張子穎,汪太月
(1東北大學(xué) 工商管理學(xué)院,遼寧 沈陽 110819;2湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,湖北 黃石 435003)
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概率論中微積分思想的應(yīng)用
張子穎1,汪太月2*
(1東北大學(xué) 工商管理學(xué)院,遼寧 沈陽 110819;2湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,湖北 黃石 435003)
概率論與微積分是數(shù)學(xué)中2個(gè)不同的分支,應(yīng)用微積分中已有理論對(duì)概率論中的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、分布函數(shù)、條件概率以及數(shù)學(xué)特征等進(jìn)行探討,充分體現(xiàn)了微積分思想在概率論應(yīng)用中的重要作用,較好地實(shí)現(xiàn)了兩者有機(jī)統(tǒng)一,為后續(xù)研究起到了鋪墊作用。
微積分;概率論;極限;數(shù)學(xué)思想
概率論與微積分是數(shù)學(xué)的2個(gè)不同分支,概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)科學(xué),微積分即采用極限這一工具對(duì)函數(shù)進(jìn)行了很好地研究,微積分思想不僅貫穿于高等數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)當(dāng)中,同時(shí)也是構(gòu)建概率論大廈的基石[1].例如在映射作用下,集合被簡化為隨機(jī)事件,進(jìn)而集合再被簡化為實(shí)數(shù),當(dāng)樣本空間被簡化為實(shí)數(shù)集時(shí),概率也相應(yīng)由集函數(shù)近似成實(shí)函數(shù).以函數(shù)的觀點(diǎn)來衡量分布函數(shù)F(x),在概率論中,分布函數(shù)F(x)有著十分良好的性質(zhì),如單調(diào)有界、可積、幾乎處處連續(xù)、幾乎處處可導(dǎo)等[2],故高等數(shù)學(xué)中有關(guān)微積分的思想可以順利地運(yùn)用于概率論領(lǐng)域.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率密度的表示以及期望、方差等都或多或少借鑒或運(yùn)用了微積分的現(xiàn)有成果.再如概率論中運(yùn)用極限論的地方也很多,如分布函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、中心極限定理、大數(shù)定律、隨機(jī)過程等[3].總而言之,微積分思想已經(jīng)滲透到了概率論的各個(gè)方面,可以說若無微積分思想對(duì)概率論的推動(dòng),就不會(huì)有公理化和系統(tǒng)化的概率論,概率論也就不能形成數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支[4].然而,概率論作為繼高等數(shù)學(xué)后開設(shè)的一門課程,并非是高等數(shù)學(xué)的簡單后繼,而是對(duì)微積分思想的延伸,這也就開辟出一片嶄新的數(shù)學(xué)天地.概率論的發(fā)展路徑與高等數(shù)學(xué)有著很大的差別,概率論朝隨機(jī)數(shù)學(xué)的方向前進(jìn),并成為隨機(jī)數(shù)學(xué)的典型代表,有著和高等數(shù)學(xué)同等的地位,為古老數(shù)學(xué)學(xué)科注入了新鮮血液,使得數(shù)學(xué)能夠與時(shí)俱進(jìn),從而進(jìn)一步向前發(fā)展.
微積分主要包括微分學(xué)和積分學(xué)[5],雖然它和概率論是數(shù)學(xué)的2個(gè)不同分支,但是它與概率論有著緊密的聯(lián)系.高等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)方面的種種思想和方法可以廣泛地運(yùn)用于概率論領(lǐng)域.如隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率密度的表示以及期望方差等,都或多或少借鑒或運(yùn)用了微積分的現(xiàn)有成果.再如概率論中運(yùn)用極限論的地方也很多,如分布函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、中心極限定理、大數(shù)定律、隨機(jī)過程等.下面將逐一體現(xiàn)微積分思想在概率論中的應(yīng)用.
1.1泊松積分在概率論中的應(yīng)用
若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)分布,利用泊松積分很容易計(jì)算隨機(jī)變量的期望E(X)和方差D(X),已知正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為:
根據(jù)期望及方差的定義有:
因?yàn)槎S隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:
f(x,y)=
而(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為:
由于:
于是:
從而:
由泊松積分得:
同理有:
泊松積分在對(duì)數(shù)正態(tài)分布中同樣也有應(yīng)用,若隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=lnX服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則稱X服從參數(shù)為μ和σ2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.
設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ和σ2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.則利用泊松積分很容易求X的k階原點(diǎn)矩.
令Y=lnX,由對(duì)數(shù)正態(tài)分布的定義知Y~N(μ,σ2),且X=eY,于是:
E(Xk)=E(ekY)
泊松積分在其他分布中同樣也有很好的應(yīng)用,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為:
其中-∞ 所以: 其中-∞ 同理有: 泊松積分是微積分中的反常積分,它在概率論中的應(yīng)用充分體現(xiàn)了微積分理理論同概率論的有機(jī)結(jié)合,下面進(jìn)一步體現(xiàn)說明這一點(diǎn). 1.2Γ(α)函數(shù)的指數(shù)分布中的應(yīng)用 先來看Γ函數(shù)在指數(shù)分布的數(shù)字特征計(jì)算中的應(yīng)用. 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為EXP(λ)的指數(shù)分布,其概率密度為: 1)連續(xù)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為: 置換積分變量λx=t得Γ函數(shù)的特殊形式,即: 2)連續(xù)隨機(jī)變量X的方差: D(X)=E(X2)-(EX)2= 積分做置換變量法積分化為Γ函數(shù)的形式,置換積分變量λx=t得: 3)連續(xù)隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩: (k=1,2,3,…). 4)連續(xù)隨機(jī)變量X的k階中心矩: 正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的一類重要分布.而Γ(α)函數(shù)在正態(tài)分布的應(yīng)用中起著重要作用.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,那么計(jì)算隨機(jī)變量X的k階中心矩就要用到Γ(α)函數(shù): 1) 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù),所以積分等于零,可得到: μk(X)=0,k=1,3,5,…. 2)當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù),所以有: 置換積分變量t2=2μ,得: Γ函數(shù)不僅在處理指數(shù)分布的數(shù)字特征和計(jì)算正態(tài)分布的k階中心矩中有著廣泛應(yīng)用,而且借助Γ函數(shù),概率論中形成了一個(gè)很重要的-Γ分布.參數(shù)為α,λ(a>0,λ>0)的Γ分布的密度函數(shù)為: 當(dāng)α=n∈N時(shí),Γ分布Γ(α,λ)=Γ(n,λ)稱為厄蘭分布[6-7],它能夠很好的運(yùn)用于排隊(duì)論和可靠性理論研究之中. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法與卷積公式可證明Γ分布的可加性(再生性),即: 下面討論當(dāng)n=2時(shí),Γ函數(shù)在概率論中的運(yùn)用情況. 設(shè)ξ1~Γ(α1,λ),ξ2~Γ(α2,λ),且它們均相互獨(dú)立,證明ξ1+ξ2~Γ(α1+α2,λ). 證由假設(shè)知ξi的概率密度函數(shù)為: 故只需求出ξ1+ξ2的概率密度函數(shù)為: 事實(shí)上根據(jù)卷積公式有: 令z-x=y 令y=zt,則: =zα1+α2-1B(α1,α2) 結(jié)論得證. x1+x2+…+xn~Γ(n,λ). 故有: 由以上的計(jì)算可以看出,應(yīng)用微積分中的一些已知積分、級(jí)數(shù)性質(zhì)等可以很好地簡化概率論中數(shù)字特征的計(jì)算問題.不僅如此,微積分的基礎(chǔ)思想——極限論也滲透到概率論中,在概率論中有廣泛的應(yīng)用. 1.3同階數(shù)量級(jí)方法在概率論中的應(yīng)用 考慮獨(dú)立隨機(jī)變量序列x1,x2,…,其中Xk的概率分布為: 試證明x1,x2,…,服從中心極限定理. 證明由期望及方差的定義可知: 所以: 由此可見,對(duì)任意的δ>0,當(dāng)n→∞時(shí), 從而由李雅普洛夫定理[2]知,x1,x2,…,服從中心極限定理. 1.4微增量法在概率論中的應(yīng)用 在概率論中有一些隨機(jī)事件的概率只依賴于一個(gè)變量的特點(diǎn).雖然事件的概率是一個(gè)未知函數(shù),但可以由事件的概率只依賴于一個(gè)變量的這一特性出發(fā),通過微增量尋找等式,從而再通過求解微分方程的方法求出這個(gè)未知函數(shù).具體步驟為:首先從這一個(gè)變量的局部性質(zhì)出發(fā)(微增量),繼而建立方程等式,最后應(yīng)用微分方程的知識(shí)求出未知函數(shù).下面舉例說明. 某機(jī)器在△t時(shí)間內(nèi)因故障而停止工作的概率為α△t+o(△t)(α為正常數(shù)).假設(shè)機(jī)器在不重疊的時(shí)間內(nèi)停止工作的各個(gè)事件相互獨(dú)立.已知機(jī)器在時(shí)刻t0正常工作,試求機(jī)器從時(shí)刻t0到t0+t這段時(shí)間內(nèi)正常工作的概率. 在機(jī)器正常工作的情況下,所求概率只與時(shí)間區(qū)間[t0,t0+t]的長短有關(guān),而與起點(diǎn)時(shí)刻t0無關(guān).于是所求概率只與t有關(guān),記為p(t).因?yàn)閷?duì)函數(shù)p(t)的性質(zhì)未知,且由題目條件知機(jī)器在任一時(shí)刻t的充分小的增量Δt時(shí)間內(nèi)機(jī)器因故障而停止工作的概率為α△t+o(△t),故可先考查函數(shù)p(t)在微小增量△t時(shí)間內(nèi)的變化特征.機(jī)器在[t0,t0+t+△t]內(nèi)正常工作,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)器在[t0,t0+t]及[t0+t,t0+t+△t]這2段時(shí)間內(nèi)均正常工作才成立.由題目假設(shè)可知這2 個(gè)事件相互獨(dú)立,故有: p(t+△t)=p(t)p(△t)=p(t)[1-α△t-o(△t)], p(t+△t)-p(t)=-αp(t)△t-p(t)×o(△t), 因?yàn)閜(t)≤1,故當(dāng)△t→0,有: 求解微分方程得: p(t)=Ce-αt(C為任意常數(shù))(*). 由題目假設(shè)知機(jī)器在t0時(shí)刻正常工作,于是由此知初始條件為p(0)=1,代入(*)式可求出C=1,得p(t)=e-αt,則機(jī)器從時(shí)刻t0到t0+t這段時(shí)間內(nèi)正常工作的概率為e-αt.本例是概率論中求解概率的問題,但是其方法運(yùn)用了微積分中極限的思維,顯示出了微積分思想和概率論的緊密聯(lián)系.當(dāng)然,微分法在求解概率論中的期望和方差時(shí)也有巧妙的運(yùn)用. 1.5逐項(xiàng)微分法在概率論中的應(yīng)用 在概率論中離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差分別定義為: 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差分別定義為: 當(dāng)隨機(jī)變量服從某一帶參數(shù)的分布時(shí),則由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義,在求期望時(shí)可運(yùn)用逐項(xiàng)微分法,先對(duì)等式兩邊同時(shí)關(guān)于參數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)微積分理論中的級(jí)數(shù)及積分的知識(shí)求出結(jié)果.而在求方差時(shí),由于在前面的步驟中已求出數(shù)學(xué)期望E(ξ),由公式D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2可知,現(xiàn)只需要求出隨機(jī)變量ξ的二階矩E(ξ2)即可.下面通過具體例子加以說明. 設(shè)隨機(jī)變量X~p(λ),求E(X)與D(X). 由離散型隨機(jī)變量分布律的完備性可得: 兩邊同時(shí)乘eλ得: 兩邊對(duì)λ求導(dǎo)且由冪級(jí)數(shù)的可交換性可得: 即:E(X)=λ. (**)式兩邊對(duì)λ求導(dǎo)得: E(X2)=λ+λ2,所以: D(X)=λ. 本研究運(yùn)用微積分的思想對(duì)概率論作了簡單探討,如求期望、方差、概率密度函數(shù)等問題,當(dāng)然,其在概率論中的應(yīng)用遠(yuǎn)非于此,在建立完備的概率空間中也起了至關(guān)重要的作用.微積分是構(gòu)建概率論理論的基石,在后續(xù)的工作中將運(yùn)用微積分的思想對(duì)概率論作進(jìn)一步研究,同時(shí)用概率論的相關(guān)結(jié)論來豐富微積分的思想. [1] 范玉妹,汪飛星,王萍,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2012:123-125. [2]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社,2002:76-87. [3]張景中.趣味隨機(jī)問題[M].北京:科學(xué)出版社,2004:6-33. [4]申若虹.模式識(shí)別中基于概率統(tǒng)計(jì)的Bayes算法分析[J].機(jī)械工程與自動(dòng)化,2010(6):48-49. [5]吳傳生.微積分[M].北京:高等教育出版社,2007:88-103. [6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京:高等教育出版社,2014:259-264. 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