由一道高考題談解析幾何問題“代數(shù)化”的策略

蘇懷堂（北京市第二中學(xué)亦莊學(xué)校）

由一道高考題談解析幾何問題“代數(shù)化”的策略

蘇懷堂
（北京市第二中學(xué)亦莊學(xué)校）

解析幾何作為高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是重要的高考高頻考點(diǎn)之一。解析幾何的核心思想是坐標(biāo)法，即用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)。因此，解決解析幾何問題的首要任務(wù)是將問題代數(shù)化，即用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素。本文將通過一道高考題的解析，探討解析幾何問題的“代數(shù)化”的策略。

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由。

一、問題分析

本題要研究圖形的幾何性質(zhì)是“是否為菱形”，因此要解決好如下幾個(gè)問題：第一，菱形的判定定理有哪些；第二，本題應(yīng)選擇什么定理；第三，如何代數(shù)化“所選定理”。

菱形的判定定理有：①四邊相等；②對角線互相垂直平分；③鄰邊相等的平行四邊形。

判定定理的選擇：①、③均需將距離代數(shù)化，而②只需代數(shù)化垂直平分，易知，選擇第二個(gè)計(jì)算更簡便，因此首先考慮“對角線互相垂直平分”。

代數(shù)化“對角線互相垂直平分”：如果代數(shù)化AC、OB互相平分，則需要O，A，B，C四點(diǎn)坐標(biāo)分別表示AC、OB的中點(diǎn)，而代數(shù)化AC⊥OB，則需要直線AC、OB的斜率或向量的坐標(biāo)。由此可知，直線AC方程、點(diǎn)B及直線OB方程三者知其一，就可將其他所有量代數(shù)化，因此就有了如下的方法一、二、三。

二、解法賞析

方法一：

∵點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)

∴直線AC斜率存在且不為0

設(shè)AC的方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）

設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），

所以四邊形OABC不是菱形

所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形。

方法二：設(shè)B（x0，y0），x0≠0且y0≠0，則OB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

其判別式Δ＞0恒成立

設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則

所以四邊形ABCD不可能為菱形

方法三：假設(shè)四邊形OABC是菱形，則AC⊥OB

因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，所以直線OB的斜率存在且不為0

設(shè)直線OB的方程為y=kx（k≠0）

又∵AC⊥OB

∵直線AC與橢圓W有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

∴Δ=64k2m2-16（k2+4）（k2m2-k2）=16k2（k2-k2m2+4）＞0，

設(shè)點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則

化簡得1=4，這與1≠4矛盾

所以四邊形OABC不是菱形

方法四：

則A，C兩點(diǎn)為圓x2+y2=r2與橢圓的交點(diǎn)

所以A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)。

因?yàn)辄c(diǎn)B在W上

若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)B應(yīng)為橢圓的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)。不合題意。

若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)B應(yīng)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)。不合題意。

所以四邊形OABC不可能為菱形。

三、總結(jié)歸納

坐標(biāo)化的一般方式有兩種：第一，直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后坐標(biāo)化相關(guān)問題；第二，設(shè)直線方程，通過聯(lián)立方程表示坐標(biāo)，然后再進(jìn)行坐標(biāo)化。一般的，若直線與橢圓相交，且需要兩點(diǎn)坐標(biāo)，則更多地選擇設(shè)直線方程；若直線與橢圓相交，而只需要其中一點(diǎn)，則更多地選擇設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)。另外，從方法四可知，幾何性質(zhì)研究得越充分，計(jì)算就會越簡單！

李鐵安，宋乃慶.高中解析幾何教學(xué)策略：數(shù)學(xué)史的視角［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（2）.

·編輯張珍珍