穩(wěn)定滲流作用下出逸坡降的隨機(jī)分析

羅顯楓,李　昕

(1湖北理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院,湖北 黃石 435003;2大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116023)

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穩(wěn)定滲流作用下出逸坡降的隨機(jī)分析

羅顯楓1,李昕2

(1湖北理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院,湖北 黃石 435003;2大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116023)

利用局部平均(local average)法和協(xié)方差分解法生成的各向異性隨機(jī)場來模擬單隔水板樁下的透水型地基土層的滲透系數(shù)的空間變異分布，并結(jié)合有限元法繪制出隨機(jī)流網(wǎng)圖，從而刻畫出穩(wěn)定滲流作用下的出逸坡降的統(tǒng)計(jì)特征，為實(shí)際工程風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)提供科學(xué)依據(jù)。

局部平均法；各向異性隨機(jī)場；穩(wěn)定滲流；出逸坡降

0　引言

閘壩下游滲流出逸處，最容易發(fā)生流土、管涌之類的滲透破壞。造成這類事故的主要原因是滲流出逸坡降大于該處土料的臨界坡降，因此設(shè)計(jì)人員必須嚴(yán)格控制滲流出逸坡降。國內(nèi)學(xué)者也對此類問題展開了研究。沙金煊[1]推導(dǎo)了簡單地下輪廓布置的出逸坡降計(jì)算公式。吳世余[2]提出了奇點(diǎn)附近滲透出逸坡降的測定方法。毛海濤[3]推導(dǎo)了無限深透水地基上土石壩壩基垂直防滲的出逸坡降計(jì)算公式。這些基于確定性土體的滲透系數(shù)計(jì)算工作有一定的理論價(jià)值。但是在實(shí)際工程中，由于土的滲透系數(shù)具有較大的空間變異性，采用傳統(tǒng)的確定性方法計(jì)算得到的滲流出逸坡降不能為工程決策提供更精確的科學(xué)依據(jù),因此本研究采用隨機(jī)有限元方法進(jìn)行滲流出逸坡降的仿真。具體做法為:利用局部平均法生成的各向異性隨機(jī)場模擬單隔水板樁下的透水型地基土層的滲透系數(shù)的空間變異分布，并結(jié)合有限元法繪制出隨機(jī)流網(wǎng)圖，從而刻畫出穩(wěn)定滲流作用下的出逸坡降的統(tǒng)計(jì)特征，為實(shí)際工程風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)提供依據(jù)。

1　隨機(jī)場模型

1.1二維隨機(jī)場的局部平均

土的工程特性依賴于空間土體的平均特性而非某一特定點(diǎn)的性質(zhì)指標(biāo)，所以考慮用隨機(jī)場的局部平均進(jìn)行隨機(jī)有限元計(jì)算。隨機(jī)場的單元A和單元A' 的相對位置圖如圖1所示，T1和T2分別為面積A水平和豎直方向尺寸。隨機(jī)場X(t1,t2)在二維面積A=T1×T2上的局部平均可定義為[4]:

(1)

則在X為平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，XA的均值和方差分別計(jì)算如下：

E{XA}=μXA=E{X}=μX

(2)

(3)

式(3)中，

(4)

ρ(τ1,τ2)在本研究中取為各向異性的Markovian相關(guān)函數(shù)[5]，可以寫成:

(5)

式(5)中，θ1和θ2分別是隨機(jī)場的水平和豎直方向的相關(guān)長度。

圖1　隨機(jī)場的單元A和單元A'的相對位置圖

1.2協(xié)方差分解法

協(xié)方差分解法是一個(gè)數(shù)學(xué)概念最直接明了的生成隨機(jī)場的方法。當(dāng)利用它來生成局部平均隨機(jī)場時(shí)，可采用下面兩式獲得:

Cn×n=Ln×nLn×nT

(6)

Cn×1=Ln×nWn×1T

(7)

Cn×n是把隨機(jī)場離散成n個(gè)單元中任意2個(gè)單元(即局部平均后的隨機(jī)變量XA，XA'，如圖1所示，T'1和T'2分別為面積A'水平和豎直方向尺寸)的協(xié)方差cov(XA,XA')構(gòu)成的協(xié)方差矩陣；Gn×1是高斯隨機(jī)場離散后的隨機(jī)變量gi,i=1,2,…,n構(gòu)成的向量。W是由n個(gè)獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量構(gòu)成的向量[6]。

1.3對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)場

實(shí)際工程中認(rèn)為土層滲透系數(shù)的概率分布應(yīng)該服從對數(shù)正態(tài)分布，而在前述的隨機(jī)場模擬中會產(chǎn)生一個(gè)離散的高斯正態(tài)隨機(jī)場。因此，可將滲透系數(shù)的高斯隨機(jī)場離散后的每一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成服從對數(shù)正態(tài)分布[7],即:

ki=exp(μlnk+σlnkgi)

(8)

式(8)中：ki是第i個(gè)單元的滲透系數(shù);gi是滲透系數(shù)的高斯隨機(jī)場的第i個(gè)單元的局部平均;μlnk和σlnk是滲透系數(shù)k的對數(shù)分布的均值和方差，分別可通過滲透系數(shù)的正態(tài)分布的均值μk和方差σk(變異系數(shù)為COVk)進(jìn)行轉(zhuǎn)換[8]，即:

(9)

(10)

2　隨機(jī)穩(wěn)定滲流算例分析

2.1控制方程

本研究采用如下控制方程來描述單隔水板樁下的透水型地基土層滲流，即:

(11)

2.2算例介紹

圖2　有限元網(wǎng)格

2.3流網(wǎng)圖

首先以滲透系數(shù)的均值μk=1×10-5m/s做確定性有限元分析，繪出流網(wǎng)圖，確定性分析流網(wǎng)圖如圖3所示。在圖3中，等勢線的間隔值為0.05，等勢線和流線相互正交。然后再以滲透系數(shù)的均值μk=1×10-5m/s、變異系數(shù)為1、隨機(jī)場的水平方向和豎直方向θx=θy=1 m進(jìn)行隨機(jī)場仿真，繪出隨機(jī)仿真的1次實(shí)現(xiàn)，如圖4所示。在圖4中，用灰度的變化來描述滲透系數(shù)的空間變異程度，顏色淺代表滲透系數(shù)大，顏色深代表滲透系數(shù)小，從圖4中可以看到流線明顯避開了顏色深的集中區(qū)域(即滲透系數(shù)小的集中區(qū)域)，這同時(shí)也證明了本研究開發(fā)程序的正確性[11]。

圖3　確定性分析流網(wǎng)圖

圖4　隨機(jī)仿真的1次實(shí)現(xiàn)(包含流網(wǎng)圖及滲透系數(shù)的空間變異分布)

2.4出逸坡降

在本例中首先以滲透系數(shù)的均值μk=1×10-5m/s做確定性有限元分析，ie的數(shù)值計(jì)算如圖5所示?？筛鶕?jù)2點(diǎn)數(shù)值微分方法計(jì)算出逸坡降idet=0.193(下標(biāo)det代表確定性)，這與該問題的解析解結(jié)果非常接近[12]。

圖5　ie的數(shù)值計(jì)算

此外，為了研究滲透系數(shù)的空間變異性對出逸坡降均值mie的影響，這里保持滲透系數(shù)的均值μk=1×10-5m/s不變，讓其變異系數(shù)COVk在[0.1,100]范圍內(nèi)變化，讓豎直和水平方向相關(guān)長度比ζk=θy/θx分別等于1,2,4,8,16[13]。對這些不同工況分別進(jìn)行隨機(jī)有限元模擬，得到出逸坡降均值mie趨勢圖如圖6所示。從圖6中能看出當(dāng)COVk趨近于0.1時(shí)，mie就已經(jīng)逼近確定性分析結(jié)果idet=0.193。也就說明當(dāng)COVk極小時(shí)，mie不受ζk的影響。當(dāng)ζk=2時(shí)對應(yīng)的mie曲線位置，基本一直高于ζk=1時(shí)對應(yīng)的mie曲線位置；而當(dāng)ζk=4,8,16時(shí)，各自對應(yīng)的mie曲線的位置逐步下移。這說明滲透系數(shù)的豎直方向的相關(guān)長度增大有助于提高出逸坡降均值mie，同時(shí)必須滿足豎直方向的相關(guān)長度要小于有限元模型的豎向長度3.2 m。

圖6　出逸坡降均值mie趨勢圖

3　結(jié)論

本研究利用局部平均法和協(xié)方差分解法生成的各向異性隨機(jī)場模擬單隔水板樁下的透水型地基土層的滲透系數(shù)的空間變異分布，并結(jié)合有限元法繪制出隨機(jī)流網(wǎng)圖，得到如下結(jié)論。

1)與確定性分析結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)在滲透系數(shù)的空間變異作用下，流線明顯避開了滲透系數(shù)小的集中區(qū)域，而從滲透系數(shù)大的集中區(qū)域通過。

2)當(dāng)滲透系數(shù)的變異系數(shù)COVk極小時(shí)，出逸坡降均值mie能逼近確定性分析結(jié)果，同時(shí)并不受隨機(jī)場的豎直和水平方向相關(guān)長度比ζk的影響。

3)當(dāng)隨機(jī)場的豎直和水平方向相關(guān)長度比ζk逐步增大時(shí)，出逸坡降均值mie曲線不斷上移，但是增大到一定數(shù)值之后，出逸坡降均值mie曲線開始不斷下移。說明只有當(dāng)隨機(jī)場的豎直方向的相關(guān)長度小于有限元模型的豎向長度時(shí)，ζk的增大才有助于提高出逸坡降均值mie。

[1]沙金煊.閘壩地基下游滲流出逸坡降近似計(jì)算[J].江蘇水利,1988(3):1-14.

[2]吳世余,趙殿信,張安家,等.奇點(diǎn)附近滲透出逸坡降的測定[J].水利水電技術(shù),2001(10):7-9.

[3]毛海濤,侍克斌,李玉建.無限深透水地基上土石壩壩基垂直防滲的保角變換滲流計(jì)算[J].水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào),2008(4):71-77.

[4]Vanmarcke E.Random fields:analysis and synthesis[M].World Scientific,2010:235-236.

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[6]Davis MW.Production of conditional simulations via the LU triangular decomposition of the covariance matrix[J].Mathematical Geology,1987,19(2):91-98.

[7]Griffiths DV,Fenton GA.Three-dimensional seepage through spatially random soil[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,1997,123(2):153-160.

[8]Fenton GA,Griffiths DV.Statistics of free surface flow through stochastic earth dam[J].Journal of Geotechnical Engineering,1996,122(6):427-436.

[9]Griffiths DV,Fenton GA.Probabilistic analysis of exit gradients due to steady seepage[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,1998,124(9):789-797.

[10]Smith IM,Griffiths DV.Programming the finite element method[M].John Wiley & Sons,2005:326-327.

[11]Fenton GA,Griffiths DV.Risk assessment in geotechnical engineering[M].Wiley,2008:276-278.

[12]Lancellotta R.Geotechnical engineering[M].CRC Press,2008:227-230.

[13]Ahmed AA.Stochastic analysis of free surface flow through earth dams[J].Computers and Geotechnics,2009,36(7):1186-1190.

(責(zé)任編輯高嵩)

Stochastic Analysis of Exit Gradients Caused by Steady Seepage

Luo Xianfeng1,Li Xin2

(1School of Civil Engineering and Architecture,Hubei Polytechnic University,Hubei Huangshi 435003;2Faculty of Infrastucture Engineering,Dalian University of Technology,Dalian Liaonin 116023)

The anisotropic random field is generated by the local average method and covariance matrix decomposition method,which can be used to simulate the spatial variation of permeability of soil layers with a sheet pile.The Finite element method can be combined with the random field to draw the stochastic flow net,which can be used to reflect the statistic characteristics of exit gradients.The result of the calculation can provide scientific reference for practical engineering risk assessment.

local average method;anisotropic random field;steady seepage;exit gradient

2016-05-05

國家自然科學(xué)基金委創(chuàng)新研究群體基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：51121005)；湖北理工學(xué)院校級創(chuàng)新人才項(xiàng)目 (項(xiàng)目編號：13xjz01C)。

羅顯楓，講師，博士，研究方向：土木工程可靠度與風(fēng)險(xiǎn)控制。

10.3969/j.issn.2095-4565.2016.04.008

TV223.4

A

2095-4565(2016)04-0031-04