題海無邊 尋根是岸

☉江蘇省大豐高級中學(xué) 李素梅

題海無邊 尋根是岸

☉江蘇省大豐高級中學(xué) 李素梅

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)越來越多的是做題、講題，隨著競爭壓力的加大和知識難度的加深，有時候教師沒有精力去研究教學(xué)的有效性，只能以不斷訓(xùn)練的方式去尋求知識的熟練度和考點的廣度.從一定程度上來說，這種訓(xùn)練模式必不可少，但是效率稍低.從這么多試題訓(xùn)練來看，有些是重復(fù)訓(xùn)練，而有些問題則是因為沒有找到普遍性而讓教學(xué)變得無目的性，因此筆者認(rèn)為在做到一定量訓(xùn)練的同時，還需要將同類型的問題進(jìn)行歸納、總結(jié)、研究，將具備共同屬性背景知識的數(shù)學(xué)問題找到其根源所在，即所謂題海無邊，尋根是岸.

近年來，愈來愈多的考題具備了一定的高等數(shù)學(xué)的背景，這些背景決定了數(shù)學(xué)問題的考查需要找到它們共同的知識核心——題根.尋找同類型問題的題根成為有效解決數(shù)學(xué)難點問題的重要核心.無論從心理層面還是知識層面來說，掌握數(shù)學(xué)問題的題根有足夠的教學(xué)效果：其一，將同類型問題進(jìn)行合理歸類，設(shè)計成專題型知識處理，因為只有這些比較困難的試題才會以專題形態(tài)進(jìn)行處理，整合在同一類型的專題中有助于學(xué)生不斷研究共性，獲得教學(xué)的高效率；其二，對于在題海中不斷尋找具備共性的、具備高等數(shù)學(xué)知識背景的數(shù)學(xué)難題，將學(xué)生的思維調(diào)動起來，既提高教師自身專業(yè)化的水平，也提高了學(xué)生解決難題的有效性.筆者以向量教學(xué)中具備高等數(shù)學(xué)背景的極化恒等式為例，結(jié)合案例談一談尋找數(shù)學(xué)問題題根的教學(xué)設(shè)計.

案例1 向量復(fù)習(xí)教學(xué)——極化恒等式.

學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）借助極化恒等式解決向量與三角、立體幾何的綜合問題；（2）掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.

教學(xué)重點：如何合理地用極化恒等式解決數(shù)量積.

教學(xué)難點：向量與三角問題，向量與空間立體幾何問題的轉(zhuǎn)化.

設(shè)計意圖：“根本法”教學(xué)就是要學(xué)生真正從心里重視課本，研究課本，掌握最常規(guī)最實用的解題方法.平面向量的數(shù)量積常常在高考題中以小題的形式出現(xiàn)，且此類試題常見的解法有幾何法和坐標(biāo)法.綜觀近幾年數(shù)學(xué)高考，向量試題有著越來越綜合、越來越靈活的趨勢，因而解題方法和解題工具的選擇顯得尤為重要，選擇不恰當(dāng)，費時、費力，且不得要領(lǐng)；選擇恰當(dāng)，題目可以“秒殺”.而極化恒等式恰恰就是可以“秒殺”這類高考向量題的一個有力工具.

一、尋找本質(zhì)

提出問題：同學(xué)們，大家有發(fā)現(xiàn)a·b與a+b，a-b之間的關(guān)系嗎？a·b=______________.

設(shè)計意圖：根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，同學(xué)們應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)非零向量a，b的數(shù)量積與它們的和、差之間存在著這樣的等量關(guān)系：a·b=［（a+b）2-（a-b）2］.引入本課主題.

極化恒等式：設(shè)a，b是2個非零向量，則成立恒等式a·b=［（a+b）2-（a-b）2］，也可寫成4a·b=（a+b）2-（a-b）2.

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，即a·b=

設(shè)計意圖：給出極化恒等式的定義，通過幾何意義加深對這個公式的理解.對知識的擴(kuò)充，并不是增加負(fù)擔(dān)，而是對數(shù)學(xué)知識的理解，著力于選擇解題工具.

二、研究共性

案例2 設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有則判斷三角形的性質(zhì)為_______________（.填直角三角形、等腰三角形等）

圖1

0只有AC=BC時才能成立.

設(shè)計意圖：此題考查的是平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，是一個常規(guī)考題，但由于涉及動點變化的不等式恒成立，致使難度增大.考生普遍反映該題無從入手，得分較低.所以利用極化恒等式把多變量問題最終轉(zhuǎn)化為單變量問題，解答就非常簡單了.雖然此題也可用坐標(biāo)法解答，但如何建系，設(shè)點，學(xué)生處理能力比較弱，即使建立了坐標(biāo)系，對含參變量的恒成立問題，學(xué)生無法解答.解法如下：

圖2

三、類題鞏固

案例3 已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_______.

圖3

變式：怎樣求a·c的最小值呢？

設(shè)計意圖：剛剛結(jié)束的一?？荚囍校祟}得分偏低，考后學(xué)生反映該向量題很難，不知從何入手去正確選擇解題策略，原因在于無法解讀題干信息透露的真實意圖.利用極化恒等式后，把a·c的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值，即圓上動點O到弦AC中點D的距離的最大值，這樣就容易多了.設(shè)計變式，有助于促使學(xué)生產(chǎn)生體驗新的知識的深切體會，有助于促成學(xué)生形成看待原有問題的全新視角，提煉數(shù)學(xué)思想方法，提高各種數(shù)學(xué)能力.本題也可以用其他方法解決，如幾何法和坐標(biāo)法，但學(xué)生的切入點找不好.

圖4

白鶴灘水電站庫區(qū)巧家縣墊高造地區(qū)砂土液化分析……………………………………………………… 李德周（9-40）

解法3：（坐標(biāo)法）如圖5建系，令C（0，0），O（x，y），則由直角三角形BCA可知，A（0，3），B（4，0）.所以a=（-x，3-y），b=（4-x，-y），a·b=x2+y2-4x-3y=0，a·c=x2+y2-3y=4x，x∈，即得a·c≤18.

圖5

四、節(jié)外生枝

案例4 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點，當(dāng)弦MN最長時，的最大值為__________.

解析：當(dāng)弦MN最長時就是球的直徑，也就是正方體的棱長，取MN的中點為O，利用極化恒等式知，而O為球的直徑的中點即球心，也是正方體的中心，所以點P為正方體的頂點時|取到最大值，所以的最大值為2.

變式：改求取值范圍呢？

設(shè)計意圖：將向量和空間立體幾何綜合起來，運用“極化恒等式”同樣可以“秒殺”.

五、推本溯源

研究用極化恒等式“秒殺”這類高考向量試題，是讓大家多一個解決向量試題的工具，并不是追求高難度的解題技巧，而是著意于解題工具的選擇，著意于數(shù)學(xué)問題的理解，揭示問題的本質(zhì)，看出試題背后隱藏的高等數(shù)學(xué)背景.向量有很多這樣的幾何背景，諸如向量加減法、向量數(shù)乘、平面向量基本定理、向量數(shù)量積公式所涉及的投影，這些都是值得我們?nèi)ニ伎肌⑷ピO(shè)計的.從這樣的教學(xué)設(shè)計中，筆者也在深深地思考對于教學(xué)我們更應(yīng)該去做的.

（1）在題海戰(zhàn)術(shù)比較普遍的今天，教師更需要專研具備共性問題的價值，這些對于學(xué)生來說既解決了學(xué)生最為困擾的問題、大大提高了教學(xué)的實效，也脫離了一味題海訓(xùn)練模式的枯燥性，將專題型題根式教學(xué)與一定量訓(xùn)練結(jié)合的復(fù)習(xí)教學(xué)方式，才是教學(xué)合理的方向.

（2）專題題根式教學(xué)具備實效性，以文中向量極化恒等式為例，筆者認(rèn)為在近年應(yīng)試教學(xué)中有著極大的用武之地，但是每年都會有新的熱點出現(xiàn)，將這些知識系統(tǒng)的整理、研究出來，有助于教師自身成長，也有助于當(dāng)下教學(xué)的有效性.即所謂題海無邊，尋根是岸.

1.趙思林.關(guān)于高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的立意［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2009（1-2）.

2.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月考，2013（5）.

3.鮑建生.向量變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（11）.