實意義下分組有界變差條件對柯西并項準則的推廣

陳曉丹，周頌平

(浙江理工大學理學院，杭州310018)

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實意義下分組有界變差條件對柯西并項準則的推廣

陳曉丹，周頌平

(浙江理工大學理學院，杭州310018)

對數(shù)項級數(shù)及積分的柯西收斂準則的單調(diào)性和非負性進行推廣。主要針對分組有界變差(GBV)條件的非負性作進一步研究，利用GBV性質(zhì)及巧妙的分割方法給出最終適用條件的數(shù)列的柯西并項準則；同時，將系數(shù)數(shù)列的GBV條件推廣到函數(shù)的GBV條件，最終給出分組有界變差函數(shù)GBVF的柯西并項準則。

數(shù)列；積分；分組有界變差；柯西并項準則

0　引　言

基于前人的研究成果，本文取消了GBV的非負性并采用巧妙的分割方法，將實意義下的分組有界變差數(shù)列之和轉(zhuǎn)化為熟知的非負條件下的分組有界變差數(shù)列之和，得到實意義GBV條件下的數(shù)列及積分的柯西并項準則。

1　定　義

(1)

全文用M來代表(1)條件中出現(xiàn)的常數(shù)，M1、M2等表示正常數(shù)，在不同的地方可能代表不同的值。

2　定理及證明

證明： 對任意n/2≤k≤n，由式(1)可知：

≤(M+1)|ak|,

其中M是式(1)中的正常數(shù)。對k進行從n/2到n的累加，可以得到：

因此，

引理1證畢。

給定一實數(shù)列{an}，令n1=1，對所有k≥2，記：

nk=min{n>nk-1:anank-1<0},

當n充分大時，若數(shù)列{an}保號，則自然數(shù)列{nk}的子列只有有限多個元素，這是平凡的情形，已經(jīng)有結(jié)論成立[4]。不失一般性，可以假定{nk}是無限自然數(shù)子列。由以上的定義，易知數(shù)列{an}在每個集合

Sk:={nk,nk+1,…,nk+1-1}

(2)

中的符號是一致的。

記

(3)

U=U(M0)={Sk:|Sk|>M0nk,k=1,2,…}，

其中|Sk|表示Sk元素中的個數(shù)。并記：

U+=∪ {Sk∈U:ank>0},

U-=∪ {Sk∈U:ank<0}.

同樣，定義

同時，記aμj,k，使其滿足：

λn+1-λn=O(λn-λn-1),n=1,2,…

(4)

由引理1與(2)，對任意固定的k，易知:

即：

(5)

又因為：

結(jié)合(5)易知：

將k=1到N累計加起來，不難得出：

因此，

(6)

對n=n0+1,…,n1，由Abel變換，可得：

由條件(4)，易知 λn=O(λn-1)。此時，可以選擇一個自然數(shù)N0使得2N0-1λn-1≤λn<2N0λn-1，故：

對于任意 1≤j≤N0，由條件(1)，有：

≤M1|a2j-1λn-1|,

因此：

=∶M2|aλn-1|.

同理，得到：

|aλn|≤M1M2|aλn-1|.

故可知：

M3(λn-1-λn-2)|aλn-1|,n=n0+1,…,n1.

同樣，可以得到：

左右兩邊進行求和，

對U-有相同的結(jié)論。因此，由條件(6)，易獲得：

定理1獲證。

定理1得知，在GBV條件下，可以避免計算數(shù)列中復(fù)雜變號的“小區(qū)間”，因為它可以被“大區(qū)間”的值所控制，因此該定理有若干潛在的應(yīng)用價值。下面給出一個例子。

分段定義：

由此，只需令：

該定理的證明類似于文獻[4]中定理2的證明，并采用本文定理1的分割方法，本文省略。

3　結(jié)　語

本文在取消GBV非負性條件下，采用巧妙的分割方法，將復(fù)雜變號的“小區(qū)間”為“大區(qū)間”的值所控制，從而將變號條件下定理的研究轉(zhuǎn)化為熟悉的“大區(qū)間”條件下定理的研究，并將柯西并項準則推廣至積分的情形。由文獻[4]可知，分組有界變差條件是柯西并項準則適用的最終條件。因此，本文給出了最終適用范圍的實意義分組有界變差條件下的柯西并項準則。

[2] LE R J, ZHOU S P. A new condition for the uniform convergence of certain trigonometric series[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2005, 108(1-2): 161-169.

[3] 周頌平. 三角級數(shù)研究中的單調(diào)性條件: 發(fā)展和應(yīng)用[M]. 北京: 科學出版社, 2012: 9-20.

[4] 樂瑞君, 解烈軍. 分組有界變差條件對級數(shù)若干經(jīng)典定理的推廣[J]. 數(shù)學實踐與認識,2013, 42(23): 282-286.

[5] FENG L, TOTIK V, ZHOU S P. Trigonometric series with a generalized monotonicity condition[J]. Acta Math Sinia Eng Ser, 2014, 30(8): 1289-1296.

(責任編輯： 康鋒)

A Remark on Generalization of Cauchy’s Condensation Criterion under Group Bounded Variation Condition in Real Sense

CHENXiaodan,ZHOUSongping

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

It is to generalize the monotonicity and positivity of Cauchy’s convergence criterion for numerical series and integral. It aims to do further research on the positivity of group bounded variation (GBV) and to offer the Cauchy’s condensation criterion for series.Moreover, its gives the final applicable conditions by using GBV property and ingenious segmentation method. Meanwhile, the GBV conditions is generalized from coefficient series to function so as to finally offer the Cauchy’s condensation criterion for group bounded variation function.

series; integral; group bounded variation; Cauchy’s condensation criterion

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.03.025

2015-06-29

陳曉丹(1989-)，女，江蘇泰州人，碩士研究生，主要從事逼近論的構(gòu)造性分析方面的研究。

O173.1

A

1673- 3851 (2016) 02- 0309- 04 引用頁碼： 030801