一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的實空間解耦與自由界面模態(tài)綜合法*

何　歡, 王　陶, 陳國平

(1.機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室， 江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)振動工程研究所， 江蘇 南京 210016)

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一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的實空間解耦與自由界面模態(tài)綜合法*

何歡1,2, 王陶1, 陳國平1,2

(1.機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室， 江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)振動工程研究所， 江蘇 南京 210016)

一般黏性阻尼振動系統(tǒng)通?？勺儞Q到狀態(tài)空間，利用解得的復(fù)模態(tài)可以將系統(tǒng)方程解耦，但解耦后的方程是復(fù)系數(shù)方程，必須在復(fù)數(shù)域內(nèi)進行求解。根據(jù)所需要保留的復(fù)特征解對的特征，通過復(fù)特征向量矩陣的線性變換構(gòu)造了一種新的模態(tài)變換關(guān)系，利用模態(tài)變換矩陣將一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的狀態(tài)空間運動方程變換為解耦的實系數(shù)二階常微分方程。隨后，構(gòu)造了一種與實變換矩陣關(guān)于系統(tǒng)矩陣加權(quán)正交的向量集，利用這種加權(quán)正交的向量集推導(dǎo)系統(tǒng)剩余柔度矩陣時可以避免對系統(tǒng)矩陣進行直接求逆，解決了含剛體模態(tài)時的系統(tǒng)剩余柔度矩陣的求解問題。然后，將實空間解耦和加權(quán)正交向量集與自由界面模態(tài)綜合法相結(jié)合，推導(dǎo)出了與常規(guī)振動微分方程具有相同形式的實系數(shù)系統(tǒng)綜合方程。最后，通過數(shù)值算例驗證了方法的有效性。

模態(tài)綜合法； 黏性阻尼； 復(fù)模態(tài)； 解耦； 振動

引　言

子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合(Component Mode Synthesis, CMS)是一種降低模型自由度數(shù)的模型減縮方法，被用于提高模型計算效率。早期的CMS方法用于解決無阻尼或比例阻尼系統(tǒng)的模態(tài)分析，如Hurty[1],Goldman[2],Mecneal[3]等的研究工作。這些方法要求系統(tǒng)阻尼符合比例阻尼假設(shè)，或忽略阻尼的影響。

然而，實際振動系統(tǒng)都有阻尼，且通常都不符合比例阻尼假設(shè)，因此上述方法的實際應(yīng)用受到了很大的限制。Craig和Bampton[4]對傳統(tǒng)的比例阻尼系統(tǒng)CMS法進行了改進，提出了適用于一般阻尼系統(tǒng)的約束CMS方法，又稱為C-B型CMS方法。Hasselman和Kaplan[5]將C-B型CMS方法提出的方法推廣到復(fù)數(shù)域，在狀態(tài)空間中通過復(fù)模態(tài)實現(xiàn)了子結(jié)構(gòu)的模態(tài)縮聚，并提出了一般阻尼系統(tǒng)的固定界面復(fù)模態(tài)綜合法。隨后，Craig等人[6]在Goldman方法的基礎(chǔ)上通過保留系統(tǒng)剩余模態(tài)影響改善了綜合方程的計算精度，并提出了一般阻尼系統(tǒng)的自由界面復(fù)模態(tài)綜合法。Tournour[7]提出了一種自由界面CMS方法，并且從試驗和計算兩個角度對幾種典型的模態(tài)綜合法的計算精度進行了比較。Rixen[8]提出了一種新的弱界面協(xié)調(diào)條件，并對C-B型CMS進行了改進。向錦武[9]將一種實Schur向量引入CMS，將復(fù)數(shù)域內(nèi)的綜合方程轉(zhuǎn)換到實數(shù)域內(nèi)。陳國平根據(jù)系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的性質(zhì)構(gòu)造了一種模態(tài)轉(zhuǎn)換方法，將解耦后的一階復(fù)系數(shù)微分方程組轉(zhuǎn)換成二階實系數(shù)微分方程組[10]。在文[10]的基礎(chǔ)上，陳國平和韋勇[11]提出了一種線性阻尼結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的固定界面CMS方法，獲得了實數(shù)域內(nèi)的綜合方程。這種綜合方程是二階常微分方程，與常規(guī)的振動微分方程具有相同的形式，這使得原本需要在復(fù)數(shù)域內(nèi)求解的綜合方程可以在實數(shù)域內(nèi)進行求解。何歡和陳國平[12]提出了一種自由界面CMS方法，該方法在剩余柔度矩陣計算過程中避免了對子結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接求逆運算，克服了以往的自由界面CMS方法在處理含剛體模態(tài)的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時遇到的困難。

近年來，大量研究者將CMS方法與其他研究方法相結(jié)合，取得了非常豐碩的成果，極大地拓展了CMS方法的應(yīng)用領(lǐng)域。Besset[13]將CMS和優(yōu)化分析算法相結(jié)合，提出了一種多孔腔體的噪聲優(yōu)化設(shè)計方法，極大地提高了優(yōu)化計算效率。Kim[14]考慮鉸鏈的滑動模態(tài)特征，提出了一種含鉸鏈的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的CMS，大幅提高了這種非線性系統(tǒng)動力學(xué)模型的計算效率，并通過試驗驗證了該方法的計算精度。Zhou和Ichchou[15]等利用界面模態(tài)計算波投射系數(shù)，提出了一種基于CMS的波動有限元法。Mencik[16]結(jié)合CMS和波矩陣方程，采用少量彈性模態(tài)描述子結(jié)構(gòu)界面的動力學(xué)特征，考慮諧波激勵條件，計算了界面力的頻域響應(yīng)。Chiello[17]等人將彈性支承和試驗件視為2個不同的子結(jié)構(gòu)，利用CMS保留彈性支承的剩余柔度，對整個振動系統(tǒng)進行自由度減縮。他們利用減縮模型分析了彈性支承板的黏彈性特性，并提出了黏彈性板損耗因子優(yōu)化設(shè)計方法。Bouazizi等[18]提出了一種具有魯棒性的CMS，然后將這種方法應(yīng)用于局部非線性系統(tǒng)的自由度減縮中，并通過數(shù)值算例檢驗了方法的計算效率和計算精度。Chentouf等[19]提出了一種考慮不確定性影響的累積概率方法，并將這種方法與CMS相結(jié)合。Papadimitriou等[20]將CMS與模型修正方程相結(jié)合，推導(dǎo)出了減縮修正方程，用減縮模型進行每個修正迭代步的計算，大大提高了模型修正問題的計算效率。Lima和Silva[21]將CMS與增強Ritz基相結(jié)合，提高了超大規(guī)模黏彈性阻尼系統(tǒng)動力學(xué)模型的計算效率。

文[10]提出的實變換方法要求待變換的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)全部特征值必須共軛成對。這意味著這種實變換方法無法對含剛體模態(tài)的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行變換，因此只能與固定界面CMS方法相結(jié)合，而且這種固定界面CMS法也無法處理含有過阻尼特性的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。本文在文[10]的基礎(chǔ)上提出了適用于一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的實變換方法。隨后，將這種實變換方法與自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法相結(jié)合，提出了一種新的一般阻尼振動系統(tǒng)的自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法。這種新的自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法給出的綜合方程為實系數(shù)二階常微分方程，與一般振動系統(tǒng)微分方程具有相同的形式。本文方法給出的綜合方程中不包含界面自由度，其總自由度數(shù)僅僅由子結(jié)構(gòu)保留模態(tài)數(shù)決定。相比于傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法給出的狀態(tài)空間中的復(fù)系數(shù)一階常微分綜合方程，若采用相同的保留模態(tài)數(shù)，本文方法獲得的綜合方程總自由度數(shù)是傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法的1/2，且能夠在實數(shù)域內(nèi)求解。此外，本文方法構(gòu)造的剩余柔度矩陣很好地保留了原系統(tǒng)的高階模態(tài)特性，這使得本文方法具有很高的計算精度。

1　基本方程和實變換

N自由度一般阻尼結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的振動微分方程可表示為

(1)

式中M，C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，u和f∈RN×1分別為廣義位移向量和載荷向量。

將式(1)轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間后可得

(2)

令式(2)中右端項為零，解齊次方程可得系統(tǒng)復(fù)特征解對。

對一般結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(例如，含有剛體模態(tài)和過阻尼特征)，計算得到的復(fù)模態(tài)必定由實特征解對和共軛特征解對構(gòu)成，實特征根還分為重實根和一對互異的實根兩種情況。

設(shè)由特征方程解得前l(fā)對特征值包含m對共軛成對的復(fù)特征值，n對互異的實特征值和k對重特征值。下面根據(jù)特征根的不同特點分別進行討論。

1.1共軛特征解對的實解耦變換

記復(fù)特征值矩陣及其對應(yīng)的復(fù)特征向量矩陣為[9]

(3)

(4)

若Yc已經(jīng)按系統(tǒng)矩陣A歸一化，不難證明

(5)

1.2互異實特征解對的解耦變換

對N自由度系統(tǒng)來說，實特征解對自然可以在狀態(tài)空間中進行實變換。但這種變換與式(5)給出的形式不同，而且變換后的空間仍然是在狀態(tài)空間中的，不利于減縮變換后的系統(tǒng)規(guī)模。為此，對實特征解對，本文提出了與式(5)形式類似的變換方法。

記特征解對中的互異實根構(gòu)成的實特征值矩陣分別為

(6)

定義

(7)

根據(jù)特征向量與系統(tǒng)矩陣的加權(quán)正交性可知

(8)

(10)

結(jié)合式(7)，(8)和(9)可得

根據(jù)式(9)，定義

(12)

(13)

則有

(14)

1.3重特征解對及對應(yīng)的解耦變換

(15)

(16)

定義

(17)

(18)

定義

引入變換對

(20)

結(jié)合式(17)，(18)和(19)可得

(22)

(23)

可得

(24)

1.4實解耦變換

對全部變換對，將式(4)，(14)和(23)所得變換式進行組合，得到總體變換矩陣

(25)

將特征值矩陣重新組合為

(26)

(27a)

(27b)

由式(27)給出的矩陣中的任意一列都是原系統(tǒng)方程解向量或特征向量的疊加，因此，Φ和Ψ仍然是原方程的解。

根據(jù)式(5)，(14)和(24)，并結(jié)合特征向量之間關(guān)于系統(tǒng)矩陣的加權(quán)正交關(guān)系可得

(28)

(29)

引入一種新的模態(tài)變換式

(30)

(31)

將式(31)展開得

(32)

(33)

(34)

與傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法中引入的模態(tài)變換得到的復(fù)系數(shù)解耦方程不同，式(34)是一個實系數(shù)解耦方程。此外，式(34)的獨立方程數(shù)為l個，而復(fù)模態(tài)變換得到的復(fù)系數(shù)解耦方程數(shù)為2l個，這意味著在相同的保留模態(tài)數(shù)的前提條件下，采用本文實解耦方法獲得的子結(jié)構(gòu)綜合方程的總自由度數(shù)是傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)子結(jié)構(gòu)綜合方程總自由度數(shù)的一半。

2　加權(quán)正交向量集

(35)

Ψ如式(27a)所示。

(36)

(37)

將式(28)代入式(37)得

(38)

(39)

注意到J-1ΨTAΦ=I，因此有

(40)

將式(29)給出的W=ΨTBΦ代入式(40)，可得

(41)

由于Φ為系統(tǒng)的解特征向量矩陣，因此有

(42)

將式(42)代入式(39)可得

(43)

(44)

Φ如式(27b)所示。采用同樣的方法可解得

(45)

類似地可以證明

(46)

3　剩余柔度矩陣與界面坐標

(47)

(48)

式中

(49)

取式(48)的第二式，同時進行Laplace變換可得

(50)

對式(50)進行Taylor展開，取一階近似，并進行反Laplace變換，得

(51)

將式(51)代入式(47)得

(52)

(53)

式(53)又可分塊表示為

(54)

將x沿界面坐標分割，并將式(54)寫成分塊形式

(55)

式中下標i和j分別表示內(nèi)部自由度和界面自由度。令fi=0，則式(55)的第二式可表示為

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

將式(61)代入式(58)可得

(62)

(63)

(65)

(66)

4　自由界面子結(jié)構(gòu)綜合

不妨設(shè)整個系統(tǒng)可劃分為a和b兩個子結(jié)構(gòu)。對每個子結(jié)構(gòu)可根據(jù)式(62)給出界面坐標為

(67)

同樣地，給出每個子結(jié)構(gòu)的解耦方程

(68)

子結(jié)構(gòu)a和b的界面連續(xù)性條件和界面力協(xié)調(diào)條件可表示為

(69)

(70)

將式(67)代入式(69)，再結(jié)合式(70)，得

(71)

記

得綜合方程

(72)

式(72)即為綜合后的系統(tǒng)方程。觀察式(72)不難看出，得到的方程形式為二階常微分方程，與式(1)具有相同的形式。傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法得到的綜合方程是復(fù)系數(shù)方程，必須在復(fù)數(shù)域內(nèi)進行求解，本文方法由于引入了實變換，式(72)中的全部系數(shù)矩陣均為實系數(shù)矩陣，意味著可以在實數(shù)域內(nèi)進行求解，這使得方程的求解變得更為簡便和快捷。

除此之外，式(72)中不包含界面自由度，極大地減縮了綜合方程的規(guī)模。從式(72)的推導(dǎo)過程中還可以看出，若所有子結(jié)構(gòu)保留的復(fù)特模態(tài)數(shù)階數(shù)為2n，采用傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法的綜合方程總自由度數(shù)仍然為2n，而對相同保留模態(tài)數(shù)而言，采用本文方法得到的綜合方程的總自由度數(shù)為n。

5　數(shù)值算例

如圖1所示底部固定的桁架系統(tǒng)，沿對稱軸等分為左、右兩個子結(jié)構(gòu)。記左半部為子結(jié)構(gòu)1，右半部為子結(jié)構(gòu)2，每個子結(jié)構(gòu)含286個2節(jié)點梁單元，共計92個節(jié)點，552個自由度。對每個子結(jié)構(gòu)，設(shè)阻尼模型Cr=αrMr+ηrKr，α1=α2=1.0(1/s)，η1=1×10-5s，η2=3×10-5s。

圖1　底部固定的桁架系統(tǒng)Fig.1　Bottom fixed frame structure

采用本文方法分別取每個子結(jié)構(gòu)的前10對、前20對和前30對低階模態(tài)進行子結(jié)構(gòu)綜合，然后從綜合方程中計算出系統(tǒng)前20對復(fù)模態(tài)。本文采用Craig自由界面復(fù)模態(tài)綜合法，取前30對復(fù)模態(tài)進行計算作為比較。

分別定義特征值的實部誤差和虛部誤差如下：

圖2給出了特征值虛部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化規(guī)律，圖3給出了特征值實部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化規(guī)律。

從計算結(jié)果的對比可以看出，根據(jù)本文方法對每個子結(jié)構(gòu)各取10對復(fù)模態(tài)進行子結(jié)構(gòu)綜合得到的前11對復(fù)特征值具有良好的計算精度，但隨著模態(tài)數(shù)的增加計算精度下降，這是由于各取10對復(fù)特征值只能得到具有20個自由度的綜合方程，能夠求解出的復(fù)模態(tài)僅有20對的原因。當對每個子結(jié)構(gòu)各取前20對復(fù)模態(tài)進行子結(jié)構(gòu)綜合時，本文方法得到的前20對復(fù)特征值計算結(jié)果已經(jīng)與原FE模型計算結(jié)果吻合，虛部誤差不超過2%，實部誤差不超過8%，隨著保留模態(tài)階數(shù)的增加，本文方法計算精度還會進一步增加，這說明本文方法具有很高的計算精度。通過對比發(fā)現(xiàn)，對每個子結(jié)構(gòu)各取前30對復(fù)模態(tài)進行綜合時，Craig方法僅有前10對特征值計算結(jié)果誤差較小，而且從第10階開始，特征值實部出現(xiàn)了難以接受的誤差。

表1　完全有限元模型計算得到的復(fù)特征值(單位：rad-1)

圖2　特征值虛部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化Fig.2　Imaginary part errors vary with the mode number

圖3　特征值實部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化Fig.3　Real part errors vary with the mode number

對比圖2和3可以發(fā)現(xiàn)，相比于特征值實部，特征值虛部誤差更小，這主要是由于特征值實部通常很小，對于數(shù)值計算的擾動非常敏感，容易受矩陣分解、求逆以及綜合過程中引入的數(shù)值誤差的影響，因此誤差更為顯著。

在圖5中的53號點施加X方向激勵，分別采用完全有限元模型和本文方法計算53號點和121號點的頻響函數(shù)。圖4和5給出了0～120 Hz頻帶范圍內(nèi)的幅頻特性曲線對比。

圖4　第53號測點處的幅頻特性曲線對比Fig.4　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 53

圖5　第121號測點處的幅頻特性曲線對比Fig.5　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 121

從圖中可以看出，取前10階模態(tài)進行子結(jié)構(gòu)綜合得到的幅頻特性曲線在120 Hz范圍內(nèi)與原系統(tǒng)幅頻特性曲線吻合，而采用20階和30階模態(tài)進行子結(jié)構(gòu)綜合得到的幅頻特性曲線則可以在計算頻帶范圍內(nèi)與原系統(tǒng)幅頻特性曲線吻合，這與前面給出的特征值對比結(jié)論是相符的，也進一步說明了本文方法的準確性。

6　小　結(jié)

本文提出一種一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的實變換方法，能夠?qū)顟B(tài)空間中解耦的復(fù)系數(shù)一階常微分方程組轉(zhuǎn)換為與常規(guī)振動微分方程形式相同的解耦的實系數(shù)二階常微分方程組。

然后，采用待保留的復(fù)模態(tài)構(gòu)造了與保留模態(tài)關(guān)于系統(tǒng)矩陣矩陣A和B加權(quán)正交的向量集。由于這種向量集與保留模態(tài)加權(quán)正交，因此不包含剛體模態(tài)。這使得推導(dǎo)剩余柔度矩陣時無需直接對系統(tǒng)矩陣B進行求逆，避免了傳統(tǒng)自由界面復(fù)模態(tài)綜合法在推導(dǎo)剩余柔度矩陣時對系統(tǒng)矩陣B進行的求逆運算困難。

最后，將實解耦方法與加權(quán)正交向量集相結(jié)合，推導(dǎo)了一種新的一般阻尼振動系統(tǒng)的自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法。由于進行了實解耦變換，利用本文方法能夠得到與一般振動系統(tǒng)微分方程具有相同的形式的實系數(shù)二階常微分綜合方程。相比于傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)自由界面綜合法來說，本文方法既降低了綜合方程的總自由度數(shù)，又可以在實數(shù)域內(nèi)進行求解，提高了計算效率。

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A free interface mode synthesis method for general damping system by using real decoupling transformation

HEHuan1,2,WANGTao1,CHENGuo-ping1,2

(1. State Key Lab of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing 210016, China;2. Institute of Vibration Engineering Research, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

In contrast to most present mode transformation methods in which the first-order state-space equation of the damped vibration system is transformed into a decoupled first-order differential form with complex coefficient matrices, a decoupling method is presented in this paper, for which the equation of the damped system can be decomposed into a system of second-order ordinary differential equations with real coefficient matrices. Next, the weighted-orthogonal vector sets which are weighted-orthogonal to the lower retained modes of the system matrices are constructed. By using the weighted-orthogonal vector sets, the lower retained modes with rigid-body motion are removed from the calculation process, thus making it easier to obtain the residual flexibility attachment matrix without using the inverse of the systemmatrices. Then, the free interface mode synthesis method are presented by using the real decoupled method and the weighted-orthogonal vector sets, and the real coefficients synthesis equation which has the same form as the ordinary differential equation of a vibration system is obtained. Finally, the accuracy and validity of this component mode synthesis method are demonstrated by numerical examples.

mode synthesis; viscous damping; complex mode; decouple; vibration

2014-04-02；

2014-12-24

國家自然科學(xué)基金資助項目(11472132)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資助項目(NS2014002)；機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室(南京航空航天大學(xué))自主研究課題資助項目(0113Y01)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目

O321； TB123

A

1004-4523(2016)01-0008-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.002

何歡(1978—)，男，副教授。電話:13913865435; E-mail:hehuan@nuaa.edu.cn