用GARCH模型與隱含波動率預(yù)測金融波動率

駱　樺，王　爽

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018)

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用GARCH模型與隱含波動率預(yù)測金融波動率

駱樺，王爽

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018)

利用港股期權(quán)的數(shù)據(jù)，研究在不同期限內(nèi)的GARCH模型與隱含波動率的表現(xiàn)，并且用已實(shí)現(xiàn)波動率、M-Z回歸分析、誤差項和損失函數(shù)對預(yù)測效果進(jìn)行評估。研究結(jié)果表明：短期GARCH模型預(yù)測效果較好，長期隱含波動率預(yù)測效果較好；由于期權(quán)價格能夠更加全面的反映市場信息，所以隱含波動率對于波動率的預(yù)測效果更好。

港股期權(quán)；GARCH模型；隱含波動率；已實(shí)現(xiàn)波動率

0　引　言

波動率是描述投資風(fēng)險以及金融市場變化情況的重要指標(biāo)之一，它與金融市場的不穩(wěn)定性密切相關(guān)。估計和預(yù)測波動率可以幫助投資者合理分配資產(chǎn)，提高資產(chǎn)收益率，降低投資風(fēng)險。

在金融市場中，波動率的研究可以分為兩大類：第一類是利用價格的歷史數(shù)據(jù)預(yù)測將來的波動率，如1982年Engle[1]首次提出ARCH模型并用線性形式表出。以及由Bollerslev[2]提出的GARCH模型。第二類是利用隱含波動率來預(yù)測，即利用Black-Scholes公式[3]反推出波動率。利用上述兩類方法時，存在一大問題：模型是否能更好地擬合樣本內(nèi)的數(shù)據(jù)又能對樣本外的數(shù)據(jù)作出精確的預(yù)測。朱雅寧[4]以上海期貨交易所AU1406日收益率為數(shù)據(jù)，利用損失函數(shù)對GARCH、EGARCH、TGARCH 3種模型波動率的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較，認(rèn)為對稱的GARCH模型預(yù)測效果比較好，為國內(nèi)黃金生產(chǎn)企業(yè)在市場風(fēng)險度量與預(yù)測以及投資是有幫助的。司訓(xùn)練等[5]研究了上海證券日收益率，得出了能夠描述波動率的最優(yōu)模型，提高了資產(chǎn)收益以及投資的準(zhǔn)確性。陳彥暉[6]考慮均值回歸效應(yīng)、溢出效應(yīng)和周內(nèi)效應(yīng)后，認(rèn)為ARMA-GARCH模型對恒指隱含波動率的預(yù)測能力有所提高，投資者的期權(quán)交易獲得了較好的收益。

波動率具有波動集聚性，即大的波動后跟隨著大的波動，小的波動后跟著小的波動。本文根據(jù)港股期權(quán)數(shù)據(jù)，研究在不同期限內(nèi)的GARCH模型與隱含波動率的表現(xiàn)，探討在不同市場環(huán)境下采用何種模型更為合理的問題。哪個模型對于短期的預(yù)測更為準(zhǔn)確，哪個波動率對于長期的預(yù)測準(zhǔn)確性更高。

1　隱含波動率與GARCH模型介紹

1.1隱含波動率理論

Black和Scholes在1973年給出了期權(quán)定價公式(BS公式),下面簡單介紹此公式的推導(dǎo)過程。

設(shè)t時刻的資產(chǎn)價格(如股票)為S(t)，則S(t)滿足如下隨機(jī)微分方程

dS=μSdt+σSdB(t)

(1)

其中：μ是期望回報率(漂移率)，σ為波動率，B(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

相應(yīng)地，股票期權(quán)的價格為V(S,t)，構(gòu)造一個投資組合∏，買入一份看漲期權(quán)V,賣出Δ份股票，即：

∏=V-ΔS，

在時間(t,t+dt)內(nèi)，此投資組合是無風(fēng)險的。設(shè)無風(fēng)險利率為r，且r為常數(shù)，則方程為

∏t+dt-∏t=r∏tdt

(2)

由(1)、(2)和伊藤公式可得到著名的Black-Scholes方程：

(3)

解此方程得期權(quán)定價公式：

V(S,t)=SN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)

(4)

在式(4)中取定S、K、T、r的值，以及市場交易中市場期權(quán)的價格V，代入公式(4)中，反推出波動率σ的值，這一數(shù)值就是隱含波動率。

1.2GARCH模型

對于時間序列{at}，若有：

(5)

在ARCH(q)模型的基礎(chǔ)上，Bollerslev提出如下的GARCH(p，q)模型：

(6)

其中：p、q為階數(shù)，α0、αi、βj為參數(shù)且大于等于零 ?j=1,2,…,p，?i=1,2,…,q，ut服從獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)p=q=1時，式(6)為

(7)

這就是常用的GARCH(1，1)模型。

2　波動率模型的計算與預(yù)測效果的評價標(biāo)準(zhǔn)

2.1波動率模型的計算

如何用GARCH(1，1)模型進(jìn)行計算。在給定時刻t-1的信息Ft-1條件下，由式(7)可以得到

(8)

由式(6)GARCH模型的定義可知

(9)

其中ut～i.i.d.N(0,1)。由式(8)、(9)可得

利用迭代的方法，最后可以得到向前k步預(yù)測公式，即：

只要α1+β1<1，那么當(dāng)k→∞時就有

所以由以上的推導(dǎo)過程可以計算出GARCH(1，1)模型的方差。進(jìn)而也可以利用期權(quán)定價公式求出看漲期權(quán)的理論價格。

2.2預(yù)測效果的評價標(biāo)準(zhǔn)

2.2.1已實(shí)現(xiàn)波動率的計算

高頻數(shù)據(jù)一般是指時間間隔較短的證券交易數(shù)據(jù)，例如股票5min的價格走勢圖。近年來，對于高頻數(shù)據(jù)的計算，已經(jīng)推廣到利用日內(nèi)數(shù)據(jù)的對數(shù)收益率來估計當(dāng)月的波動率。首先給出日對數(shù)收益率的定義。

定義：日對數(shù)收益率為日收盤價的一階自然對數(shù)的差分，計算公式為：

rt=ln(St/St-1),

其中：第t-1個月的已知信息為Ft-1，且Var(rt,1)可通過日收益率求出，即：

(10)

2.2.2M-Z回歸分析

2.2.3損失函數(shù)

對于波動率的研究，誤差問題是無法避免的，那么采用何種方式對估計結(jié)果進(jìn)行檢驗？以及按照何種標(biāo)準(zhǔn)來選擇模型？模型的檢驗標(biāo)準(zhǔn)有很多，但是希望能夠找到一種計算簡單又可以包含有用信息的檢驗標(biāo)準(zhǔn)。所以本文采用3種誤差指標(biāo)對預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行評估，分別是：VMAE、VMAPE、VRMSE。其中, VMAE是平均絕對誤差，VMAPE是平均絕對誤差百分比，VRMSE是均方根誤差。3種誤差指標(biāo)不僅能很好地反映出計算的精確度，而且能判斷出哪種模型的擬合效果更好。

主要思路是通過模型預(yù)測波動率與實(shí)際波動率之間產(chǎn)生的一些誤差來進(jìn)行評估。所得到的結(jié)果越小，說明誤差越小，模型的估計結(jié)果就越準(zhǔn)確。由于實(shí)際的波動率是未知的，所以用收益率近似等于實(shí)際的波動率來進(jìn)行比較。

3個誤差指標(biāo)公式如下所示

其中：MF,t是模型預(yù)測出的波動率的數(shù)值,MR,t是計算出的實(shí)際波動率的數(shù)值，n為樣本數(shù)量。

3　數(shù)據(jù)的選取與計算

3.1數(shù)據(jù)來源

探究隱含波動率必須選用合適的數(shù)據(jù)，雖然國內(nèi)從2015年2月9號起已經(jīng)發(fā)行了50ETF，但是由于上市的時間短，并且為指數(shù)期權(quán)，作為研究對象還不夠成熟，所以本文選用港股期權(quán)。采用中國銀行自2009年1月1日到2015年2月27日共1515個收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行分析(除去休市日)，并用股票2015年3月的收盤價數(shù)據(jù)作為預(yù)測分析，看漲期權(quán)中行法巴七四購A收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行計算?；拘畔⑷缦卤硭尽?/p>

表1　期權(quán)信息表

圖1　股票收盤價序列圖

圖1描述了股票收盤價時序，股價的走勢有明顯的上升趨勢，為非平穩(wěn)時間序列。在圖2中，對股價進(jìn)行一階差分后，序列基本平穩(wěn)，進(jìn)而可用時間序列模型進(jìn)行擬合與預(yù)測。收益率序列在大的波動后持續(xù)一段大的波動，而小的波動后持續(xù)一段小的波動，說明收益率的波動性存在聚集現(xiàn)象。

圖2　日收益率序列圖

3.2收益率序列的基本統(tǒng)計特征分析

利用SAS軟件計算，得到收益率的統(tǒng)計特性，如表2所示。其中，J-B是正態(tài)性檢驗的統(tǒng)計量。收益率序列J-B統(tǒng)計量的值相應(yīng)的概率值為0，說明收益率序列并不服從正態(tài)分布。表中的偏度與峰度值表明，收益率序列具有“尖峰厚尾”分布特征。建立模型前，仍需對收益率序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗。

表2　收益率的描述性統(tǒng)計表

3.3　平穩(wěn)性檢驗(ADF檢驗)

ADF檢驗實(shí)質(zhì)為假設(shè)檢驗。原假設(shè)H0：收益率序列存在單位根，備擇假設(shè)H1：收益率序列不存在單位根(即平穩(wěn)時間序列)。

表3　收益率ADF檢驗

表3中給出在檢驗水平分別為1%、5%、10%下t統(tǒng)計量的臨界值，利用t分布假設(shè)檢驗，t統(tǒng)計量為-38.26232，均小于各個水平下t統(tǒng)計量的臨界值，且相應(yīng)的概率值為0，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為收益率序列不存在單位根，即為平穩(wěn)時間序列。在平穩(wěn)序列的基礎(chǔ)上，便可以建立ARCH模型。

3.4ARCH模型與殘差圖

對收益率序列進(jìn)行滯后24階的自相關(guān)與偏自相關(guān)檢驗，可得到下列的均值方程，表達(dá)式為：

如圖3所示，大的波動后緊跟著一段大的波動，而小的波動后又緊跟著一段小的波動，說明序列存在ARCH效應(yīng)。雖然在日收益率序列的殘差圖中可以發(fā)現(xiàn)，殘差值與真實(shí)值之間非常相似，但是仍然要對對均值方程進(jìn)行ARCH檢驗。

圖3　日收益率序列殘差

原假設(shè)H0：殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，備擇假設(shè)H1：殘差序列存在ARCH效應(yīng)。

表4　ARCH效應(yīng)檢驗

利用ARCH-LM檢驗可以得到F統(tǒng)計量的值和T×R2的值相對應(yīng)的概率，其差異不顯著，所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為收益率序列具有ARCH效應(yīng)，可以建立GARCH模型。

3.5建立GARCH模型

在GARCH模型中，考慮到模型的穩(wěn)健性，所以只比較以下4種模型：

表5　GARCH模型比較

利用最小信息準(zhǔn)則AIC與BIC，具體數(shù)值如表5所示，則建立GARCH(1，1)模型為最優(yōu)模型。

表6　GARCH(1，1)模型的檢驗結(jié)果

如表6所示，根據(jù)相應(yīng)的數(shù)據(jù)也可以寫出GARCH(1，1)模型的表達(dá)式，即

3.6GARCH(1，1)的ARCH效應(yīng)檢驗

為檢驗對序列的模型構(gòu)建是否合理，還需要對殘差序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗。

表7　GARCH(1，1)模型的ARCH效應(yīng)檢驗

從表7中得知，ARCH效應(yīng)檢驗的F統(tǒng)計量與T×R2統(tǒng)計量相應(yīng)的概率顯著，所以可以接受原假設(shè)，即殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，也說明序列中的信息被進(jìn)行了有效的提取，序列沒有統(tǒng)計規(guī)律，因而停止對序列的分析，所以GARCH(1，1)模型擬合效果好。

3.7GARCH模型與隱含波動率預(yù)期結(jié)果比較

對GARCH模型于隱含波動率預(yù)測效果進(jìn)行比較，如表8所示。

表8　兩種模型的預(yù)測效果評估

圖4　已實(shí)現(xiàn)波動率與GARCH模型預(yù)測波動率比較

本文利用損失函數(shù)、M-Z回歸分析和誤差項εt，得到了相同的檢驗結(jié)果，即在以1周為期限進(jìn)行預(yù)測時，GARCH模型的預(yù)測結(jié)果優(yōu)于隱含波動率模型；在以一個月為期限進(jìn)行預(yù)測時，隱含波動率模型的預(yù)測結(jié)果優(yōu)于GARCH(1，1)模型。從圖4中也可以看出，在以周為期限時，已實(shí)現(xiàn)波動率與GARCH模型預(yù)測的波動率比較相近。

4　結(jié)　論

本文主要對股票的收益率的波動率變化進(jìn)行了分析，利用SAS軟件計算出GARCH模型與隱含波動率模型對波動率預(yù)測的表現(xiàn)，研究結(jié)果表明：GARCH模型是利用歷史數(shù)據(jù)計算得出，更好地體現(xiàn)了歷史信息的影響，但不同時期的經(jīng)濟(jì)環(huán)境和企業(yè)的經(jīng)營狀況不同，故利用GARCH模型計算出

的波動率只適合用于短期(如一周)的預(yù)測。隱含波動率是根據(jù)現(xiàn)有的期權(quán)價格反推出波動率，而期權(quán)價格已經(jīng)反映了市場環(huán)境的變化和企業(yè)經(jīng)營信息的對價格的影響，所以較長時期(如一個月)的預(yù)測，隱含波動率效果更好。

[1]ENGLERF.AutoregressiveconditionalheteroskedasticitywithestimatesofthevarianceofUnitedKingdominflation[J].Econometrica.1982,50:987-1007.

[2]BOLLERSLEVT.GeneralizedautoregressiveconditionalHeteroskedastic[J].JournalofEconometrics.1986,31:307-327.

[3]BLACKF,SCHOLESM.Thepricingofoptionsandcorporateliabilities[J].JournalofPoliticalEconomy,1973,81(3):637-654.

[4] 朱雅寧.基于中國黃金期貨市場數(shù)據(jù)的GARCH族模型擬合評價[J].時代金融,2015(2):12-13.

[5] 司訓(xùn)練,張旭峰,高蒙.基于GARCH模型的金融風(fēng)險擬合分析[J].經(jīng)濟(jì)學(xué),2014,23(5):12-17.

[6] 陳彥暉.基于ARMA-GARCH模型的恒指隱含波動率指數(shù)預(yù)測及其在期權(quán)交易中的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2014,31(4):28-35.

[7] 鄭振龍,黃薏舟.波動率預(yù)測：GARCH模型與隱含波動率[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2010,1:140-150.

[8] 黃海南,鐘偉.GARCH類模型波動率預(yù)測評價[J],2007,15(6):13-19.

(責(zé)任編輯： 張祖堯)

Using GARCH Model and Implied Volatility to Predict Financial Volatility

LUOHua,WANGShuang

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

This Research studies GARCH model and implied volatility within different durations with the data of Hong Kong stock, and assesses the predictive effect by utilizing realized volatility, M-Z regression analysis, error term and loss function. Study shows that: In the short term, the predictive effect of GARCH model is better; while in the long term, the implied volatility has good predictive effects. Because the option price can reflect more comprehensive market information, the predictive effect of implied is better.

Hong Kong stocks; GARCH model; implied volatility ; realized volatility

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.03.028

2015-05-21

國家自然科學(xué)基金項目(11401532)

駱樺(1962-)，男，浙江諸暨人，副教授，碩士，主要從事金融數(shù)學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計方面的研究。

F830.91

A

1673- 3851 (2016) 02- 0322- 05 引用頁碼： 030804