微分幾何在平面曲線測(cè)設(shè)中的應(yīng)用

師軍良,孫清娟

(黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004)

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微分幾何在平面曲線測(cè)設(shè)中的應(yīng)用

師軍良,孫清娟

(黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004)

提出了利用微分幾何原理計(jì)算曲線測(cè)設(shè)參數(shù)，建立了適用于所有平面曲線類型(直線、單圓曲線、緩和曲線)的測(cè)設(shè)參數(shù)計(jì)算模型，具有計(jì)算簡(jiǎn)便、實(shí)用性強(qiáng)等特點(diǎn)，且易于在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)。通過(guò)在高速公路的實(shí)際應(yīng)用，表明該方法可適用于各種平面線形測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)計(jì)算，能夠滿足工程施工的要求。

微分幾何；平面曲線；測(cè)設(shè)；曲率變化率

在公路、鐵路等線型工程勘測(cè)設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于受地形、地質(zhì)等因素影響，經(jīng)常無(wú)法按運(yùn)營(yíng)效率最高的直線設(shè)計(jì)線路，需要將線路轉(zhuǎn)變方向，即在兩條直線線路之間插入平面曲線。平面曲線有單圓曲線、綜合曲線(緩和曲線和單圓曲線)、回頭曲線等形式[1]。

平面曲線測(cè)設(shè)是線路勘測(cè)設(shè)計(jì)階段的一項(xiàng)主要測(cè)量工作，現(xiàn)有的測(cè)設(shè)方法均是根據(jù)平面曲線的具體線型及曲線的平面幾何特性，選擇相應(yīng)獨(dú)立的計(jì)算模型和測(cè)設(shè)方法，如切線支距法、偏角法等[2]。目前最為常用的方法是通過(guò)選擇的曲線模型計(jì)算出主點(diǎn)坐標(biāo)，然后用全站儀或GPSRTK直接進(jìn)行坐標(biāo)法測(cè)設(shè)出主點(diǎn)實(shí)際位置。由于線路由直線轉(zhuǎn)入曲線段后，既有緩和曲線段，又有中間的圓曲線段，這些線段都需要根據(jù)各自的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分段計(jì)算，使得計(jì)算量大且較為繁瑣，不利于在計(jì)算機(jī)上用自編程序進(jìn)行自動(dòng)解算。針對(duì)上述存在的問(wèn)題，本文基于微分幾何原理研究建立適應(yīng)于所有平面曲線類型測(cè)設(shè)的算法模型，實(shí)現(xiàn)各種平面曲線統(tǒng)一、高效、簡(jiǎn)便的測(cè)設(shè)計(jì)算，且易于在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)，通過(guò)在日南(日照—南陽(yáng))高速公路某標(biāo)段線型勘測(cè)設(shè)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用，表明該算法模型能夠滿足施工精度要求。

一、基于微分幾何原理的平面曲線測(cè)設(shè)計(jì)算模型

1. 基于微分幾何原理的平面曲線測(cè)設(shè)計(jì)算方法

公路線路的線形主要為直線、單圓曲線、緩和曲線，直線可以視為半徑為無(wú)窮大的曲線，單圓曲線可以看成是半徑為r的曲線，緩和曲線則是半徑在(r，∞)范圍漸變的曲線。如果已知曲線上一系列點(diǎn)的平面坐標(biāo)，根據(jù)工程測(cè)量學(xué)知識(shí)可將該曲線測(cè)設(shè)出來(lái)[3]。如圖1所示，設(shè)過(guò)某曲線起始點(diǎn)A的切線的方位角為αA，該曲線上任意點(diǎn)i的切線與過(guò)曲線起點(diǎn)A的切線的夾角為β，點(diǎn)i的切線方位角αi；若A點(diǎn)坐標(biāo)(xA，yA)已知，依據(jù)平面幾何關(guān)系可知

αi=αA+β

(1)

則計(jì)算曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)的積分公式為[4]

(2)

由式(2)可以看出，計(jì)算曲線任意點(diǎn)i的坐標(biāo)時(shí)，如果已知曲線上任意點(diǎn)i的3個(gè)特征參數(shù)，即曲線起點(diǎn)A的平面坐標(biāo)、切線坐標(biāo)方位角αA和過(guò)任意點(diǎn)i的切線與過(guò)曲線起點(diǎn)A的切線的夾角β，就可以求出弧長(zhǎng)li的i點(diǎn)平面坐標(biāo)(xi，yi)[5]。

圖1　曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)

2. 曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算方法

(1) 曲線上任意點(diǎn)的切線坐標(biāo)方位角

(3)

(2) 曲率變化率

若曲線上微分段dl對(duì)應(yīng)的曲率變化量為dρ，則由定義可知，曲率變更率c為

(4)

ρi=ρA+cl

(5)

將式(5)代入式(3)，積分后得到

(6)

于是式(1)可表達(dá)為

(7)

(3) 曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算

只要計(jì)算出曲線上任意點(diǎn)i的切線方位角αi，即可推算出該點(diǎn)的平面坐標(biāo)，即將式(7)代入式(2)，則點(diǎn)i的平面坐標(biāo)為

(8)

將式(8)用三角函數(shù)展開(kāi)，得

(9)

(10)

用泰勒級(jí)數(shù)將式(9)展開(kāi)，并將弧長(zhǎng)保留到5次項(xiàng)，再對(duì)其進(jìn)行積分后整理為[8]

(11)

表1　各種線形曲線的曲率變化率

二、實(shí)際應(yīng)用

圖2　日南高速某標(biāo)段形式

表2中，(X，Y)是由式(11)計(jì)算得到的測(cè)設(shè)坐標(biāo)，(X′，Y′)則是根據(jù)曲線獨(dú)立模型計(jì)算出來(lái)的測(cè)設(shè)坐標(biāo)。

通過(guò)對(duì)測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)的比較分析可以得出：在160m的弧長(zhǎng)中，點(diǎn)位誤差僅為1mm，完全能夠滿足工程施工的要求。由于式(11)可以對(duì)任何平面曲線進(jìn)行任意點(diǎn)的平面坐標(biāo)計(jì)算(統(tǒng)一了平面曲線數(shù)學(xué)計(jì)算模型)，從而避免了多個(gè)獨(dú)立數(shù)學(xué)計(jì)算模型的繁瑣工序。

三、結(jié)束語(yǔ)

本文提出利用微分幾何原理計(jì)算曲線測(cè)設(shè)參數(shù)，建立了適用于所有平面曲線類型(直線、單圓曲線、緩和曲線)的測(cè)設(shè)計(jì)算模型，通過(guò)日南高速公路某標(biāo)段的實(shí)際應(yīng)用，表明該方法能夠滿足高速公路施工精度要求。此外，本方法更適合計(jì)算機(jī)程序化處理，可有效降低線路中線坐標(biāo)的計(jì)算時(shí)間，顯著提高線路測(cè)設(shè)的工作效率。

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The Application of Infinitesimal Geometry in Plane Curve Location

SHI Junliang,SUN Qingjuan

2016-03-20

礦山空間信息技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金；河南理工大學(xué)2013年度博士基金(B2013-018)

師軍良(1979—)，男，碩士，講師，主要從事測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)的研究與教學(xué)工作。E-mail:454888231@qq.com

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B

0494-0911(2016)08-0092-03

引文格式：師軍良,孫清娟.微分幾何在平面曲線測(cè)設(shè)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪通報(bào)，2016(8)：92-94.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0265.