動(dòng)態(tài)載荷辨識(shí)問題的正則化求解新方法*

王　鋒， 武　龍， 張小慶， 賀　偉

(1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心超高速空氣動(dòng)力研究所高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 四川 綿陽 261000；2.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心吸氣式高超聲速技術(shù)研究中心， 四川 綿陽 261000)

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動(dòng)態(tài)載荷辨識(shí)問題的正則化求解新方法*

王鋒1， 武龍2， 張小慶2， 賀偉2

(1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心超高速空氣動(dòng)力研究所高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 四川 綿陽 261000；2.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心吸氣式高超聲速技術(shù)研究中心， 四川 綿陽 261000)

Tikhonov正則化方法是求解載荷辨識(shí)問題的有效方法，正則化參數(shù)的確定是影響求解準(zhǔn)確性的關(guān)鍵問題。提出了一種新方法——虛擬載荷法，以虛擬載荷向量的范數(shù)最小作為正則化參數(shù)確定準(zhǔn)則，將載荷辨識(shí)問題轉(zhuǎn)化為單參數(shù)優(yōu)化問題，用一維搜索法求得最優(yōu)解。通過將法方程的系數(shù)矩陣預(yù)先進(jìn)行三對(duì)角化，建立了高效的求解算法。通過兩個(gè)數(shù)值算例對(duì)新方法進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果表明新的參數(shù)確定準(zhǔn)則是有效的，基于該準(zhǔn)則得到的載荷辨識(shí)結(jié)果具有滿意的精度。

載荷辨識(shí)； 反問題； Tikhonov正則化； 正則化參數(shù)

引　言

結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)載荷辨識(shí)是根據(jù)測(cè)量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)(位移、速度、加速度或應(yīng)變等)信息，結(jié)合已知的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性，反求結(jié)構(gòu)所受激勵(lì)的過程，屬于反問題的一種，有重要的科學(xué)研究價(jià)值，也有著廣泛的工程應(yīng)用。載荷辨識(shí)方法大致可分為頻域法和時(shí)域法，前者研究較早，方法較成熟，主要通過對(duì)關(guān)心頻段上的系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣求逆來實(shí)現(xiàn)載荷識(shí)別[1-2]，比較適用于穩(wěn)態(tài)或平穩(wěn)隨機(jī)載荷的識(shí)別[3-4]。時(shí)域方法直接從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程(微分或積分形式)出發(fā)，建立整個(gè)待辨識(shí)時(shí)段上載荷輸入與結(jié)構(gòu)輸出的關(guān)系方程，即辨識(shí)方程，通過求逆運(yùn)算，一次得到整個(gè)時(shí)段上的載荷。然而，辨識(shí)方程通常是病態(tài)的，解對(duì)輸出測(cè)量噪聲十分敏感，幾乎不可能用常規(guī)的矩陣求(廣義)逆的方法直接求解，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼齽t化處理，基于原來不適定的問題構(gòu)建一個(gè)參數(shù)化的適定問題，通過適當(dāng)選擇控制參數(shù)來使適定問題的解落在原問題解的一個(gè)可接受的鄰域內(nèi)。針對(duì)科學(xué)和工程中遇到的各種反問題，人們已提出了多種正則化方法[5-7]，如Tikhonov正則化方法、奇異值截?cái)喾椒?、迭代正則化方法等等，其中Tikhonov方法是比較常用的。對(duì)每種正則化方法，其最優(yōu)正則化參數(shù)的選取準(zhǔn)則都是影響辨識(shí)結(jié)果的關(guān)鍵因素，是非常重要的研究內(nèi)容。

本文采用Tikhonov正則化方法求解載荷辨識(shí)問題，提出了一種新的準(zhǔn)則來選取正則化參數(shù)，新準(zhǔn)則基于力學(xué)概念提出，物理意義明確，而且計(jì)算簡單。

1　載荷辨識(shí)的數(shù)學(xué)模型

考慮含測(cè)量傳感器的線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其一般形式的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

y=Rx

(2)

此即載荷辨識(shí)問題的數(shù)學(xué)模型。為了保證解的唯一性并有利于提高辨識(shí)精度，通常要求結(jié)構(gòu)的測(cè)點(diǎn)數(shù)不少于待辨識(shí)的載荷數(shù)目。方程(2)通常是病態(tài)的，即使y中僅含有微小的誤差，直接求解y=Rx得到的解也會(huì)嚴(yán)重偏離真值，從而失去意義。而實(shí)際中，測(cè)量誤差是不可避免的。

2　Tikhonov正則化方法

Tikhonov正則化方法將問題(2)變?yōu)閰?shù)化的變分問題，用如下最小化問題的解作為其近似解[10-12]

(3)

式中α(>0)是正則化參數(shù)。等號(hào)右邊的第一項(xiàng)使近似解xα盡量滿足等式(2)，但又不能使其嚴(yán)格成立，因?yàn)閥中噪聲會(huì)使解x嚴(yán)重偏離真解，呈現(xiàn)高頻振蕩的形態(tài)，第二項(xiàng)的作用就是為了抑制x中的振蕩，使解盡量光滑，參數(shù)α用來在兩者之間進(jìn)行折中、平衡。對(duì)式(3)中的目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x求駐值，可得

(4)

式中I為單位矩陣。由于正則化參數(shù)α的取值決定著解的好壞，因此如何選取α是個(gè)重要的研究課題。很多研究者從不同的觀點(diǎn)出發(fā)，已經(jīng)建立了一些選取準(zhǔn)則和算法[7,13]，常用的有L曲線方法、交叉檢驗(yàn)方法、偏差準(zhǔn)則等，各種方法都有一定的優(yōu)缺點(diǎn)和適用條件，Bauer和Lukas對(duì)此作了比較全面的對(duì)比分析[14]。各種方法都是要盡量挖掘原問題可供利用的先驗(yàn)知識(shí)或設(shè)立某些假設(shè)，從而導(dǎo)出確定正則化參數(shù)的某種準(zhǔn)則。數(shù)學(xué)上，人們希望正則化解在真解的某個(gè)鄰域內(nèi)，但在缺少真解信息的情況下，其鄰域也就無從談起?，F(xiàn)有準(zhǔn)則通常主要是發(fā)掘利用輸出的有關(guān)信息。針對(duì)載荷辨識(shí)問題，下面給出一種新的準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則利用解的信息，具有明確的物理意義，而且計(jì)算簡單。

(5)

該準(zhǔn)則還可以按下式的意義來理解

(6)

即將虛擬載荷x2與真實(shí)載荷x1的能量之比和x1本身同時(shí)穩(wěn)定在盡可能小的水平。

不過‖x‖2隨α是單調(diào)減小的[13]，當(dāng)α→∞時(shí)，x(α)→0，從而‖x2‖2→0。于是，可以猜想，若α從0開始增加，‖x2‖2隨α的變化趨勢(shì)應(yīng)該是先減小(從大的振蕩趨向于真值0向量)，后增大(背離真值0向量)，再減小(因α的過正則化)，所以最佳正則化參數(shù)應(yīng)該位于使‖x2‖2從遞減轉(zhuǎn)為遞增的那個(gè)點(diǎn)。

3　求解算法

在求解問題(5)的過程中，需要反復(fù)解方程(4)，有必要對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理，以降低計(jì)算量。RTR為實(shí)對(duì)稱矩陣，存在正交矩陣H將其變?yōu)閷?duì)稱的三對(duì)角矩陣，具體算法可采用Householder變換[15]

HT(RTR)H=Q

(7)

令

(8)

帶入式(4)，并用HT左乘式(4)，再利用式(7)并注意H為正交矩陣，可得

(9)

上式中系數(shù)矩陣Q+αI為對(duì)稱三對(duì)角矩陣，可以用追趕法快速求解，比直接求解式(4)的計(jì)算量大幅下降。

問題(5)是個(gè)單參數(shù)優(yōu)化問題，采用一維搜索算法來求解[16]。首先尋找目標(biāo)函數(shù)的單谷區(qū)間，然后在此區(qū)間上用黃金分割法搜索最優(yōu)的α。根據(jù)前面的討論，因?yàn)楫?dāng)α從0開始增大時(shí)，‖x2‖2先遞減再遞增，所以，在搜索單谷區(qū)間時(shí)應(yīng)從一個(gè)充分小的α開始，以避免直接進(jìn)入后面的單調(diào)遞減區(qū)間，導(dǎo)致搜索失敗。此外，因?yàn)樵谧顑?yōu)的正則化參數(shù)附近，正則解對(duì)參數(shù)的變化十分敏感，也就是說‖x2‖2隨α的變化曲線在最優(yōu)解附近可能十分陡峭且狹窄，為了易于捕捉到包含最優(yōu)解的單谷區(qū)間，應(yīng)該在對(duì)數(shù)尺度下進(jìn)行搜索，即令α=10β，將β作為搜索變量，這樣，‖x2‖2隨β的變化曲線在最優(yōu)解附近會(huì)變得“平坦”和“寬闊”。

因?yàn)镽=[R1R2]，將方程(4)分解

(10)

而原問題對(duì)應(yīng)的方程是

(11)

當(dāng)x2不為零時(shí)，由式(10)解出的x1中包含了x2產(chǎn)生的附加干擾，為了得到更好的解，在確定了最優(yōu)的α之后，由式(11)來求出x1作為最終解。

綜上所述，問題的求解過程如下：

(1)將RTR變換為三對(duì)角矩陣，得到H和Q，計(jì)算式(9)的右端項(xiàng)；

(2)令α=10β，以β為自變量，搜索‖x2‖2隨β變化曲線的單谷區(qū)間，β的初始值為一個(gè)適當(dāng)?shù)呢?fù)數(shù)，在搜索過程中需針對(duì)不同的β求解方程(9)，再根據(jù)式(8)得到目標(biāo)函數(shù)值‖x2‖2；

(3)確定單谷區(qū)間[β1，β2]后，用黃金分割法在該區(qū)間上搜索最優(yōu)的β，得到對(duì)應(yīng)的正則化參數(shù)α；

在今年年初的時(shí)候，大部分人都無法準(zhǔn)確地預(yù)料得到今年的行情會(huì)如此之“慘”。如果是從春節(jié)作為行情劃分的調(diào)整時(shí)點(diǎn)算起，那么截止到2018年末，市場(chǎng)整整調(diào)整了11個(gè)月，這在A股歷史上都是較為“罕見”的。所以，2018年，帶給投資者的幾乎都是損失，只是每個(gè)人虧多虧少而已。所有的公募股票型主動(dòng)管理基金，都是以虧損告終。那只在今年6月30日才由原來保本型貨幣基金轉(zhuǎn)型而來的股票型基金，因?yàn)橐恢笨諅}到年末，反而拿了公募股票型基金的冠軍。這足以說明A股市場(chǎng)2018年的慘淡。

(4)由方程(11)解出原問題的解x1。

4　算例分析

4.1平面桁架載荷辨識(shí)

考慮一平面桁架結(jié)構(gòu)，如圖1所示，由79根長0.5 m、截面直徑15 mm的鋼質(zhì)桿構(gòu)成，在兩端簡支。假設(shè)在第31節(jié)點(diǎn)沿y方向作用一激勵(lì)載荷，如下

f(t)=100(1-cos2πω0t)sin6πω0t

(12)

其中，ω0=10 Hz。先積分求解系統(tǒng)的位移響應(yīng)，然后對(duì)測(cè)點(diǎn)的位移計(jì)算結(jié)果疊加一定強(qiáng)度的高斯白噪聲,模擬實(shí)際測(cè)量結(jié)果，噪聲的均方差按下式確定

(13)

式中yj表示第j個(gè)測(cè)量輸出向量，l是其長度，ny是選取的測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)，Δe是比例系數(shù)。

圖1　平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.1　Planar truss structure

在此，取第5和16節(jié)點(diǎn)的y向位移輸出來對(duì)f(t)進(jìn)行辨識(shí)，而虛擬載荷假設(shè)沿y方向作用于第6個(gè)節(jié)點(diǎn)上，噪聲比例系數(shù)Δe取0.01。輸出采樣步長取0.001 s，時(shí)長0.5 s。載荷辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)值的對(duì)比如圖2所示，二者吻合良好。圖3是計(jì)算得到的虛擬載荷歷程，其幅值相對(duì)于真實(shí)載荷較小，而且看上去類似零均值的噪聲，這是所期望的，說明真實(shí)載荷的信息沒有“泄露”到虛擬載荷上而影響到其辨識(shí)精度。

圖2　載荷辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)值的對(duì)比Fig.2　Comparison between true load and identified load

圖3　虛擬載荷辨識(shí)結(jié)果Fig.3　Identified fictitious load

作為對(duì)比，不加虛擬載荷，而基于L曲線方法確定正則化參數(shù)，用Hanson開發(fā)的工具箱[17]來求解，得到最佳參數(shù)為6.8924×10-16，圖4中標(biāo)出了其位置，比本文方法確定的參數(shù)值約小兩個(gè)量級(jí)，在該參數(shù)下得到的結(jié)果與真實(shí)載荷的對(duì)比如圖5所示，對(duì)噪聲的濾除效果稍差，辨識(shí)誤差比本文方法要大。

圖4　目標(biāo)函數(shù)隨正則化參數(shù)的變化Fig.4　Curve of objective function vs. regularization parameter

圖5　基于L曲線方法的載荷辨識(shí)結(jié)果Fig.5　Load identification results based on L-Curve method

可以想象，取不同的虛擬載荷作用點(diǎn)，得到的辨識(shí)結(jié)果應(yīng)該會(huì)有所不同。極端的情況是，虛擬載荷施加在真實(shí)載荷的作用點(diǎn)上并且方向相同時(shí)，兩者的作用效果相同，應(yīng)該無法辨識(shí)出真實(shí)載荷。因此，虛擬載荷的施加點(diǎn)應(yīng)避免與真實(shí)載荷作用點(diǎn)距離太近。為考察虛擬載荷作用點(diǎn)的影響，定義辨識(shí)誤差如下

(14)

圖6　虛擬載荷作用于不同節(jié)點(diǎn)時(shí)的辨識(shí)誤差Fig.6　Relative error history vs. action point of fictitious load

可見，當(dāng)選擇距離實(shí)際載荷作用點(diǎn)較近的節(jié)點(diǎn)時(shí)，辨識(shí)誤差較大，如第30，32節(jié)點(diǎn)處約6%，第10，11節(jié)點(diǎn)處約9%，而選擇實(shí)際載荷作用點(diǎn)第31節(jié)點(diǎn)時(shí)，誤差為100%，辨識(shí)失敗。而其余節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的辨識(shí)誤差都差別不大，均在3.5%左右，這說明方法對(duì)虛擬載荷作用點(diǎn)的選擇并不敏感。即使將作用點(diǎn)選在較差的第10節(jié)點(diǎn)，辨識(shí)結(jié)果也是可以接受的，其與真實(shí)載荷的對(duì)比如圖7所示，甚至優(yōu)于基于L曲線方法的結(jié)果。

圖7　虛擬載荷作用點(diǎn)選在節(jié)點(diǎn)10時(shí)的辨識(shí)結(jié)果Fig.7　Identification results when the 10th node is selected as action point of the fictitious load

4.2四邊固支板上的載荷辨識(shí)

考慮一矩形鋼板，長0.8 m，寬0.6 m，厚度2.5 mm，四邊固支。用有限元方法建模，單元?jiǎng)澐秩鐖D8所示。假設(shè)板上同時(shí)作用2個(gè)載荷，選取4個(gè)節(jié)點(diǎn)的撓度測(cè)量值來對(duì)其進(jìn)行辨識(shí)，使用1個(gè)虛擬載荷。圖8中，●表示真實(shí)載荷作用點(diǎn)，○表示虛擬載荷作用點(diǎn)，?為位移輸出測(cè)點(diǎn)。

圖8　矩形板網(wǎng)格及載荷作用點(diǎn)和測(cè)點(diǎn)分布Fig.8　Meshes of the plate, action points and measuring points

2個(gè)激勵(lì)載荷分別取間斷的三角形脈沖和連續(xù)的正弦信號(hào)，作用時(shí)長0.4 s。4個(gè)測(cè)點(diǎn)的位移響應(yīng)如圖9所示，采樣步長取0.001 s?？梢娖渲饕烧壹?lì)主導(dǎo)，兩次脈沖激勵(lì)僅引起相對(duì)較小的擾動(dòng)。

圖9　4個(gè)測(cè)點(diǎn)的位移輸出Fig.9　History of outputs from the four measurement points

圖10　載荷辨識(shí)結(jié)果Fig.10　Load identification result

虛擬測(cè)量噪聲強(qiáng)度的定義仍為式(13)，當(dāng)取Δe等于0.01時(shí)，2個(gè)載荷的辨識(shí)結(jié)果分別如圖10所示，與真實(shí)載荷吻合很好。此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)‖x2‖2隨α的變化曲線如圖11所示，變化規(guī)律依然符合預(yù)期。而采用L曲線準(zhǔn)則確定的最佳正則化參數(shù)為8.06×10-15，標(biāo)于圖11中，比本文方法確定的參數(shù)約小兩個(gè)數(shù)量級(jí)?；谠搮?shù)得到的辨識(shí)結(jié)果如圖12所示，與圖10相比，精度要差一些。

圖11　目標(biāo)函數(shù)隨正則化參數(shù)的變化Fig.11　Curve of objective function vs. regularization parameter

圖12　基于L曲線方法的載荷辨識(shí)結(jié)果Fig.12　Load identification results based on L-Curve method

現(xiàn)考察噪聲強(qiáng)度對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響。取不同大小的噪聲，辨識(shí)結(jié)果的誤差和對(duì)應(yīng)的最優(yōu)正則化參數(shù)列于表1，隨著噪聲的增大，辨識(shí)誤差隨之增大，最優(yōu)正則化參數(shù)也在增大，在對(duì)數(shù)標(biāo)度下均與噪聲大小近似成線性關(guān)系，如圖13所示。

表1　噪聲水平對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響

圖13　辨識(shí)誤差和最優(yōu)正則化參數(shù)隨噪聲水平的變化Fig.13　Variations of relative error and the optimal regularization parameter vs. level of noise

5　結(jié)　論

本文采用Tikhonov正則化方法求解線性結(jié)構(gòu)的載荷辨識(shí)問題，通過增加一個(gè)虛擬載荷，使增廣問題的解部分已知，從而給出確定最優(yōu)正則化參數(shù)的準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則物理意義明確，計(jì)算簡單。在此基礎(chǔ)上給出了優(yōu)化求解算法，算例表明，本文方法能夠穩(wěn)健地辨識(shí)結(jié)構(gòu)所受動(dòng)態(tài)載荷，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

不過，目前的工作仍屬于初步探索，尚需開展進(jìn)一步的理論研究，為新方法的合理性提供支撐，至少包括兩方的深入工作：(1)從數(shù)學(xué)上證明虛擬載荷范數(shù)隨正則化參數(shù)變化曲線極小點(diǎn)的存在性和唯一性，或者給出極小點(diǎn)存在的條件，即什么情況下本文提出的準(zhǔn)則是適用的；(2)建立虛擬載荷作用點(diǎn)優(yōu)劣的判定函數(shù)，用于選擇最佳的虛擬載荷作用點(diǎn)。

本文的工作也為其他反問題求解提供了新的思路，即，設(shè)法將問題進(jìn)行增廣，注入已知信息，然后在求解過程中充分利用已知信息來約束增廣問題的解，使其逼近真解。

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A technique for solving dynamical force identification problems by Tikhonov regularization method

WANGFeng1,WULong2,ZHANGXiao-qing2,HEWei2

(1.Science and Technology on Scramjet Laboratory, Hypervelocity Aerodynamics Institute of CARDC, Mianyang 621000, China；2.Air-breathing Hypersonic Technology Research Center of CARDC, Mianyang 621000, China)

Tikhonov regularization method is effective in solving load identification problems, and proper selection of the regularization parameter is a key point that determines the solution accuracy. In this work, a new method which is named fictitious load method is proposed. Taking the minimization of the norm of the fictitious load is as the criterion of regularization parameter selection, the load identification problem isthus converted into a one-variable optimization problem which can be solved by one dimension search technique. By transforming the coefficient matrix of the normal equation into tridiagonal matrix, an efficient algorithm is developed. Two numerical examples are presented to validate the new method, and the results show that the new regularization parameter selection criterion is effective to revover the loads on structures with good accuracy.

load identification; inverse problem; Tikhonov regularization; regularization parameter

2014-06-24；

2015-11-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372339)；高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目(STSKFKT2012001)

O327

A

1004-4523(2016)01-0031-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.005

王鋒(1976—),男，博士，副研究員。電話： 15908208358； E-mail： fwang_cardc@163.com