基于靈敏度與相關(guān)性的綜合負荷模型參數(shù)優(yōu)化辨識策略

李培強　李　慧　李欣然（湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長沙 410082）

基于靈敏度與相關(guān)性的綜合負荷模型參數(shù)優(yōu)化辨識策略

李培強李慧李欣然
（湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長沙 410082）

綜合負荷建模及其參數(shù)辨識是電力系統(tǒng)分析研究的重點和難點之一。為了研究綜合負荷模型參數(shù)對模型響應(yīng)的影響以及參數(shù)之間的動態(tài)關(guān)聯(lián)，提出一種基于參數(shù)靈敏度與相關(guān)性分析的綜合負荷模型優(yōu)化辨識策略。首先，對配電網(wǎng)集結(jié)等效的綜合負荷模型進行解析靈敏度分析以及Hessian矩陣特征值表征的靈敏度分析；其次，通過Pearson相關(guān)系數(shù)判斷參數(shù)一階靈敏度之間的相關(guān)性，得到對輸出響應(yīng)作用相似的參數(shù)；然后，在遺傳算法與Levenberg-Marquardt算法相結(jié)合的混合算法基礎(chǔ)上，提出固定靈敏度小的參數(shù)，按比例簡化辨識線性相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化辨識策略；最后，通過實測曲線及完整負荷模型的仿真，驗證了該辨識策略的有效性。

綜合負荷模型 靈敏度分析 Hessian矩陣 線性相關(guān)性分析 參數(shù)優(yōu)化

0　引言

現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中，合理的負荷模型結(jié)構(gòu)和準確的模型參數(shù)，是電力系統(tǒng)數(shù)字仿真準確性和可靠性的基本前提，直接影響電力部門規(guī)劃與運行的決策方案［1，2］。隨著電網(wǎng)規(guī)模的快速發(fā)展，負荷構(gòu)成日益復(fù)雜，傳統(tǒng)的負荷模型結(jié)構(gòu)和“典型參數(shù)”與實際電網(wǎng)的適應(yīng)性問題也日益突出［3，4］，許多學(xué)者對此展開了研究。文獻［5-7］基于現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)建立負荷模型，模型結(jié)構(gòu)和模型參數(shù)更加準確地描述了實際負荷受到干擾時的動態(tài)響應(yīng)。而文獻［8-10］重點分析了負荷模型參數(shù)的選取、簡化及適應(yīng)性等問題，在一定程度上緩解了負荷建模“典型參數(shù)”選取粗糙與待辨識參數(shù)過多兩者之間的矛盾。

綜合負荷模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)是影響負荷模型準確性的兩個重要決定因素。負荷模型結(jié)構(gòu)要盡可能簡單準確地反映負荷特性，而待辨識參數(shù)要在減小模型輸出與真實測量值之間的誤差的前提下盡可能地易于辨識。相對于傳統(tǒng)的綜合負荷模型，含配電網(wǎng)的綜合負荷模型有較好的負荷特性描述能力，但是待辨識參數(shù)較多，電力負荷是多種非線性元件的集合，這將導(dǎo)致模型參數(shù)具有不確定性和復(fù)雜性，極大地增加了辨識難度。另一方面，在工程實踐中，調(diào)度人員往往希望模型結(jié)構(gòu)在準確反映負荷特性的基礎(chǔ)上，能最大限度地減少待辨識模型參數(shù)［11］，以提高模型的實用性和工作效率。

本文通過一階靈敏度和 Hessian矩陣特征值對配電網(wǎng)集結(jié)等效的綜合負荷模型進行靈敏度分析，得到對負荷模型起重要作用的參數(shù)。通過 Pearson相關(guān)系數(shù)判斷參數(shù)一階靈敏度之間的相關(guān)性，得到對輸出響應(yīng)作用相似的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上，提出固定靈敏度小的參數(shù)、按比例簡化辨識線性相關(guān)參數(shù)的負荷模型優(yōu)化辨識策略。通過實測數(shù)據(jù)及仿真分析，驗證了該模型的有效性。

1　配電網(wǎng)集結(jié)等效的綜合負荷模型

1.1負荷模型結(jié)構(gòu)

本文采用如圖1所示的配電網(wǎng)集結(jié)等效的綜合負荷模型［12］。其中，Rr為負載等值電阻，Re為網(wǎng)絡(luò)等值電阻，Rs為電動機定子等值電阻，s（t）為電動機轉(zhuǎn)差率。電動機模型為忽略定子電磁暫態(tài)的三階模型，詳細的解析描述參見文獻［11］，本文僅給出其功率輸出方程，即

圖1　綜合負荷模型的等效電路Fig.1 Equivalent circuit of composite load model

式中，Ud、Uq和Id、Iq分別為電動機d軸與q軸電壓及電流分量。綜合負荷模型中靜態(tài)負荷采用如式（2）所示的多項式模型。式中，下標 zip表示靜態(tài)負荷模型的恒阻抗、恒電流和恒功率模型的組合；Ap、Bp、Cp和Aq、Bq、Cq為各類有功、無功負荷所占的百分比，Ap+Bp+ Cp=1，Aq+Bq+Cq=1；Pzip0、Qzip0為基值電壓時zip負荷吸收的功率；UN、UN0分別為負荷母線（圖1中L點）實際電壓及基值電壓。UN計算式為

式中，UNx、UNy分別為UN在x、y軸的分量。

動態(tài)無功補償元件模型如式（4）所示。

式中，kq為無功補償系數(shù)。為了描述綜合負荷模型各負荷所占的比例，定義感應(yīng)電動機所占的比例為

式中，Pim0為感應(yīng)電動機初始時刻有功功率；PL0為初始時刻負荷母線有功功率。本文感應(yīng)電動機模型和配電網(wǎng)集結(jié)等效模型采用相同的基準，即圖 1中基準變換環(huán)節(jié)K=1。

綜上所述，綜合負荷模型的功率平衡關(guān)系為

由式（1）～式（7）可知，圖1所示的綜合負荷模型獨立待辨識參數(shù)共16個（Rs、Xs、Rr、Xr、Xm、H、A、B、Km、Re、Xe、kq、Ap、Bp、Aq、Bq），記為α。

1.2 辨識方法

為了弱化算法對初值的依賴程度，同時保證全局收斂特性及局部收斂速度，本文采用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）與 LM（Levenberg-Marquardt）算法相結(jié)合的混合算法進行負荷模型參數(shù)辨識。LM 算法是使用最廣泛的最小二乘法，其算法簡單，收斂速度快，同時具有梯度法的全局特性和牛頓法的局部收斂性［13］。但其對初值的依賴性很強，若初值背離全局最優(yōu)值，常常導(dǎo)致辨識結(jié)果的分散性。而GA不依賴初值，具有較強的全局搜索能力，但局部搜索能力較弱。具體過程為：首先通過GA粗調(diào)得到一個全局最優(yōu)近似解，以此作為LM 算法初值，達到準確度限制或最大迭代步數(shù)，則切換至 GA；以 LM算法的結(jié)果作為初始種群，完成一次完整的遺傳操作（選擇、交叉和變異）則切換至 GA，這樣反復(fù)交替優(yōu)化，直到滿足準確度要求為止。

本文采用文獻［14］所述的改進遺傳算法，適應(yīng)度函數(shù)為誤差函數(shù)的倒數(shù)。誤差函數(shù)為

式中，N為數(shù)據(jù)長度；Pi、Qi分別為負荷有功、無功實測響應(yīng)；?iP、?iQ分別為負荷有功、無功模型響應(yīng)。

LM算法中，待辨識參數(shù)α 迭代步長為式中，J即Jacobian矩陣，是獨立待辨識參數(shù)α關(guān)于功率響應(yīng)的一階靈敏度矩陣；diag（JTJ）為矩陣JTJ的對角元素；、f（α）分別為功率實測值與模型響應(yīng)；λ為阻尼因子。

2　負荷模型參數(shù)靈敏度與相關(guān)性

2.1負荷模型參數(shù)解析靈敏度

由式（10）可得綜合負荷模型各參數(shù)關(guān)于功率響應(yīng)的一階靈敏度，即

由式（3）可知，UL只與配電網(wǎng)參數(shù) α1有關(guān)，故式（11）中?UL?α可表示為

文獻［15］對感應(yīng)電動機負荷模型參數(shù)解析靈敏度進行了詳細的分析，限于篇幅，本文僅對配電網(wǎng)參數(shù)Re、Xe及Km的解析靈敏度進行分析。

由式（1）～式（4）可得配電網(wǎng)參數(shù)關(guān)于感應(yīng)電動機、ZIP負荷、無功補償?shù)撵`敏度為

由式（4）可知，Km關(guān)于補償無功Qc的靈敏度為0，即=0；Km關(guān)于感應(yīng)電動機、ZIP負荷的靈敏度可表示為

式中，dE′、qE′分別為感應(yīng)電動機負荷模型的d、q軸次暫態(tài)電動勢。

將式（13）、式（14）分別代入式（11）即可求得Re、Xe、Km對功率的一階靈敏度。

2.2基于Hessian矩陣特征值的參數(shù)靈敏度分析

Hessian矩陣定義為目標函數(shù)關(guān)于參數(shù)向量的二階偏導(dǎo)。在工程實踐中，Hessian矩陣計算量很大，很難得到其準確解，因此可簡單地近似為

由矩陣特征值含義可知，特征值與特征向量一一對應(yīng)，特征值越大，自變量在對應(yīng)特征向量方向上變化時，對函數(shù)值的影響越大，因此，Hessian矩陣特征值在一定程度上可以反映參數(shù)靈敏度的大小。由式（9）可知，如果參數(shù)對應(yīng)的Hessian矩陣特征值為0（或接近 0），即 Hessian矩陣奇異（或接近奇異），此參數(shù)將很難準確辨識，因此有必要對Hessian矩陣特征值進行分析，找出特征值較小的參數(shù)，并進行分析。

2.3 線性相關(guān)性分析

Hessian矩陣特征值為負荷模型參數(shù)靈敏度分析提供了一種新的判斷依據(jù)。一般情況下，Hessian矩陣大特征值對應(yīng)的參數(shù)其靈敏度較高，但是小特征值對應(yīng)的參數(shù)其靈敏度則有兩種可能：

（1）Jacobian矩陣有一列或多列全為0（或接近0），導(dǎo)致 Hessian矩陣特征值為 0（或接近 0），此時模型輸出響應(yīng)不隨參數(shù)變化而發(fā)生明顯變化，即該參數(shù)靈敏度較低。

（2）Jacobian矩陣中某兩列或多列線性相關(guān)，導(dǎo)致 Hessian矩陣中相應(yīng)特征值較小，此時，模型輸出仍可能隨參數(shù)變化表現(xiàn)出明顯的動態(tài)特性，因而不能簡單地認為該參數(shù)靈敏度小。這種情況下需要分析Jacobian矩陣各列的線性相關(guān)性，本文通過Pearson相關(guān)系數(shù)進行相關(guān)性分析。

Pearson相關(guān)系數(shù)又稱積矩相關(guān)系數(shù)，是反映兩個變量線性相關(guān)程度最常用的一種統(tǒng)計量。取Jacobian矩陣中任意兩列作為變量 x、Y，則 x、Y之間的Pearson相關(guān)系數(shù)可以表示為

式中n為變量X、Y的樣本長度。r絕對值越大，X、Y之間的線性相關(guān)程度越強；r=1時，X、Y完全線性相關(guān)。

3　實例研究

為檢驗本文所提辨識策略的有效性，選取我國某110kV變電站66kV側(cè)的兩個實測樣本（樣本A和樣本 B）進行仿真分析。實測樣本電壓擾動曲線如圖2所示。

圖2　電壓擾動曲線Fig.2 Voltage disturbance curves

本節(jié)以樣本A為例進行參數(shù)靈敏度與相關(guān)性分析。為了保證參數(shù)分析的準確性，仿真用參數(shù)需在其合理的范圍內(nèi)。參考國內(nèi)外感應(yīng)電動機負荷的典型值［1］，在典型值附近作適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小得到電動機參數(shù)的初始范圍，結(jié)合電力負荷建模經(jīng)驗，得到其余參數(shù)初始搜索范圍如下：Km為0.1～0.9；Xe為0～0.1，Re為0～0.006；Ap、Bp、Aq、Bq為0～1；kq為-2～4。表1給出了通過GA粗調(diào)得出的一組用于仿真分析的全局最優(yōu)近似解。

表1仿真用綜合負荷模型參數(shù)Tab.1 Parameters of composite load model for simulation

3.1基于實測數(shù)據(jù)的參數(shù)靈敏度

3.1.1綜合負荷模型一階靈敏度

綜合負荷模型中，Ap、Bp僅與有功功率有關(guān)，kq、Aq、Bq僅與無功功率有關(guān)。圖 3給出了綜合負荷模型各參數(shù)關(guān)于有功、無功響應(yīng)的一階靈敏度。

圖3　負荷模型參數(shù)一階靈敏度Fig.3 The first-order sensitivity of load model parameters

由圖 3可知，相對于 Rs、Xs、Rr、Xr，電動機參數(shù)Xm、H、A、B及靜態(tài)負荷模型參數(shù) Ap、Bp、Aq、Bq、kq對模型響應(yīng)的影響較?。欢潆娋W(wǎng)參數(shù)對模型響應(yīng)有很大影響。此外，Km靈敏度也比較大，這意味著確定感應(yīng)電動機的比例對模型響應(yīng)有著重要的影響，尤其對有功響應(yīng)。值得注意的是，Xs與Xr、Ap與 Bp、Aq與 Bq的靈敏度軌跡幾乎相同，這為下文參數(shù)相關(guān)性分析提供了依據(jù)。表2給出了基于樣本A的綜合負荷模型各參數(shù)靈敏度的平均值。

表2　綜合負荷模型參數(shù)靈敏度平均值Tab.2 The average sensitivity of composite load model parameters

表 2中部分參數(shù)（Rs、Xs、Rr、Xr、Km、Re、Xe）的靈敏度較大，在綜合負荷模型動態(tài)響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，應(yīng)重點辨識。靜態(tài)負荷模型參數(shù)Ap、Bp、Aq、Bq、kq在電壓擾動過程中靈敏度值明顯高于穩(wěn)態(tài)值（如Ap擾動過程靈敏度平均值為-0.027，穩(wěn)態(tài)為-5.43×10-5），為了突出其對模型動態(tài)響應(yīng)的作用，也應(yīng)給予辨識。

3.1.2基于Hessian矩陣特征值的參數(shù)靈敏度

由Jacobian矩陣及式（15）可得負荷模型參數(shù)關(guān)于有功、無功響應(yīng)的 Hessian矩陣，其特征值排序分別見表3、表4（降冪排序）。由表3、表4可知，Xe關(guān)于有功響應(yīng)及Re關(guān)于無功響應(yīng)的特征值很大，電動機參數(shù) Rs、Xs、Rr相對于xm、H、A、B特征值也比較大，Ap、Bp、kq、Aq、Bq特征值幾乎為0。因此，Hessian矩陣特征值表征的參數(shù)靈敏度與一階靈敏度基本一致，但xr除外，Xr對應(yīng)的特征值很小，而大量文獻［3，11，15］研究表明，Xr的改變對模型動態(tài)響應(yīng)有較大影響，下文將對此現(xiàn)象進行分析。

表3　有功功率Hessian矩陣特征值表征的靈敏度Tab.3 The eigenvalue sensitivity of active power Hessian matrix

表4　無功功率Hessian矩陣特征值表征的靈敏度Tab.4 The eigenvalue sensitivity of reactive power Hessian matrix

3.2基于實測數(shù)據(jù)的參數(shù)相關(guān)性

由感應(yīng)電動機數(shù)學(xué)模型可知，電動機狀態(tài)變量及模型參數(shù)之間相互耦合。例如穩(wěn)態(tài)電抗X和暫態(tài)電抗X′由xs、Xr、Xm計算得出，因此基于電動機狀態(tài)方程求Xs、Xr、Xm靈敏度時，三者可能存在一定的關(guān)聯(lián)。表 5、表6分別給出了電動機模型和靜態(tài)負荷模型參數(shù)一階靈敏度的相關(guān)系數(shù)。限于篇幅，表5只列舉出與Xr有關(guān)的相關(guān)系數(shù)，以重點分析小特征值參數(shù)Xr對模型響應(yīng)的影響。

表6　靜態(tài)負荷模型參數(shù)一階靈敏度相關(guān)系數(shù)Tab.6 The correlation coefficient of the first order sensitivity of the first order sensitivity of the static load model parameters

由表5可知，Xs、Rs關(guān)于有功和無功響應(yīng)的一階靈敏度的相關(guān)系數(shù)都接近 1，即兩者線性相關(guān)。這由圖2中Xs、Rs的一階靈敏度曲線可以證明。因此，雖然Xr對應(yīng)的Hessian矩陣特征值最小，但Xs與 Rs對模型響應(yīng)有著相似的影響。同理可知，Ap與Bp、Aq與Bq的一階靈敏度之間線性相關(guān)。

3.3模型有效性驗證

由上文研究可知，基于樣本A的綜合負荷模型中，參數(shù)Xm、H、A、B靈敏度較小，Xs與 xr、Ap與 Bp、Aq與 Bq的一階靈敏度線性相關(guān)?？紤]到電動機慣性時間常數(shù)H可能影響電動機和電力系統(tǒng)振蕩周期［1］，因此，只固定 xm、A、B為表 1所示的全局最優(yōu)近似解，并按式（17）所示比例簡化辨識Xr、Bp和Bq。

式中，A1代表Xr、Bp、Bq；A2代表Xs、Ap、Aq；δA1、δA2分別為LM算法中A1、A2的迭代步長。此方法避免了GA中Xm、A、B的辨識以及LM算法中Xr、Bp、Bq和Xm、A、B對應(yīng)的Jacobian矩陣的計算。Hessian矩陣由16×16減小至10×10，有效地減小了計算規(guī)模，同時避免了小特征值參數(shù)變化引起的Hessian矩陣奇異，提高了算法的魯棒性。為了驗證該辨識策略的有效性，本節(jié)分別對樣本A、B進行負荷模型參數(shù)辨識，參數(shù)辨識結(jié)果見表7。表7中，組別A1與A2、B1與B2分別代表樣本A簡化模型與完整模型、樣本B簡化模型與完整模型。

表7　綜合負荷模型參數(shù)辨識結(jié)果Tab.7 Identified parameters of composite load model

樣本A、B的模型響應(yīng)分別如圖4、圖5所示，由圖可知，簡化負荷模型具有較好的負荷特性描述能力。由表8的辨識殘差與辨識效率對比可知，本文所提辨識策略建立的負荷模型對有功響應(yīng)的影響較小，對無功響應(yīng)的影響略大，但仍可以保證整體辨識的準確度。此外，相對于完整模型，簡化模型的辨識效率有較大程度的提高。因此，本文所提出的模型優(yōu)化策略是有效的。

圖4　樣本A實測數(shù)據(jù)與模型響應(yīng)Fig.4 The measured data and model response of sample A

圖5　樣本B實測數(shù)據(jù)與模型響應(yīng)Fig.5 The measured data and model response of sample B

表8　辨識殘差與辨識效率對比Tab.8 The comparison ofIdentification error and efficiency

4　結(jié)論

本文通過對配電網(wǎng)集結(jié)等效的綜合負荷模型進行靈敏度及相關(guān)性分析，得到對負荷特性影響較小及相似的參數(shù)，進而提出固定靈敏度小的參數(shù)，按比例簡化辨識線性相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化辨識策略。依據(jù)實測數(shù)據(jù)與仿真對比可知，該辨識策略建立的模型在保證辨識準確度的同時，突出了重要參數(shù)的作用，辨識效率得到了一定程度的提高。

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OptimizedIdentification Strategy for Composite Load Model Parameters Based on Sensitivity and Correlation Analysis

Li Peiqiang Li Hui Lixinran （School of Electrical andInformation Engineering Hunan University Changsha 410082 China）

Load modeling and parameterIdentification areImportant and difficult In power system analysis.To study the correlations between parameters and the effects of parameters on model response，an optimizedIdentification strategy based on parameter sensitivity and correlation analysisIs presented.Firstly，parameter sensitivities are analyzed based on analytic sensitivity and eigenvalues of Hessian matrix.Secondly，through the Pearson correlation coefficient，the correlations among 1st order sensitivity areIdentified to select the parameters that have the similar effects on model responses.Then，fixthe parameters with small sensitivities and simplify theIdentification of the linearly dependent parameters proportionately，using the hybrid algorithm combined genetic algorithm with levenberg-marquardt algorithm.Finally，efficiency of the optimized strategyIs verified by comparing the measure data with the simulations of theIntegrated load model.

Composite load model，sensitivity analysis，Hessian matrix，correlation analysis，parameter optimization

TM714；TM743

李培強 男，1975年生，博士，副教授，研究方向為電力系統(tǒng)分析與控制、電力系統(tǒng)負荷建模。

E-mail： lpqcs@hotmail.com

李 慧 女，1988年生，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)分析、電力系統(tǒng)負荷建模。

E-mail： lhhndx@163.com（通信作者）

國家自然科學(xué)基金（51277055）和國家重點基礎(chǔ)發(fā)展計劃（973計劃）（2012CB215106）資助項目。

2014-06-17 改稿日期 2015-12-24