓頂M點(diǎn)，若AC=1.5Mm，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請你幫助小明計算一下樓房MN的高度（精確到0.1m）.

2.（2012朝陽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊上一動點(diǎn)（不與B、C重合）.連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交DC于點(diǎn)F.

（1）求證：△ABE∽△ECF；

（2）連接AF，試探究當(dāng)點(diǎn)E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結(jié)論.

在相似三角形單元試題命題時，抓住基礎(chǔ)題型，基本圖形，適當(dāng)進(jìn)行延伸、拓展，有助于教學(xué)，有利于學(xué)生理解，有助于我們理清平時的教學(xué)思路，調(diào)整平時的教學(xué)重點(diǎn)，彌補(bǔ)平時的教學(xué)不足之處.

在相似三角形單元試題命題時，從基礎(chǔ)入手，把握教材、理解教材，通過對習(xí)題的編制，為學(xué)生提供更廣闊的學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的空間，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

從2011年中考這道題中，體現(xiàn)了基礎(chǔ)的重要性，雖然是一道綜合題，但分解開來，是一個個基礎(chǔ)的問題，這就要求我們在單元試題命題時，從課程標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，從教材入手，進(jìn)行延伸、拓展，對于這次我們所說的這道基礎(chǔ)題，通過對它的改編、測試、講評與類比，學(xué)生對一般性結(jié)論的探尋有了自己的思考；對于相似、相近知識之間的銜接點(diǎn)有了更清晰的認(rèn)識；更利于學(xué)生形成屬于自己的知識網(wǎng)絡(luò).當(dāng)然學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想的形成是一個長期過程，要在今后的學(xué)習(xí)中慢慢積累.

在掌握基礎(chǔ)題型、基本圖形后，對于試題命題的研究還是不夠的，我們還要進(jìn)行串聯(lián)不同的問題，類比編題等.

串聯(lián)不同的問題：

（2015漢陽區(qū)校級模擬）在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖①）.

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖②），PC的長為？搖？搖；

（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止.在這個過程中（如圖①是該過程的某個時刻），請你觀察、猜想，并解答：∠PEF的值是否發(fā)生變化？請簡單說明理由.

（3）連接PB，如圖③，在直角尺旋轉(zhuǎn)過程中，隨著點(diǎn)E和F位置的改變，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，當(dāng)BE=PE時，EF垂直平分PB，請計算求出這時點(diǎn)E在距離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

類比編題：

2009-2010年安岳縣九年級上數(shù)學(xué)期末試題：

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺（曲尺）MPN的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動到某點(diǎn)（點(diǎn)P與A、D不重合），射線PN經(jīng)過點(diǎn)C，身線PM交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F.

（1）求證：Rt△AEP∽Rt△DPC；

（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長等于△AEP周長的4倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，點(diǎn)E能與B重合嗎？若能，求出重合時DP的長，若不能，說明理由；

（4）認(rèn)為線段FC的長有最大值嗎？有最小值嗎？（直接回答，不必說明理由）

命題與課堂教學(xué)一樣，是一門藝術(shù)，章建躍教授提出數(shù)學(xué)教學(xué)的三個理解：理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué).這在單元試題命題時，要符合好的數(shù)學(xué)題目的標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從簡單的、特殊的問題入手，將問題向一般進(jìn)行拓展、變式，引導(dǎo)學(xué)生先對簡單的、特殊的問題進(jìn)行分析獲得靈感來解決一般的、變化的、拓展的問題.單元試題命題不僅關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注學(xué)習(xí)的過程，讓學(xué)生處于熟悉而陌生的情景中，把知識、經(jīng)驗(yàn)、方法、思想結(jié)合起來分析探索，找到解題的思路，從而達(dá)到章建躍教授提出數(shù)學(xué)教學(xué)的三個理解.

好的單元試題命題對教學(xué)起了良好的導(dǎo)向作用，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解.從這道中考題中得到啟發(fā)，平時單元試卷的命題，以教材為本、從基礎(chǔ)入手，符合學(xué)生的實(shí)際，理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué).