函數(shù)列收斂性判別法的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)性教學(xué)法

劉炎，張學(xué)奇，陳文輝

(廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,廣東 廣州 510521)

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函數(shù)列收斂性判別法的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)性教學(xué)法

劉炎，張學(xué)奇，陳文輝

(廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,廣東 廣州 510521)

以“動(dòng)態(tài)”和“靜態(tài)”的對(duì)立統(tǒng)一思想來討論函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性與一致收斂性，據(jù)此，我們可以對(duì)于函數(shù)列收斂性判別法提供一種新的教與學(xué)的方式。

函數(shù)列;函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);收斂性;一致收斂性

函數(shù)列的收斂性與一致收斂性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它在級(jí)數(shù)的收斂理論中扮演著相當(dāng)重要的角色。一般的數(shù)學(xué)分析書籍都列出了許多判定方法，但是根據(jù)定義判定函數(shù)列的收斂性與一致收斂性的過程過于繁瑣，學(xué)生很難掌握其本質(zhì)，更難以靈活地用于實(shí)際判斷。事實(shí)上，這種困難在于沒有很好的把握收斂性定義與各種判定方法中的動(dòng)靜思想。我們可以注意到，無論從定義，命題還是習(xí)題，“任給”與“存在”是一對(duì)經(jīng)常并行出現(xiàn)的量詞?！叭谓o”是先動(dòng)后靜，“存在”是依賴著動(dòng)而靜，是一種動(dòng)靜結(jié)合的邏輯體系，可以說貫穿于整個(gè)分析學(xué)。本文從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，強(qiáng)化動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的思想來分析函數(shù)列的收斂性問題，得出這兩種狀態(tài)下收斂與一致收斂性的判定方法，并給出相應(yīng)的例題；最后，將此思想用運(yùn)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的判斷，收到了很好的教學(xué)效果。

1　判別函數(shù)列收斂與一致收斂的方法

按照函數(shù)列收斂的定義，當(dāng)我們考察函數(shù)列{fn(x)}在某區(qū)間I內(nèi)的收斂性的時(shí)候，我們通常需要考察這個(gè)函數(shù)列在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是否逐點(diǎn)收斂于某一函數(shù)f(x)。但是在實(shí)際應(yīng)用的過程中，運(yùn)用此方法比較繁瑣。因此，我們引入靜態(tài)的思想。將x固定在x0之時(shí)，我們稱之為靜態(tài)。而若函數(shù)列{fn(x)}所處靜態(tài)之時(shí)且同時(shí)令n→∞,若函數(shù)列fn(x0)收斂于f(x0)，那么我們認(rèn)為函數(shù)列{fn(x)}收斂。歸結(jié)以上，我們有以靜態(tài)方法判斷函數(shù)列收斂的結(jié)論：

在考察函數(shù)列{fn(x)}在某區(qū)間I內(nèi)的一致收斂性的時(shí)候，判定過程更為復(fù)雜。以往，我們先要求出極限函數(shù)f(x)，再找出一個(gè)N=N(ε)使得函數(shù)列與極數(shù)的差值|fn(x)-f(x)|<ε。我們引入動(dòng)態(tài)的思想判定函數(shù)列的一致收斂性。當(dāng)x為在區(qū)間I上任意變化的時(shí)候，我們稱之為動(dòng)態(tài)。若函數(shù)列{fn(x)}所處動(dòng)態(tài)之時(shí)，并使n→∞，若函數(shù)列fn(x)的極限為f(x)，那么函數(shù)列{fn(x)}一致收斂。通過以上分析，我們得出以動(dòng)態(tài)方法判斷函數(shù)列一致收斂與不一致收斂結(jié)論：

事實(shí)上，函數(shù)列一致收斂的動(dòng)態(tài)性反映為x在區(qū)間I上的任意變化性，也即存在一個(gè)不依賴x而只依賴于控制函數(shù)差值的ε的充分大的數(shù)N=N(ε)，使得當(dāng)n>N=N(ε)時(shí)，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。這種N不依賴x的變化性就是動(dòng)態(tài)性的反映。x變，N不依賴x而變，由動(dòng)而導(dǎo)致靜正是一致收斂的核心。并由此，我們有得到一致收斂的否定性結(jié)論：

2　收斂與一致收斂判別方法的應(yīng)用

而固定x=x0，同時(shí)運(yùn)用洛必達(dá)法則可得

同理，固定x=x1，也有相同的結(jié)果。因此根據(jù)結(jié)論1，發(fā)現(xiàn)在[0，1]和(-∞，+∞)內(nèi)函數(shù)列{fn(x)}收斂。以下分別討論函數(shù)列{fn(x)}在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的一致收斂性：

(1)并不固定x的取值，讓其在區(qū)間[0，1]內(nèi)變化。我們發(fā)現(xiàn)無論x如何變化，總有x≤n成立。因此無論x在[0，1]中如何變化，當(dāng)n→∞時(shí)

(2)當(dāng)x∈(-∞,+∞)時(shí)，我們讓x在區(qū)間內(nèi)變化，使其處于動(dòng)態(tài)的過程。同時(shí)，使x充分大，選取x與n滿足x=n+1，那么

最后，我們將上述動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的思想應(yīng)用于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性與一致收斂性的判斷。我們通過一條例題來說明這種方法的應(yīng)用。

首先在區(qū)間[0，1)上選取x0并固定x=x0，那么會(huì)發(fā)現(xiàn)

3　結(jié)論

動(dòng)態(tài)與靜態(tài)思想貫穿整個(gè)分析體系，從數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分積分、數(shù)列與函數(shù)列的收斂性、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性等等，可謂無處不在，從而數(shù)學(xué)分析教學(xué)中對(duì)動(dòng)態(tài)與靜態(tài)思想方法值得我們深入細(xì)致的研究。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，始終要向?qū)W生闡明這些基本結(jié)論與概念中蘊(yùn)涵的動(dòng)與靜的辨證關(guān)系，并且立足于讓學(xué)生以動(dòng)的方法去理解，以靜的方法去解決，這樣才能真正掌握其要領(lǐng)。

[1] 徐志庭，劉名生，馮偉貞.數(shù)學(xué)分析(二)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 呂通慶.一致收斂與一致連續(xù)[M].北京:人民教育出版社,1981.

(責(zé)任校對(duì)王小飛)

10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.08.020

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國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(11201087)；廣東省教育廳教改課題(2015GXJK103)；廣東金融學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)培育學(xué)科“應(yīng)用數(shù)學(xué)”；廣東金融學(xué)院創(chuàng)新強(qiáng)校工程“溫度依賴于溶解度的熱對(duì)流模型的解的性態(tài)研究”；2015廣東省教育質(zhì)量工程—金融數(shù)學(xué)示范專業(yè)以及廣東省教育廳—數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目資助

劉炎(1980- )，男，湖南澧縣人，副教授，博士，主要從事偏微分方程研究。

G0171

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1674-5884(2016)08-0062-03