貝葉斯原理的不確定度評定方法比較

姜　瑞，陳曉懷

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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貝葉斯原理的不確定度評定方法比較

姜瑞，陳曉懷

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

針對僅依據(jù)測量樣本信息進行不確定度評定的局限性，利用貝葉斯信息融合原理，分別研究了基于無信息先驗、共軛先驗和最大熵先驗分布的測量不確定度評定與更新方法，使評定過程充分融合歷史先驗信息和當(dāng)前樣本信息，提高了測量不確定度評定的可靠性。仿真實例表明：無信息先驗方法沒有將各組測量數(shù)據(jù)融合，其仿真結(jié)果波動最大；共軛先驗方法仿真結(jié)果波動較大，經(jīng)過多次數(shù)據(jù)融合逐漸趨于理論值；最大熵先驗方法仿真結(jié)果波動較小，經(jīng)過數(shù)據(jù)融合逐漸趨近于理論值。

不確定度評定；貝葉斯原理；無信息先驗；共軛先驗；最大熵先驗

0　引言

測量不確定度作為反映測量結(jié)果質(zhì)量水平及可靠程度的重要指標(biāo)，其評定方法越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[1-5]?，F(xiàn)有研究在評定測量不確定度時，有些僅依據(jù)歷史經(jīng)驗、專家意見和先驗資料[6]，忽略了測量系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)；有些僅依據(jù)測量樣本信息，忽略了與測量系統(tǒng)歷史信息的結(jié)合[7-9]。這些方法均不能充分反映測量系統(tǒng)的最新狀態(tài)，影響了不確定度評定結(jié)果的可靠性和合理性。

基于貝葉斯信息融合的不確定度評定方法以貝葉斯統(tǒng)計推斷原理為基礎(chǔ)，能夠充分融合歷史先驗信息和當(dāng)前樣本信息[10-12]。根據(jù)歷史信息確定先驗分布，通過貝葉斯模型融合先驗分布和當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)，繼而推導(dǎo)出后驗分布，實現(xiàn)對測量不確定度的評定及更新。

貝葉斯評定方法的關(guān)鍵在于根據(jù)歷史信息合理確定先驗分布，先驗分布是貝葉斯統(tǒng)計模型的重要組成部分?，F(xiàn)有文獻對于貝葉斯先驗分布有一定研究[13-15]，但多數(shù)文獻只是簡單介紹某種先驗分布方法，對于其優(yōu)勢、局限性以及適用范圍并沒有進行深入分析[13-14]。此外，很少有研究將貝葉斯及其先驗分布方法應(yīng)用于測量不確定度的評定及更新。因此，本文對基于無信息先驗、共軛先驗和最大熵先驗的貝葉斯評定方法進行對比分析，對于合理測量不確定度評定具有重要的實際意義。

1　貝葉斯不確定度評定方法

(1)

2　基于無信息先驗的貝葉斯不確定度評定

2.1無信息先驗分布

其Fisher信息陣為：

I(θ)=(Iij(θ))p×p；

則θ的無信息先驗密度為：

π(θ)=[detI(θ)]1/2,

其中：detI(θ)表示p階方陣I(θ)的行列式。

(2)

2.2無信息先驗下的后驗分布及不確定度

(3)

其中：μ為正態(tài)總體均值；σ為正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差；v為自由度。

結(jié)合式(2)，由貝葉斯公式獲得μ和σ2聯(lián)合后驗密度函數(shù)為：

(4)

即后驗分布服從：

根據(jù)GUM和式(1)可知，基于無信息先驗分布的后驗分布最佳估計值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

(5)

3　基于共軛先驗的貝葉斯不確定度評定

在已知一定的先驗信息和樣本分布的情況下，可利用共軛貝葉斯方法進行不確定度評定。共軛貝葉斯方法的特點在于先驗分布和后驗分布形式相同，即后驗分布融合了先驗信息與樣本信息之后只是相應(yīng)地改變了其分布參數(shù)值，仍然與先驗分布屬于同一分布函數(shù)形式。另外，每一次信息融合后得到的后驗分布可以作為后續(xù)評定的先驗信息，如此反復(fù)應(yīng)用，可以使測量信息得到持續(xù)更新。

3.1共軛先驗分布

(6)

3.2共軛先驗下的后驗分布及不確定度

設(shè)樣本的觀測值為(X11,X12,…,X1n1)，其似然函數(shù)為：

(7)

結(jié)合式(6)，由貝葉斯公式獲得μ和σ2聯(lián)合后驗密度函數(shù)為：

(8)

即后驗分布服從：

由GUM和式(1)可知，基于共軛先驗分布下的后驗分布最佳估計值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

(9)

4　基于最大熵原理的貝葉斯不確定度評定

針對隨機變量概率分布難以確定，且通常只能獲得測量結(jié)果的均值和方差等特征值的局限性，采用最大熵原理確定先驗分布和樣本信息概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction，PDF)，能夠降低對隨機變量概率分布的預(yù)測風(fēng)險，使測量不確定度評定結(jié)果更加客觀合理。

4.1最大熵原理確定先驗分布和樣本分布

假設(shè)一個隨機變量x，其唯一的PDF即f(x)可以由最大熵函數(shù)H(x)獲得：

f(x)約束條件為：

(10)

在熵函數(shù)中引入Lagrange乘子λi(i=1,2,…,n)，得到：

圖1　爬山算法程序流程

結(jié)合式(10)，整理得：

(11)

記殘差ri為：

4.2最大熵先驗下的后驗分布及不確定度

(12)

其中：Θ為參數(shù)空間。

由GUM可知，基于最大熵原理的后驗分布最佳估計值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示為：

(13)

基于式(12)獲得的后驗分布，可作為后續(xù)評定的先驗信息。結(jié)合式(13)，可隨著測量過程不斷融入測量系統(tǒng)的最新信息，實現(xiàn)不確定度評定的連續(xù)更新。

5　MATLAB仿真

假設(shè)一個隨機變量X服從正態(tài)分布N(30,0.022)，利用MATLAB對X～N(30,0.022)隨機抽樣，按照抽樣順序得到8組隨機數(shù)，見表1。

表1　MATLAB仿真隨機抽樣數(shù)據(jù)

5.1無信息先驗貝葉斯不確定度評定

5.2共軛先驗貝葉斯不確定度評定

以第1組數(shù)據(jù)為先驗信息，計算其均值μ0、標(biāo)準(zhǔn)差σ0、方差S0及標(biāo)準(zhǔn)不確定度u0為：

μ0=30.000 15； σ0=0.012 3； S0=0.001 35； u0=0.012 3。

根據(jù)第2組數(shù)據(jù)得到S1=0.003 34，由式(9)求得融合先驗數(shù)據(jù)和第1組數(shù)據(jù)的測量信息標(biāo)準(zhǔn)不確定度u1=0.016 7。

以第1次信息融合后的后驗分布作為先驗信息，根據(jù)第3組數(shù)據(jù)即新樣本數(shù)據(jù)得到S2=0.003 25，由式(9)求得融合前3組數(shù)據(jù)的測量信息標(biāo)準(zhǔn)不確定度u2=0.019 7。重復(fù)上述計算過程，獲得共軛先驗貝葉斯不確定度評定與更新的仿真結(jié)果，見表2。

5.3最大熵先驗貝葉斯不確定度評定

以第1組數(shù)據(jù)為先驗信息，確定其積分區(qū)間為[29.979 4,30.019 0]。

f1(x)=exp(221.962 8-19.315 4x+0.7x2-0.01x3)。

通過式(13)確定先驗數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

u0=0.018 5。

將第2組數(shù)據(jù)作為樣本信息，獲得當(dāng)前樣本似然函數(shù)。首先確定其積分區(qū)間為[29.976 5,30.033 6]，利用式(10)求得樣本數(shù)據(jù)前3階樣本矩m′i=[30.028 4,900.950 3,27 015.105 4]。令

λ′0=-164.486，從而得出樣本似然函數(shù)為：

f2(x)=exp(-164.486-21.430 7x+0.9x2)，

代入式(12)求得后驗分布PDF：g1(x)=exp(57.476 8-40.746 1x+1.6x2-0.01x3)。根據(jù)式(13)求得后驗分布標(biāo)準(zhǔn)不確定度u1=0.022 6。

以融合前兩組數(shù)據(jù)的后驗分布g1(x)作為先驗信息，同理獲得第3組數(shù)據(jù)樣本似然函數(shù)：f3(x)=exp(256.857 7-17.481 4x+0.9x2-0.02x3)。通過代入式(12)求得融合前3組數(shù)據(jù)的后驗分布PDF：g2(x)=exp(315.614 5-56.227 5x+2.5x2-0.03x3)。根據(jù)式(13)求得后驗分布標(biāo)準(zhǔn)不確定度u2=0.025 3。重復(fù)上述過程，獲得最大熵先驗貝葉斯不確定度評定與更新的仿真結(jié)果，見表2。

表2　3種貝葉斯不確定度評定方法仿真結(jié)果

5.4仿真結(jié)果分析

分析對比3種貝葉斯不確定度評定方法的仿真結(jié)果，如圖2所示。

無信息先驗貝葉斯不確定度只是通過貝葉斯統(tǒng)計推斷獲得每一組測量數(shù)據(jù)的不確定度，并沒有將各組測量數(shù)據(jù)進行信息融合,該方法仿真結(jié)果波動大，適用于無任何先驗信息或先驗信息極少的情況。

共軛先驗貝葉斯不確定度仿真結(jié)果波動較大，通過多次信息融合，能夠逐漸趨于標(biāo)準(zhǔn)不確定度理論值。這種方法可利用歷史數(shù)據(jù)和當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)作為先驗信息，即以后驗分布作為進一步試驗的先驗信息，再進行評定試驗，獲得新的后驗分布仍與先驗分布屬于同一個分布類型，可為后續(xù)不確定度評定提供合理前提。但共軛先驗方法要求已知先驗信息的具體分布類型，對于實際測量信息需要假定服從某種分布，產(chǎn)生一定主觀風(fēng)險。因此，共軛先驗方法適用于已知測量信息分布類型的不確定度評定。

圖2　3種貝葉斯不確定度評定方法仿真結(jié)果對比

最大熵先驗貝葉斯不確定度評定仿真結(jié)果波動較小，通過信息融合能夠趨近于標(biāo)準(zhǔn)不確定度理論值。這種方法不需要確定測量信息的具體分布類型，可有效避免因人為假定而引起的主觀因素影響，提高先驗分布和后驗分布的可靠程度。引入最優(yōu)化算法，利用計算機編程可以解決測量不確定度評定的最優(yōu)化問題，使不確定度評定工作效率得到提高。實時融入最新測量數(shù)據(jù)，可實現(xiàn)評定結(jié)果的連續(xù)更新。最大熵先驗不確定度評定方法對算法和編程能力有很高的要求，并且需要不斷探索更加高效的最優(yōu)化算法。

6　結(jié)束語

貝葉斯不確定度評定方法能夠充分融合歷史先驗信息和當(dāng)前樣本信息，使測量信息的不確定度隨測量過程實時連續(xù)更新，及時反映測量系統(tǒng)狀態(tài)的最新信息。其中，無信息先驗下的貝葉斯不確定度評定方法并沒有融合實際測量數(shù)據(jù)，其不確定度評定和更新結(jié)果波動很大；而共軛先驗和最大熵先驗建立的貝葉斯不確定度動態(tài)評定模型，通過多次數(shù)據(jù)融合，不確定度趨于理論值，這兩種方法下的不確定度評定和更新結(jié)果更加客觀合理。

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國家自然科學(xué)基金項目(51275148);合肥工業(yè)大學(xué)青年教師創(chuàng)新基金項目(JZ2014HGQC0126)

姜瑞(1991-),女,山西霍州人,碩士生;陳曉懷(1954-),女,安徽懷寧人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要研究方向為現(xiàn)代精度理論與應(yīng)用.

2016-06-12

1672-6871(2016)06-0021-07

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.06.005

TB92

A