華應(yīng)龍：閱兵中的數(shù)學(xué)故事

華應(yīng)龍：閱兵中的數(shù)學(xué)故事

【編者按】

2015年9月3日，紀(jì)念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵式在北京舉行。銘記歷史，展我軍威，回首這次閱兵式，很多精彩畫面仍然歷歷在目，激動(dòng)人心。而著名特級(jí)教師、北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)副校長華應(yīng)龍更是從中發(fā)現(xiàn)了很多有趣的數(shù)學(xué)問題。2016年1月9日，在成都舉辦的第二屆全國小學(xué) “成長課堂”高峰論壇上，他帶領(lǐng)電子科技大學(xué)附小六年級(jí)四班的學(xué)生，一起探究了這些問題。

時(shí)間：50分鐘

執(zhí)教：華應(yīng)龍

學(xué)生：電子科技大學(xué)附小六年級(jí)四班

華應(yīng)龍：

特級(jí)教師、北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)副校長、北京教育學(xué)院兼職教授，著有《我這樣教數(shù)學(xué)》《我就是數(shù)學(xué)》《個(gè)性化備課經(jīng)驗(yàn)》等著作。

師：翻開新的一頁，請?jiān)谶@一頁的最上面寫上你的名字。一個(gè)字大約一平方厘米左右，一平方厘米是多大呢，看看你是否心中有數(shù)。太小我就看不清了，如果你的名字中某個(gè)字我可能會(huì)讀錯(cuò)，請你幫我注上拼音，老師一樣會(huì)錯(cuò)的。

（教師和學(xué)生個(gè)別交流，念出學(xué)生的名字，“有的同學(xué)太好了，怕我不認(rèn)識(shí)，三個(gè)字都注了音”。）

可以上課了嗎？今天上課可以用計(jì)算器。至于什么時(shí)候用，我就不提醒你了。有人6+6也用。（學(xué)生笑）嘿嘿，真有人用的。好的，上課。

（師生互相問候）

上課可以笑嘛？覺得可以笑的點(diǎn)頭，不可以笑的搖頭。學(xué)校學(xué)校，學(xué)習(xí)怎么笑。所以你們會(huì)心的一笑，老師非常期待。剛才你們自發(fā)的笑聲就非常可愛。剛才我跟大家說，有好多好玩的數(shù)學(xué)故事，今天這堂課我們來分享這三個(gè)故事。

第一個(gè)故事是“破解51之謎”；第二個(gè)，“為了神圣的那一刻”；第三個(gè)是“當(dāng)坦克踩上俄軍的腳跟”。這三個(gè)故事聽完了，你再看閱兵的時(shí)候，感覺會(huì)不一樣。你相信嗎？我們拭目以待。

一、破解51之謎

師：第一個(gè)故事是破解51之謎。

（展示PPT：這次閱兵徒步方隊(duì)有三個(gè)新亮點(diǎn)：一是每個(gè)英模部隊(duì)方隊(duì)掌7面抗戰(zhàn)時(shí)期功勛榮譽(yù)旗；二是增加了20名將軍領(lǐng)隊(duì)，都是現(xiàn)職軍職領(lǐng)導(dǎo)干部；三是三軍儀仗隊(duì)派出51名女儀仗隊(duì)員首次參加受閱。）

孩子們，看完這段文字，你能發(fā)現(xiàn)和提出問題嗎？看不見可以離開座位找個(gè)好的角度看。發(fā)現(xiàn)問題了嗎？

生：破解51之謎，這里說有51名女儀仗隊(duì)員，所以我覺得，第一個(gè)問題可能跟女儀仗隊(duì)的隊(duì)員有關(guān)。

師：劉昕宇，是我的托兒。（學(xué)生笑）對的，51名女儀仗兵怎么排？怎么會(huì)是51名？你想象一下。

生：我認(rèn)為51可以分解質(zhì)因數(shù)，它應(yīng)該分解出來是17×3，那么我們就可以排17列3排，或者是3列17排。

師：哈哈，速度還挺快，掌聲給她。還有不同的排法嗎？

生：我覺得可以1個(gè)人在前面領(lǐng)隊(duì)，然后后面50個(gè)人來排。

師：50個(gè)人怎么排？

生：或者一排10個(gè)，排5排，或者一排5個(gè)，排10排，還有很多。

師：那你覺得哪種更合適些？一排5個(gè)還是一排10個(gè)？

生（齊）：一排10個(gè)。

師：呵呵，行。還有不同的排法嗎？

生：可以這樣子，前面有兩個(gè)人領(lǐng)隊(duì)，七七四十九，一排七個(gè)人。

師：行不行？真好！還有其他的，不說了。到底是怎么排的呢？閱兵的時(shí)候……（展示圖片）哦，找到答案了?，F(xiàn)在你知道了，51名女儀仗兵是怎么排的。跟同桌交流一下。（學(xué)生交流）好了，現(xiàn)在誰來說，51名女兵怎么排的？來，小伙子。

生：三軍儀仗隊(duì)每排是17個(gè)人。三軍儀仗隊(duì)是海、陸、空，每排代表一個(gè)兵種。三個(gè)兵種一共就是51個(gè)人。

師：對呀，整個(gè)儀仗兵就是一個(gè)方隊(duì)，后面跟著的是10個(gè)英模部隊(duì)方陣。男兵和女兵是一個(gè)方陣，一共12排，女兵是3排，還有9排是男兵。一看顏色就分得很清楚了。就像剛才我們同學(xué)所說，三軍儀仗隊(duì)，陸、海、空，明白了？

后來我又想，怎么會(huì)是一排17個(gè)人？不是好事成雙，一排18個(gè)人多好？你覺得呢？帶著一系列的問題，我就去請教了北京軍區(qū)閱兵的指揮官。張部長給了我兩大張數(shù)據(jù)，讓我很驚訝。閱兵中有這么多數(shù)據(jù)呢。三軍儀仗隊(duì)——

生（齊）：17×12+3！

師：對，就是剛才我們解讀出來的。眼睛快的人還發(fā)現(xiàn)一個(gè)式子。（學(xué)生思考，小聲回答）對，英模部隊(duì)方隊(duì)——25×14+2+7?？吹竭@個(gè)式子，你能想到什么？

生：我想到了可能有兩個(gè)將軍在帶隊(duì)，然后有七個(gè)掌旗的。其余的25×14是他們的那個(gè)小兵，跟著將軍后面的小兵。

2015年12月9日，華應(yīng)龍?jiān)谏白犹撂┯硇W(xué)講授“閱兵中的數(shù)學(xué)故事”。

（學(xué)生笑）

師：嘿嘿，這個(gè)成都話說出來特別的可愛。是這樣的嗎？

生：是。

師：給他掌聲！解讀得非常好。是呀，剛才我們就納悶，一排怎么會(huì)是17個(gè)人，現(xiàn)在又怎么會(huì)是一排25個(gè)人？怎么都是單數(shù)呢？為什么？你有沒有想法？

（沒有學(xué)生回答）

師：當(dāng)時(shí)我也是百思不得其解，因此我就請教張部長。張部長告訴我，單數(shù)就有一個(gè)人是在正中間。整個(gè)隊(duì)伍從前面看上去，就有左、中、右的對稱的美。雙數(shù)也對稱，但是沒有一個(gè)人在中間了。前面7面旗幟，也是有一個(gè)在中間，是面大旗。

從剛才的交流，讓我們想到了一個(gè)成語，叫“一葉知秋”，一片葉子落下來就知道秋天到了。一個(gè)數(shù)據(jù)也能帶給我們很多的想象。只要我們?nèi)ハ胂螅蜁?huì)破解出很多的謎底。

二、為了神圣的那一刻

師：閱兵中踢正步通過檢閱區(qū)的那一刻，無疑是神圣的，是震撼的。那一刻是多長時(shí)間呢？大家在課前收集資料的時(shí)候注意到了，這次閱兵，時(shí)間上不允許超過0.3秒，距離上不允許超過0.02米，是特別的苛刻，要求特別的嚴(yán)。我想，閱兵指揮官是一定要知道，一個(gè)方隊(duì)通過檢閱區(qū)的時(shí)間到底是多少秒。你覺得是不是要解決這個(gè)問題？肯定要。那現(xiàn)在你想想，如果要知道這個(gè)方隊(duì)通過檢閱區(qū)需要多少秒，得知道什么數(shù)據(jù)？四個(gè)人先交流。（學(xué)生交流半分鐘后）來，女孩先說。

生：首先要知道路程。

師：就是檢閱區(qū)的長度。

生：然后要知道速度，然后，路程除以速度等于時(shí)間。

師：要知道檢閱區(qū)長度，還要知道速度。還有誰要補(bǔ)充？來最后一個(gè)男孩。

生：還要知道他們方隊(duì)的長度。

（學(xué)生鼓掌）

師：贏得了一片掌聲。還要知道方隊(duì)的長度。檢閱區(qū)的長度是多長？有沒有人知道？是天安門前東西兩個(gè)華表之間的距離，96米。有沒有同學(xué)來做個(gè)老師講一講，為什么要知道方隊(duì)的長度？

生：因?yàn)槿绻粋€(gè)方隊(duì)的第一排過了檢閱區(qū)，還不能算整個(gè)方隊(duì)過了檢閱區(qū)。要整個(gè)方隊(duì)的最后一排過了檢閱區(qū)，才算整個(gè)方隊(duì)過了檢閱區(qū)。所以要算方隊(duì)的長度。

（學(xué)生鼓掌）

師：好。還有沒有不同的角度，用上我們以前所學(xué)的知識(shí)？來回答我們這個(gè)問題。

生：這個(gè)和火車過橋的問題一樣，要知道速度和時(shí)間，還有路程。

師：他說的對不對？這是個(gè)什么問題？

生（齊）：火車過橋。

師：也是我的托兒。還記得這個(gè)圖嗎？（出示教材上火車過橋問題的圖片）對，這就是火車過橋問題。要解決火車通過這個(gè)橋需要多長時(shí)間，我們就要知道橋長，還要知道車長。火車的長度在這道題里面就是方隊(duì)的長度了。好。孩子們，那現(xiàn)在給你這些數(shù)據(jù)，就是張部長給我的這些原始數(shù)據(jù)，你能算出方隊(duì)的長度嗎？能不能一邊讀，在腦子中想象出一個(gè)線段圖，這個(gè)方隊(duì)的長度是怎樣的？來，我們一起讀。

（學(xué)生一邊讀，老師一邊用PPT逐步出示線段圖）

生（齊）：旗手腳尖到將軍腳尖6米，將軍腳尖到第一排腳尖6米，后面14排都是前一排腳跟到后一排腳尖0.9米，腳長0.3米。

師：這張圖是不是跟你想的一樣？那現(xiàn)在看著這張圖，你能不能很快地計(jì)算出方隊(duì)的長度？從前到后一共是多長？自己來，獨(dú)立完成。注意，用計(jì)算器的同學(xué)把聲音關(guān)了，式子還是要寫下來，不然就只有結(jié)果，看不到過程。

六4班同學(xué)非常棒，我看了兩圈，大部分同學(xué)都有答案了，反應(yīng)真快，不過，就是答案都不一樣?，F(xiàn)在可以離開座位，帶著你的思考，找你的好朋友交流一下，這個(gè)問題到底怎么算？

（學(xué)生交流）

剛才我在這里欣賞科大附小六4班的同學(xué)，非常美，討論的習(xí)慣很好。開始大家紛紛表達(dá)自己的想法，達(dá)成一致了，就安靜下來，回到自己的座位。真美！哪位同學(xué)想和大家一起分享？（學(xué)生紛紛舉手）來，請開始想錯(cuò)了，現(xiàn)在明白了的說。

生：我寫的算式是（0.9+0.3）× （14-1）+12。我是這樣想的，因?yàn)槠焓趾蛯④姾芎唵?，主要在士兵上有很大的差異，所以我就畫了很多的士兵。這里有三個(gè)士兵，前一排腳跟到后一排腳尖的距離是0.9米，還有0.3米的腳長，所以把0.9和0.3加起來。后面乘以14減1。三個(gè)人中間就有兩個(gè)1.2，比人數(shù)少了一個(gè)1.2。所以我就把它帶到算式里去就要減1，12就是旗手和將軍兩個(gè)人的長度。

師：你是開始就這么想的？

生：是交流了以后我發(fā)現(xiàn)我把0.9+0.3算成1.1，應(yīng)該等于1.2，然后就改了個(gè)答案。

（學(xué)生笑）

師：哈哈哈，啊，有交流就有收獲。聽了她的發(fā)言，還有補(bǔ)充的嗎？

生：我認(rèn)為這個(gè)答案不對。雖然三個(gè)人有兩個(gè)1.2，但是他前面這里有個(gè)0.3是沒有算過的，所以說我認(rèn)為這里還要加上一個(gè)0.3。

（學(xué)生鼓掌）

師：劉昕宇同意嗎？

生：我同意張文潔的看法。

師：為什么還要加一個(gè)0.3？哪位能夠做老師再講清楚？

生：因?yàn)樗偣灿?4排士兵，每個(gè)士兵都有一雙腳，總共有14個(gè)0.3，所以減1之后還必須要加一個(gè)腳長。

師：同意嗎？其實(shí)用數(shù)學(xué)的語言，0.9和0.3是一一對應(yīng)的，前面這個(gè)0.3還沒有0.9來對應(yīng)，所以要加一個(gè)0.3.那么答案是多少？27.9米。剛才昕宇寫的這個(gè)式子，14減1是為什么？誰能用以前學(xué)的知識(shí)來解答？

生：這個(gè)問題就跟我們以前學(xué)過的植樹問題一樣，14排我們就看成是14棵樹，這個(gè)問題就等于兩旁都栽，那么0.9就等于他們中間那個(gè)段的長，14減1就是他們中間一共有多少段，就是有多少個(gè)間隔。

（學(xué)生鼓掌）

師：你是我的知音。是的，5棵樹幾個(gè)間隔？

生（齊）：4個(gè)。

師：那現(xiàn)在14排士兵多少個(gè)間隔？

生（齊）：13個(gè)。

師：所以只有13個(gè)0.9。還有沒有不同的算法？誰來說？

生：（0.9+0.3）×（14-1）+12+0.3+0.3+0.3。結(jié)果是28.5。

師：我剛才看的時(shí)候發(fā)現(xiàn)很多人都是這個(gè)答案。

生：因?yàn)閯偛拍莻€(gè)只算了14排士兵和他們的距離，將軍的腳和旗手的腳都沒算。

師：很好，我們魏蕭逸，首先給他掌聲，他勇于表達(dá)自己的見解，非常好！那現(xiàn)在，和上一個(gè)式子一比，我們知道后面多加了兩個(gè)0.3，蕭逸的理由是將軍和旗手的腳長沒算。

生：我們看第一個(gè)語句，旗手的腳尖到將軍的腳尖，說明這一段的6米是加了旗手的腳長，第二個(gè)語句，將軍的腳尖到第一排的腳尖，這里的6米也是算了將軍的腳長，所以我覺得后面兩個(gè)0.3可以去掉。

（學(xué)生掌聲）

生：哦，我知道了。我同意他的看法。

師：真好，通過和蕭逸同學(xué)的一番對話，讓我們知道咬文嚼字地去審題太重要了，就因?yàn)橐慕雷?，就發(fā)現(xiàn)這個(gè)0.3是包括在里面的。我們給掌聲。開始不明白就勇于堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)，明白了就修正、接納，真好！

還有沒有不同的做法？剛才我看了一圈，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)人都寫出了答案，但還有一些人沒有寫。是不是？肯定是這道題目碰到難處了，怎么這么繁啊？我們在課本上沒做過這么繁的題目。對這些同學(xué)，如果要幫助他們的話，你要怎么告訴他們？

生：我覺得可以分段來做。把這道題拆成三個(gè)問題，從旗手到將軍是6，將軍到士兵也是6，然后再算14排士兵的距離，最后再加起來，就容易得多了。

師：好，后面有同學(xué)跟你互動(dòng)。

生：首先我贊同他的意見，把問題分成幾段去做，先是6乘2，重點(diǎn)是后面那段，類似于植樹問題有點(diǎn)難。腳長是0.3，每排相距0.9。這個(gè)0.9就相當(dāng)于植樹問題的段數(shù)，間隔。我們把段數(shù)算出來，乘以0.9；把棵數(shù)算出來，乘以0.3，最后把12米加起來。我覺得這個(gè)方法還是比較簡單的。

師：明白了？對的，這其實(shí)是分類在算。有幾個(gè)6？（2個(gè)），有幾個(gè)0.9？（13個(gè)），有幾個(gè)0.3？（14個(gè)）。以后，碰到復(fù)雜的問題，自己沒有思路的時(shí)候，可以先想，能不能分類啊？一分類6×2+0.9×13+0.3×14，這樣加起來，整個(gè)從前到后的長度不重不漏，無縫連接，結(jié)果多少？27.9。

好了，孩子們，速度，方隊(duì)的速度是多少呢？給你選擇，是我告訴你，還是你自己把它算出來？（自己算）好的，厲害，愿意接受挑戰(zhàn)。課前我們就知道了，這次閱兵節(jié)拍由之前的116拍變成112拍，112拍是什么意思？對，一分鐘走112步。一步是多長？75厘米，那么你能不能根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)，算出速度，1秒鐘走多少米？好，自己獨(dú)立完成。

好，我們聽聽張敏杰怎么做的。

生：112乘以75再除以60等于140米每秒。

（有學(xué)生不同意，說是“1.4”。）

師：同意140米的舉手。同意1.4米的舉手。我看到敏杰寫的140，我想，新的世界紀(jì)錄誕生了。

（學(xué)生笑）

你知道100米全世界跑得最快的是誰？博爾特，博爾特100米跑多少？9秒58?，F(xiàn)在，敏杰讓我們閱兵的士兵140米跑一秒。（全班大笑）我們班老師肯定提醒過，注意單位名稱。孩子們，錯(cuò)誤都是提醒，掌聲感謝敏杰提醒我們。

好了，孩子，整個(gè)方隊(duì)的長度、檢閱區(qū)的長度和速度都知道了，現(xiàn)在你能夠計(jì)算出通過時(shí)間了嗎？獨(dú)立完成。比賽，看男同學(xué)全對的多還是女同學(xué)全對的多。

好，來，昕宇報(bào)一下算式。

生：（96+27.9）÷1.4=88.5（秒）

師：男同學(xué)跟昕宇一樣的舉手，16。女同學(xué)……我們班男生女生人數(shù)一樣嗎？（不一樣）哦，那不比了。（同學(xué)們笑）看來大家都知道怎么去算，總路程除以速度就等于時(shí)間。我非常佩服地告訴你，同學(xué)們算出的答案跟閱兵指揮官的數(shù)據(jù)完全一致。

（學(xué)生鼓掌）

做完這道題，我又發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：旗手和將軍、和第一排士兵的間隔為什么是6米，而不是7米？

生：六六大順！

（學(xué)生笑）

師：是，這是一個(gè)很好的解讀的角度，六六大順嘛。還有沒有其他的角度？孩子們，一個(gè)問題背后的答案往往不止一個(gè)。

生：我覺得看起來比較整齊，因?yàn)?米是雙數(shù)。

師：還有沒有其他的角度？

生：我想閱兵都是有時(shí)間限制的，如果距離長了時(shí)間就不夠了。

生：我還有個(gè)想法，因?yàn)槟_長是0.3米，如果是6米是20個(gè)腳，比較好量。

師：我覺得昕宇講的角度還有啟發(fā)。6米，一步是75厘米，算一算6米是跨幾步呀？快用計(jì)算器算。

生：8步。

師：怎么算的？600除以75，很好。我們知道單位要統(tǒng)一是不是？如果是7米的話，是多少步呢？是不是除不開了？不是一個(gè)整步數(shù)了。中間間隔6米，第一排旗手踩著敬禮線了，然后將軍還可以踩著那條線，第一排士兵也可以踩著線，因?yàn)樗麄冎虚g是整步數(shù)。如果變成7米的話，第一排人踩到了，后面的人還能踩到嗎？踩不到了。

孩子們，你們注意到了嗎？閱兵的時(shí)候?qū)④姾埃合蛴铱?！那是四拍喊的，四拍喊完之后，再過四拍士兵就可以踩著線了。來，我們一起看看。我們打著節(jié)拍看腳步。

（放閱兵視頻，狼牙山五壯士英模部隊(duì)方隊(duì)）

很好，同學(xué)們的節(jié)拍打得挺準(zhǔn)的。孩子，我們打節(jié)拍看腳步，先看旗手的腳，然后再看將軍的腳，然后看士兵的腳。再來一遍。

（再放一遍閱兵視頻）

真好，都踩到了。這么一研究是不是認(rèn)同大哲學(xué)家說的一句話：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?/p>

（學(xué)生鼓掌）

三、當(dāng)坦克踩上俄軍的腳跟

師：孩子們，當(dāng)我從報(bào)紙上看到這次閱兵還有俄羅斯軍隊(duì)參加的時(shí)候，我就想到，我在俄羅斯紅場看到俄軍踢正步。他們的正步跟我們的正步大不相同，請看。（展示圖片，學(xué)生笑）他們兩腿之間的角度是90度到100度，我們兩腿之間的角度是45度到60度。我們一步長75厘米，他們一步長80厘米。問題來了。

（展示PPT，中國士兵每步75cm，俄羅斯士兵每步80cm，假設(shè)每個(gè)方陣相距20米，俄羅斯方陣需多少秒鐘追上中國方陣？）

（學(xué)生紛紛說是“追及問題”）

好了，我們不去算具體多少秒了。你知道這個(gè)問題在閱兵指揮官那是怎么解決的嗎？請看屏幕。

（展示PPT：本次閱兵外軍隊(duì)伍按中國步伐標(biāo)準(zhǔn)受閱）

俄羅斯按照我們的步伐標(biāo)準(zhǔn)接受檢閱的。一分鐘112步，一步75厘米。這樣還存在追及問題嗎？不存在了。好的。那這次閱兵中就沒有追及問題了嗎？

有，還有坦克。俄軍方隊(duì)之后就是坦克方隊(duì)，坦克方隊(duì)的速度是2.78米/秒，想象一下會(huì)有什么事情發(fā)生？那怎么解決呢？

生：坦克放慢速度。

師：坦克放慢速度就不是坦克了，是蝸牛了。

生：俄軍再加快速度。

師：他們又去踩人家了。

生：可以讓坦克表演邊轉(zhuǎn)邊走。

（學(xué)生笑）

師：增加一些活動(dòng)？很好的主意……大家的數(shù)學(xué)感覺挺好。到底怎么解決這個(gè)問題，欲知后事如何，且聽下回分解。好了，同學(xué)們，時(shí)間到了。今天這堂課我們一起分享了閱兵中的數(shù)學(xué)故事，回首這三個(gè)故事，你有什么收獲？

生：火車過橋問題。

師：也就是我們以前在課本中學(xué)的問題，在今天解決了閱兵問題。有了用武之地。

生：我知道了可能在生活中一件很微小的事情中也有數(shù)學(xué)問題。生活處處有數(shù)學(xué)問題。

師：真好。叫什么名字？王文倩。馬克思說了一句跟你類似的話，（展示PPT）一起讀：

生（齊）：任何一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)的時(shí)候，才能達(dá)到真正完善的地步。——馬克思

師：任何一門科學(xué)，任何地方都有數(shù)學(xué)。所以大哲學(xué)家培根也說過一句話。

生（齊）：數(shù)學(xué)使人精細(xì)。

師：你是不是感受到了這一點(diǎn)？有精細(xì)才有了美。好，還有什么收獲？

生：華老師說有了數(shù)學(xué)才會(huì)有了美。我們在閱兵這個(gè)數(shù)學(xué)問題中對這句話有了深刻的理解。

師：真好！今天這節(jié)課學(xué)得開心嗎？為什么呢？這就是孔子說的那句話：學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦說乎。我們前面學(xué)了，今天是在習(xí)，實(shí)際地練習(xí)。所以我們感到很高興。

今天這堂課我們不斷地在想象。數(shù)學(xué)是抽象的，學(xué)數(shù)學(xué)需要想象。想象了就好玩。好了，孩子們，其實(shí)上了這堂課，概括起來，我有一句話跟大家分享——

（展示PPT）

生（齊）：心中有數(shù)，無限美好。

師：你再看閱兵的時(shí)候，是不是能感受到這一點(diǎn)呢？

（再次播放閱兵視頻，學(xué)生鼓掌，課程結(jié)束）

華應(yīng)龍老師著作《華應(yīng)龍與化錯(cuò)教學(xué)》，北京師范大學(xué)出版社2015年出版