大學(xué)物理教材及教學(xué)應(yīng)重視剛體定軸轉(zhuǎn)動時角動量與角速度的方向關(guān)系

周雨青（東南大學(xué)物理系，江蘇南京 211189）

大學(xué)物理教材及教學(xué)應(yīng)重視剛體定軸轉(zhuǎn)動時角動量與角速度的方向關(guān)系

周雨青
（東南大學(xué)物理系，江蘇南京 211189）

大學(xué)物理教材及教學(xué)在剛體定軸轉(zhuǎn)動一章中，往往不太重視剛體總角動量與角速度的關(guān)系，而只關(guān)注于沿軸向的角動量，有時甚至出現(xiàn)L=Jω這種容易誤解的表述形式.實(shí)際上，一般情況下剛體定軸轉(zhuǎn)動時的角動量與角速度方向不相同，且剛體勻速轉(zhuǎn)動時受變外力矩作用.本文首先從理論層面上給出角動量與角速度方向不一致的一般性證明，并給出方向相同的兩種特殊情況，其次用一個實(shí)例闡述剛體定軸轉(zhuǎn)動時，剛體軸受到垂直于軸向的變力矩作用，最后將特例所得結(jié)論推廣至一般剛體定軸轉(zhuǎn)動，從而闡明重視兩者方向關(guān)系的必要性.

剛體；定軸轉(zhuǎn)動；角動量；角速度；方向；變力矩

大學(xué)物理教材及教學(xué)一般不重視剛體定軸轉(zhuǎn)動的總角動量與角速度的關(guān)系——即便是提到［1］也沒有深入討論其對轉(zhuǎn)動的影響是什么.可能的原因是，第一，只有軸向角動量才是定軸轉(zhuǎn)動的主體；第二，教學(xué)要求的難度和教學(xué)時數(shù)的有限對此問題的闡述帶來的限制；第三，其他.可是正因如此教材以及教學(xué)中往往忽視了這兩者的關(guān)系，甚至有些教材［2，3］在描述剛體定軸轉(zhuǎn)動一章中會出現(xiàn)L=Jω的公式，這容易造成定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量與角速度方向一致和勻速轉(zhuǎn)動時不受外力矩作用的模糊結(jié)論.這個結(jié)論源于我們的大學(xué)物理教材通常在研究剛體定軸轉(zhuǎn)動時，選取了一個垂直于轉(zhuǎn)軸的xy參考平面［2］，并認(rèn)為“這個參考平面內(nèi)的質(zhì)元的運(yùn)動情況可以代表整個剛體的各質(zhì)元的運(yùn)動情況”，由于在這個參考面內(nèi)的剛體質(zhì)元只有相對于轉(zhuǎn)軸方向的角動量，從而當(dāng)推廣至整個剛體，且又沒有特別說明，由此產(chǎn)生L=Jω的誤解，正是這個簡化掩蓋了剛體角動量與角速度方向不一致的結(jié)果.

1　剛體定軸轉(zhuǎn)動時角動量與角速度方向不相同的一般性證明

在定軸轉(zhuǎn)動的剛體上選一xy面，即參考面，轉(zhuǎn)軸為z軸，如圖1所示.

圖1　定軸轉(zhuǎn)動剛體示意圖

由質(zhì)點(diǎn)角動量定義L=r×m v，以及質(zhì)點(diǎn)速度與角速度關(guān)系v=ω×r和ω=ωk可知，剛體上任意一點(diǎn)的質(zhì)量元的角動量為考慮到r2=x2+y2+z2，r=x i+y j+z k，代入上式得

對式（1）積分可得剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量為

其J即為剛體相對于轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量，由式（2）可見，一般的剛體的定軸轉(zhuǎn)動角動量有兩個分量，一個是沿轉(zhuǎn)動軸方向，與角速度方向一致.另一個在x y平面內(nèi)，方向隨剛體轉(zhuǎn)動而變化.

2　兩種特例

（1）當(dāng)剛體恰好就是參考面的“薄剛體”z=0時，式（2）變?yōu)?/p>

我們的教材往往就是從對參考面得出的這個結(jié)論，直接推廣到了整個剛體.

（2）當(dāng)剛體具有z軸對稱，且取z軸為轉(zhuǎn)動軸時，式（2）中的第二項(xiàng)積分為零，則式（2）也變?yōu)槭剑?）.

除上述兩種情況之外，一般剛體的定軸轉(zhuǎn)動角速度都不與角速度方向相同.因此大學(xué)物理教材上不宜將角動量與角速度之間的關(guān)系寫作式（2）的形式，那樣容易產(chǎn)生極大的誤解.最好寫作

以明示剛體角動量的z軸分量.那么，大學(xué)物理教學(xué)或教材中有必要說明式（2）的必要性嗎？

3　明示剛體定軸轉(zhuǎn)動時角動量與角速度方向不一致的必要性

首先，這兩者是不同物理量，方向問題本就應(yīng)該明確，且在大學(xué)物理層面上說清這個問題并不復(fù)雜，如式（2）的推導(dǎo)過程.

其次，若對兩者方向關(guān)系不明示，將引起困惑，我們來看下面一個例子：

將長為R、質(zhì)量可忽略的輕質(zhì)桿連同質(zhì)量為m的小球固定于豎直輕質(zhì)軸上，構(gòu)成一簡單剛體，此剛體繞豎直軸做勻角速度ω轉(zhuǎn)動.設(shè)固定豎直軸的兩軸承各自到小球圓軌道平面中心的距離皆為a.選如圖2所示的坐標(biāo)系，求此剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量以及所受的外力矩.

圖2　繞豎直軸轉(zhuǎn)動的桿

此例實(shí)際上就是一個“薄剛體”，但即便如此，若參考面并不取在“薄剛體”面內(nèi)，角動量仍不是式（3）形式.

該問題的前一解似乎非常簡單，無論是正確理解定軸剛體角動量（式（2）），還是錯誤理解（式（3）），都可以得出Lz=Jzω=mR2ω的結(jié)論.但是，對于后一問，如果錯誤理解剛體角動量只沿z軸方向，即L=Jω，則由于M==0，那么對求外力矩這一問題就會感到非常困惑——“不就是等于零嗎？”.反之如果知道剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量為式（2），則由于式（2）中的第二項(xiàng)分量是隨剛體轉(zhuǎn)動的，則剛體受到外力矩的作用就一點(diǎn)也不奇怪了.實(shí)際上，在圖2所示的坐標(biāo)系中，由于這個簡單剛體系統(tǒng)的質(zhì)量集中在小球——質(zhì)點(diǎn)上，且質(zhì)點(diǎn)在z=a的平面上作半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，即式（2）中的坐標(biāo)分別為

且不用計(jì)算積分關(guān)系.則方向沿剛體圓周運(yùn)動的切線方向，這個外力矩只可能來自兩軸承端在xy面內(nèi)給予剛體的分力和小球所受的重力，見圖3.這個力矩的作用使小球系統(tǒng)在x y面內(nèi)的角動量分量產(chǎn)生轉(zhuǎn)速為ω的進(jìn)動，同時保證剛體的定軸取向不變.所以剛體定軸轉(zhuǎn)動問題如果不闡述清楚角動量和角速度的方向問題，將會導(dǎo)致錯誤和困惑.

圖3　軸承分力示意圖

最后，弄清此類問題有助于理解大學(xué)物理演示實(shí)驗(yàn)中的若干問題，比如手持電筒式駐波演示儀的鋼片振動原理、偏心彈簧振子轉(zhuǎn)動與振動轉(zhuǎn)換演示儀工作原理等.

綜上所述，我們的大學(xué)物理教材和教學(xué)都應(yīng)該，也必須重視剛體定軸轉(zhuǎn)動時角動量與角速度的方向關(guān)系.

4　不同坐標(biāo)系中看待同一問題的自洽性

上述范例中，若將坐標(biāo)系取在剛體小球系統(tǒng)平面上，即剛體恰好就在參考平面內(nèi)，滿足特例情況（1）.由于z=0，剛體角動量的確為L=Jω，其中J=mR2.此時雖然有M==0，但疑惑并沒解除，因?yàn)楫吘怪亓Φ牧厥敲黠@存在的

在大學(xué)物理教材中這個與參考面垂直的力往往被認(rèn)為不影響轉(zhuǎn)動而忽略的［1：109］，可它實(shí)際上是有物理效應(yīng)的.正因?yàn)檫@個重力力矩的存在，導(dǎo)致軸承對轉(zhuǎn)動軸有相互作用，我們可以根據(jù)力矩關(guān)系及其式（5）分別求出軸承O′和O處對軸的作用力F′和F.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時，有

得

以O(shè)′為坐標(biāo)原點(diǎn)（注意，此時z=-a）時，有

得

當(dāng)以剛體小球系統(tǒng)平面為xy面時，由式（7）、（8）計(jì)算兩軸承處的受力對O″的力矩恰好等于重力的力矩

5　簡單剛體的應(yīng)用及進(jìn)一步討論

由式（7）或式（8）可見，軸承施力或受力是周期性的，當(dāng)我們在一個小電動機(jī)軸心上引出一個剛體小球，并將電動機(jī)固定在手持電筒式駐波演示儀的鋼片上，電動機(jī)以ω勻速帶動“偏心”小球轉(zhuǎn)動時，鋼片就將受到相同周期性的作用力而振動，這正是該演示儀重要的振動來源.這恰恰正是由于“偏心”小球的存在使得偏心輪轉(zhuǎn)動時角動量與角速度方向不同造成的結(jié)果.

若在上述剛體系統(tǒng)中再加上一個質(zhì)量相同、對稱于轉(zhuǎn)軸的另一個小球，構(gòu)成對稱簡單剛體系統(tǒng)，則由于總存在（x、-x）和（y、-y）運(yùn)動位置，所以依據(jù)式（2）可知，無論坐標(biāo)原點(diǎn)選在轉(zhuǎn)軸上的哪個位置，剛體角動量皆為L=J′ω，因而總力矩始終等于零.由于兩邊重力矩相互抵消，所以軸在水平面內(nèi)不受力.這時的剛體才真正地滿足L= Jω.這是一種動平衡狀態(tài)，即使此時沒有軸承的存在，轉(zhuǎn)軸的取向也不會改變.同時由于質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，總力矩又始終等于零，則當(dāng)在與小球運(yùn)動平面垂直，即平行于轉(zhuǎn)軸方向上所加的任何外力，都將被軸承中出現(xiàn)的力抵消一切效應(yīng).

6　一般結(jié)論和對教學(xué)的建議

推而廣之，當(dāng)一般剛體的質(zhì)量分布相對于轉(zhuǎn)軸（z軸）來說對稱時，剛體的角動量方向與角速度方向嚴(yán)格一致——沿z軸方向，即L=Jω.可以證明上述簡單對稱剛體系統(tǒng)的結(jié)論都能在對稱剛體的定軸轉(zhuǎn)動中成立.這種情況下才真正能忽略平行轉(zhuǎn)軸方向的所有力的作用.

大學(xué)物理層面上要特別說明上述內(nèi)容的確存在認(rèn)知和要求上的難度，如何在不增加兩難的情況下保證邏輯和系統(tǒng)上的清晰性？我們的建議是，第一，教材在不做大的變動下，可在本節(jié)內(nèi)容開端首先明確說明：“剛體的定軸轉(zhuǎn)動的角動量方向一般不與角速度方向相同，以下只討論剛體角動量沿定軸方向的分量”.有了這樣的表述，上文提到的“選擇某一參考平面，其中的質(zhì)元運(yùn)動情況代表了其他剛體部分的運(yùn)動情況”就不會引起歧義和錯誤了，大家都知道是指對旋轉(zhuǎn)軸而言的.第二，教學(xué)中用偏心馬達(dá)演示定軸轉(zhuǎn)動引起振動的例子，說明角動量與轉(zhuǎn)速方向不一致時引起的后果.這樣學(xué)生盡管沒有深入了解定軸轉(zhuǎn)動的剛體總角動量與角速度的關(guān)系，但也不會混淆總量與分量的區(qū)別.

［1］ 陸果.基礎(chǔ)物理學(xué)教程（上卷）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［2］ 馬文蔚.物理學(xué)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2014.

［3］ 張達(dá)宋，李行一.物理學(xué)基本教程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2008.

THE IMPORTANCE OF EMPHASIZING THE RELATIONSHIP BETWEEN ANGULAR MOMENTUM AND ANGULAR VELOCITY IN A RIGID BODY'S ROTATION ABOUT A FIXED AXIS

Zhou Yuqing
（Department of Physics，Southeast University，Nanjing，Jiangsu 211189）

In college physics textbooks and teaching，little emphasis is put on the relationship between the angular momentum and angular velocity of a rigid body when it rotates about a fixed axis.Instead，attention is focused on the projection of the angular momentum along the axis of rotation.Sometimes，we see equations，such asL=Jω，that are quite misleading.In fact，when a rigid body rotates about a fixed axis，its angular momentum and angular velocity generally point in different directions；there is normally a time-varying external torque acting on it even when it is rotating uniformly.Paper first present a general proof of this assertion and indicate two special situations in whichL andωpoint in the same direction.Then，by using a specific example，paper shows that when a rigid body rotates about a fixed axis，there is generally a changing external torque acting on the axis of rotation in a direction perpendicular to the axis.Finally，paper generalize the conclusion drawn from this particular example，and further illustrate the importance of clarifying the relationship between the directions ofL andω.

rigid body；rotation about a fixed axis；angular momentum；angular velocity；direction；time-varying torque

2015-05-25；

2015-10-25

教育部在線教育研究中心在線教育研究基金（全通教育）重點(diǎn)課題，2016ZD312；江蘇省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（省教育廳），2015JSJG118.

周雨青，男，教授，主要從事大學(xué)物理教育教學(xué)工作，研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理.zhou-yuqing@263.net